ミス状態カルマンフィルタの私の理解。ここジョーン・ソラ、「エラー状態のカルマンフィルタのためのクォータニオンの運動学」されるメインの参照は、[1]、当然のことながら、この冊子、人々はこの冊子VIOに精通しているであろう。
1. EFKは違いありErKF
エラーステート拡張カルマンフィルタ（EKF）との間の接続点と相違点とカルマンフィルタ（ErKFは）[2]、紙は[2]今、説明するためにいくつかのテキストを指しミス状態カルマンフィルタを、理解することができ、用紙を参照することができますEKFとErKFの違い。
ペーパー[2]要約：
EKFs現在の基準軌道の周りに非線形モデルを線形化した後、線形化モデルのカルマンフィルタ利得を設計することによって動作します。最近、別のアプローチは、状態の誤差がカルマンフィルタではなく、状態自体を用いて推定された問題の特定のクラスに浮上しています。
直接的な推定値が推定されたEKFの状態やエラー部分ErKF状態値。
ペーパー[2]備考II.6最後の文：
したがって、この行列は線形行列でErKFケースとは異なり線形化行列は、です。
上記this matrix"マトリックスシステムを指す\（\ mathbf {} F（T）\） EKF製剤中に、。" [2]紙のシステム行列をErKF
論文[2] EKFとErKFマトリックスシステムにおける\（\ mathbf {} F（T）\）式（11）及び（18）です。
1.1。EKF近似
EKF \（\ mathbf {F}（ T）\） 共分散状態推定用の監視に関連して、式（10）（11）（12）であってもよいです。
で\（T \）時間共分散の状態である\（\ mathbf {P}（ T）= \ mathbf {E} [（\ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T） ）（\ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T））^ T] \） 、\（\ mathbf {X}（ t）は\） 米国真値であり、（\ \帽子{\ mathbf {X} }（t）は、\） システム状態の推定値です。経過時間は\（\デルタTの\）が次回到達\（デルタT \のT + \）を以下のように、共分散この時間が表されます。
\ [\ {整列} \ mathbf {P}（T + \デルタT）= \ mathbf {E} [（\ mathbf {X}（T + \デルタT）開始 - \帽子{\ mathbf {X}}（ T + \デルタT））（\ mathbf {X}（T + \デルタT） - \ハット{\ mathbf {X}}（T + \デルタT））^ T] \端{整列} \]
しかし、観察の非存在下では、我々はまだシステム\（T + \デルタTの\ ） 、すなわち時間の結果、推定値の\（\帽子{\ mathbf {X}}（デルタTのT + \）\） 。検討（T + \デルタTの\ \ ） 時間共分散観察されなかった前のシステム\（\ mathbf {Pを} ^ -デルタTの（T + \）\） 。あなたは、上記の式である必要は（\ハット{\ mathbf {\ X}}（T + \デルタT）\） で置換されている\（\ハット{\ mathbf { X} ^ - （T +）デルタT \ \） 、で表される（\ハット{\ mathbf {\ \）X}}（T） の運動方程式計算した後\（デルタTのT + \ \） （補正した後に、更新手順を通過する必要がある）時間の値を予測します。
\ [\開始{整列} \帽子{\ mathbf {X} ^ - （T + \デルタT）＆= \帽子{\ mathbf {X}}（T）+ \ドット{\帽子{\ mathbf {X }}}（T）\デルタT \ notag \\＆=ハット{\ \ mathbf {X}}（T）+（\ mathbf {F}（\ハット{\ mathbf {X}}（T）、\ mathbf {U}（T））+ \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {W}（T））\デルタT \\ \ mathbf {P} ^ - （T +デルタT）＆= \ mathbf {E} \ [ （\ mathbf {X}（T + \デルタT） - \ハット{\ mathbf {X} ^ - （T +デルタT）\） - \ハット{（\ mathbf {X}（T + \デルタT） \ mathbf {X} ^ - （T + \デルタT））^ T] \端{整列} \]
ため\（T + \デルタTの\ ） 時間の真の値は、システムは、使用の知られていない\（T \）真値と動き推定の時間方程式。
\ [\開始{整列} \ mathbf {X} ^ - ＆= \ mathbf {X}（T）（T +デルタT \）+ \ドット{\ mathbf {X}}（T）\デルタT \ notag \ \＆= \ mathbf {X}（T）+ [\ mathbf {F}（\ mathbf {X}（T）、\ mathbf {U}（T））+ \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf（{W} T）] \デルタT \ notag \\＆\ simeq \ mathbf {X}（T）+ \左[\ mathbf {F}（\ハット{\ mathbf {X}}（T）、\ mathbf {U}（ T））+ {\部分の\ mathbf {F}（\ハット{\ mathbf {X}}（T）、\ mathbf {U}（T））\ \部分の\ mathbf上{X}（T）}（\ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T））+ \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {W}（T）\右] \デルタT（泰勒一阶展开近似）\ notag \\＆= \ mathbf {X}（T）+ \ mathbf {F}（\ハット{\ mathbf {X}}（T）、\ mathbf {U}（T））\デルタT + \ mathbf {F }（T）（\ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T））\デルタT + \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {W}（T）\デルタTの\端{ALIGN} \]
計算\（\ mathbf {P} ^ -デルタTの（T + \）\） 。
\ [\開始mathbf {P} \ {整列} ^ - （T +デルタT \）＆= \ mathbf {E} [（\ mathbf {X} ^ - （T +デルタT）\ - \帽子{\ mathbf {X} ^ - ）（T +デルタT \）（\ mathbf {X} ^ - （T + \デルタT） - \ハット{\ mathbf {X} ^ - （T +デルタT \））^ T] \ notag \\＆\ simeq \ mathbf {E} [（\ mathbf {X}（T）+ \ mathbf {F}（\ハット{\ mathbf {X}}（T）、\ mathbf {U}（ T））\デルタT + \ mathbf {F}（T）（\ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T））\デルタT + \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf （T）{W} \デルタT - \帽子{\ mathbf {X}}（T） - \ mathbf {F}（\ハット{\ mathbf {X}}（T）、\ mathbf {U}（T） ）\デルタT）\ notag \\＆\ファントム{=}（\ mathbf {X}（T）+ \ mathbf {F}（\ハット{\ mathbf {X}}（T）、\ mathbf {U}（ T））\デルタT + \ mathbf {F}（T）（\ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T））\デルタT + \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf （T）{W} \デルタT - \帽子{\ mathbf {X}}（T） - \ mathbf {F}（\ハット{\ mathbf {X}}（T）、\ mathbf {U}（T） ）\デルタT）^ T] \ notag \\＆= \ mathbf {E} [（（\ mathbf {I} + \ mathbf {F}（T）\デルタT）（\ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T）） ）（（\ mathbf {I} + \ mathbf {F}（T）\デルタT）（\ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T）））^ T] \ notag \\＆\ファントム{=} \ mathbf {E} [\ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {W}（T）（（\ mathbf {I} + \ mathbf {F}（T）デルタT \）（\ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T）））^ T] + \ mathbf {E} [（（\ mathbf {I} + \ mathbf {F}（T）\デルタT）（\ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T）））\ mathbf {W}（T）^ Tの\ mathbf {\ガンマ} ^ T] \ notag \\＆ \ファントム{=} + \ mathbf {E} [\ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {W}（T）\ mathbf {W}（T）^ Tの\ mathbf {\ガンマ} ^ T] \ notag \\＆ =（\ mathbf {I} + \ mathbf {F}（T）\デルタT）\ mathbf {E} [（\ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T））（ \ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T））^ T（\ mathbf {I} + \ mathbf {F}（T）\デルタT）^ T \ notag \\ ＆デルタ\ \ファントム{=} \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {E} [\ mathbf {W}（T）] \ mathbf {E} [（（\ mathbf {I} + \ mathbf {F}（T） T）（\ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T）））^ T] + \ mathbf {E} [（（\ mathbf {I} + \ mathbf {F}（ T）\デルタT）（\ mathbf {X}（T） - \ハット{\ mathbf {X}}（T）））] \ mathbf {E} [\ mathbf {W}（T）^ T] \ mathbf {\ガンマ} ^ T \ notag \\＆\ファントム{=} + \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {E} [{W} \ mathbf（T）\ mathbf {W}（T）^ T] \ mathbf {\ガンマ} ^ T \ mathbf \ notag \\＆=（\ mathbf {I} + \ mathbf {F}（T）\デルタT）{P}（T）（\ mathbf {I} + \ mathbf {F }（T）\デルタT）^ T + \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {Q} \ mathbf {\ガンマ} ^ T \ファントム{=}（\テキスト{我々は\有する\} \ mathbf {E} [ \ mathbf {W}（T）] = 0）\ notag \\＆= \ mathbf {P}（T）+ \ mathbf {P}（T）\ mathbf {F}（T）^ T \デルタT + \ mathbf {F}（T）\ mathbf {P}（T）\デルタT + \ mathbf {F}（T）\ mathbf {P}（T）\ mathbf {F}（T）^ T \デルタT ^ 2 + \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {Q} \ mathbf {\ガンマ} ^ T \ notag \\＆{\ simeq} \ mathbf {P}（T）+ \ mathbf {P}（T）\ mathbf {F}（T）^ T \デルタT + \ mathbf {F}（T）\ mathbf {P}（T ）\デルタT + \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {Q} \ mathbf {\ガンマ} ^ T \ファントム{=}（\デルタT ^ 2 \テキスト{\すぎる\小さい、二次とを無視高いです}） \端{ALIGN} \]
そのため、取得する\（\ mathbf {P}（ T）\） 微分方程式を。
\ [\開始{整列} \ドット{\ mathbf {P}}（T）＆= \ mathbf {P}（T）\ mathbf {F}（T）^ T + \ mathbf {F}（T）\ mathbf {P}（T）+ \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {Q} \ mathbf {\ガンマ} ^ T \端{整列} \]
（11）式と一致します。したがって、ステップ予測における状態の前回推定値を用いて、EKF同様の結論についてEKFを得た\（\帽子{\ mathbf {X}}（T）\） 、運動方程式を\（\ mathbf {F} \）時の状態での真の値の次の次のテイラー展開近似を使用して\（\ mathbf {X}（デルタTのT + \）\） 。これにより、推定ステップの状態共分散が得られ予測しています。
1.2。ErKFを近似なし
ErKF国は、エラーの一部と推定しています。
次のように操作ステップがある予測します。
次のように差動エラー制御値の後に省略します。（紙は混乱に署名するので、私は再配置しました。）
\ [\ {整列} \ドット{\ mathbf {X}}（T）＆= \ mathbf {F}（\ mathbf {X}（T）、\ mathbf {U}（t））を始める+ \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {W}（T）\端{整列} \]
真の値は、2つの部分と名目エラーに分解されます。nomianl部分的に使用される\（\ハット{\ mathbf { X}}（T）\） を表し、エラー部分的に使用される\（\デルタの\ mathbf {X }（T）\） 図。真の値の\（\ mathbf {X}（T）=ハット\ {\ mathbf {X}}（T）+ \デルタの\ mathbf {X}（T）\）。ムーブメント（微分）方程式を代表して。
\ [\開始{整列} \ドット{\帽子{\ mathbf {X}}}（T）+ \デルタ\ドット{\ mathbf {X}}＆= \ mathbf {F}（\ハット{\ mathbf {X }}（T）+ \デルタの\ mathbf {X}（T）、\ mathbf {U}（T））+ \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {W}（T）\ notag \\＆= \ mathbf { F}（\ハット{\ mathbf {X}}（T）、\ mathbf {U}（T））+ {\部分の\ mathbf {F}（\ハット{\ mathbf {X}}（T）、\ mathbf {U}（T））\オーバー\部分の\ mathbf {X}（T）} \デルタの\ mathbf {X}（T）+ \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {W}（T）\ notag \\＆ = \ mathbf {F}（\ハット{\ mathbf {X}}（T）、\ mathbf {U}（T））+ \ mathbf {F}（T）\デルタの\ mathbf {X}（T）+ \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf（T）\\ \ mathbf {F}（T）＆= {\部分の\ mathbf {F}（\ハット{\ mathbf {X}}（T）{W}、\ mathbf { U}（T））\オーバー\部分の\ mathbf {X}（T）} \\ \ドット{\帽子{\ mathbf {X}}}（T）＆= \ mathbf {F}（\ハット{\ mathbf {X}}（T）、\ mathbf {U}（T））\ファントム{=}（定义）\\ \デルタ\ドット{\ mathbf {X}}（T）＆= \ mathbf {F}（T ）\デルタの\ mathbf {X}（T）+ \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {W}（T）\端{整列} \]
時間によって定義することができる\（\デルタTの\）時間後\（T + \デルタTの\ ） \（\デルタの\ mathbf {X}（デルタTのT + \）\） 。
\ [\ \ {整列}開始デルタの\ mathbf {X}（T + \デルタT）＆= \デルタの\ mathbf {X}（T）+ \デルタ\ドット{\ mathbf {X}}（T）デルタ\ T \ notag \\＆= \デルタの\ mathbf {X}（T）+ \ mathbf {F}（T）\デルタの\ mathbf {X}（T）\デルタT + \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {W }（T）\デルタT \ notag \\＆=（\ mathbf {I} + \ mathbf {F}（T）\デルタT）\デルタの\ mathbf {X}（T）+ \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf（T）{W} \デルタT \ notag \\＆= \ mathbf {\ファイ}（T）\デルタの\ mathbf {X}（T）+ \ mathbf {\ガンマ} \ mathbf {W}（T） \デルタTの\端{整列} \]
ErKFに\（\ mathbf {\ファイ} （t）は\） 状態遷移行列と呼ばれます。ErKFのステップ近似を予測行う\（\デルタの\ mathbf {X}（デルタTのT + \）\ simeq \ mathbf {\ファイ}（T）\デルタの\ mathbf {X}（T）\） 、残り\ （\ mathbf {\ガンマ} \デルタTの\ \ mathbf {W}（T））は、ステップアップデートで観測方程式を用いて推定されます。
（\（T mathbf {F} ）\）\ エラーと、定義に見ることができる\（\デルタの\ mathbf {X}（T）\） 、ステップの推定値の使用は無関係である\（\帽子{\ mathbf {X}} （T）\）と、このステップの制御値（\ \ mathbf {U}（ t）は、\） を算出することができます。次いで、設計エラーの予測なしにステップ（\ \デルタの\ mathbf {X}（T）\）するエラー、（\ mathbf {\ファイ} \ （t）を\） 近似されます。
したがって、結論付けることができる、ErKFステップは、約不在隠れ線形のステップで予測します。プレゼンス近似\（\ mathbf {\ガンマ}デルタTの\ \ \ mathbf {W}（t））をステップ・アップデートで推定することができます。
2. VIO参照ErKF
参照[1]このセクションで導出されます。ブログから「回転運動学」クォータニオン微分方程式の始まり。
前の文、私はハミルトンクォータニオンを使用しました。
継続するには。私たちは、コンパイルされています。
リファレンス
[1] ソラ、ジョアン。「エラー状態のカルマンフィルタのためのクォータニオンの運動学。」arXivのプレプリントのarXivの：1711.02508（2017）。
[2] Madyastha、ベンカテッシュ、ら。「航空機の姿勢推定のためにエラー状態のカルマンフィルタ対カルマンフィルタを拡張。」AIAAガイダンス、ナビゲーション、およびコントロール会議。2011。