連続時間フーリエ変換します
しかし、線形時不変システムを分析するために、複素指数信号の線形結合を使用した周期信号は、非常に重要な特性です。最も重要な貢献の一つは、フーリエ変換は、非周期的な信号に拡張周期信号であり、フーリエ変換は考えていた：非周期信号は、無限に長い期間周期信号として見ることができます。
今、信号考える\（X（T）\）限られた期間、すなわちあり、\（T_L \）を、とき\（| T |> T_1 \ ） する場合、\（X（T）= 0 \）同図に示すように：
この非周期的な信号から、周期信号構成することができる \を（\チルダ{X}（ T）\） 、そう \（X（T）\） されている \（\チルダ{X}（ T）\） 期間の図に示すように、B。場合 （\ T）\ 大きい、 \（\チルダ{X}（T）\） と時間の長い期間で \（X（T）\） と一致 \（\チルダ{X}を（T）\ RIGHTARROW \ inftyの\） 、任意の有限の時間のための \（T \） 値の観点から、 \（\チルダは{X}（T）= X（T）\） 。：そこフーリエ級数を描くことができ
、{ - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの} {a_ke JK ^ {{\オメガO}}} T \ \ [\チルダは{X}（T）= \ K = sum_ ]
\ [a_k = \ frac1T \ INT _ { - T / 2} ^ {+ T / 2} {\チルダは{X}（T）E ^ { - JK {\オメガO} T}} \]
ここで、 \（\オメガO 2 = \ PI / T \） 、我々はながら （\ \チルダ{X}（ T）\） で置き換え \（X（T）\） 、を与えるために：
\ [a_k = \ frac1T \ INT _ { - T / 2} ^ {+ T / 2} {\チルダ{X}（T）E ^ { - JK {\ omega_0} T} = \ frac1T \ INT _ { - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの}
{X（t）とE ^ { - JK {\ omega_0} T}} \] このように、我々は定義 \（Ta_k \） エンベロープを \（X（JW）\） する
\ [ X（JW）= \ INT _
{ - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの} {X（t）とE ^ {-jk {\ omega_0} T}} \ {\のRMのD} T \] この場合、係数 \ （a_k \） のように書くことができる
\ [a_k = \ frac1TX（jw_0）\]
\（\チルダは{X}（T）\） する
\ [チルダ\ {X}（ T）= \ sum_ {k = - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの} {
\ frac1TX（JK \ omega_0）E ^ {JKの\のomega_0t}} \] 以来、あるいは、 \（2 \ PI / Tは= \オメガOの\） 、\ （\チルダは{X}（T ）\） として表すことができる
\ [\チルダ{X}（ T）= \ frac1 {2 \ PI} \ sum_ {k = - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの} {X（JK \ omega_0）E ^ { JK \ omega_0t} \ omega_0} \
] と \（T \ RIGHTARROW \ inftyの\） 、 \（\チルダは{X}（T）\ RIGHTARROW X（T）\） 、\ （\オメガO \ RIGHTARROW 0 \） 、表記 （\ \ omega_0 = \ \オメガ ） 次に：
\ [X（T）= \ frac1 {2 \ PI} \ INT _ { - \ inftyの} ^ {+ \ inftyの} {X-（JK \オメガ）E ^ {JK \オメガT}} \ {\ RM D} \オメガ\]
\ [X-（JW ）= \ INT _ { - \
inftyの} ^ {+ \ inftyの} {X（t）とE ^ {-jk {\オメガ} T}} \ {\のRMのD} \] T 両方のフーリエ上式規律を変換（フーリエペアを変換する）ため。機能 \は、（X（J \オメガ） \） と呼ばれる \（X（t）は\） フーリエ変換やフーリエ積分（フーリエ積分）。二つの式が呼び出され 、合成式 と 分析式