I.はじめに
実用的な例を考えてみましょう、我々はボタン正弦電卓を押したとき、何が起こりますか？我々は、すべてのハードウェアの追加と乗算を扱うことができる電卓があることを知っているが、それはそれの数の正弦を計算する方法ですか？多項式補間は、この問題を解決することができます。私たちは、将来的にこの問題を再検討します。現在、我々は最初に何をされ、どのように補間補間を学びます。
第二に、何が補間されます
以下に示すように、我々は仮定する（X、Y）（X、収集されたデータ点のセット y）は（x、y）は、 例えば（0,1）、（2,2）、（3,4）、（0として、 1）、（2,2）、（3,4）、（0,1）、（2,2）、（3,4）。3点を通る放物線があり、我々は3ポイントの後に呼び出さ放物線置く二次補間多項式を。
これは以下のように、数学的な補間の定義につながります。
定義補間] P IF（XI）= YI（1⩽i⩽n ）P（XI）= YI（1⩽i⩽n）P（X_I）= Y_I（iはleqslantを\ n 1 \ leqslant）、 次いで、関数Y = P（X）、Y = P（x）を補間データ点を
（X1、Y1）、⋅⋅⋅、（XN、YN）（X_1、Y_1）、\ CDOT \ CDOT \ CDOT、（x_nに関する、y_n）
データポイントのセットによって機能は、この関数を呼び出した場合、単純に、つまり、入れ補間データポイントのセットを。
二、ラグランジュ補間
2.1議論
今、私たちが何であるかを知っていることを補間私はn個のデータ点の組（x1、y1）、⋅⋅⋅、それを知っていれば、質問をご検討ください （XN、YN）（X_1、Y_1）、\ CDOT \ CDOT \ CDOTは、（x_nに関する、y_n）、我々はすべてのデータポイントを設定することができ、多項式補間を要求したいと思います。-そして、多項式の次数がd = N-1D = nは 1 回、どのように行うには？
ラグランジュ補間式は、この問題の答えを与えます。例えば、点（X1、Y1）、（X2、Y2）、（X3、Y3）（X_1、Y_1）、（X_2、Y_2）、（X_3、y_3）は、二次補間多項式はラグランジュで補間されると仮定次のように多項式が与えられます：
P2（X）= Y 1（X-X 2）（X-X3）（X1-X2）（X1-X3）+ Y2（X-X1）（X-X3）（X2-X1）、（X2-X3）+ Y3 （X-X1）（X-X2）（X3-X1）〜（X3-X2）P_2（X）= Y_1 FRAC \ {（X - X_2）（X - X_3）} {（X_1 - X_2）（X_1 - X_3 ）} + Y_2 \ FRAC {（X - X_1）（X - X_3）} {（X_2 - X_1）（X_2 - X_3）} + y_3 \ FRAC {（X - X_1）（X - X_2）} {（X_3 - X_1）（X_3 - X_2）}
だから、1は、このような多項式は正確でなければならない、頼むかもしれない、答えは：はい。我々は確認することができます。
1.とき×時間= X1X = X1、P2（X1）= y1P_2（X1）= Y1。
2.場合、X = X2X = X2、P2（X2）= y2P_2（X2）= Y2。
3.場合×時間= x3x = X3、P2（X3）= y3P_2（X3）= Y3。
我々は3点のみを持っているので、我々は3点のみで、多項式補間は成功している、これら3つの点を考慮し、そのため、この多項式は正しくなければなりません。（可変XXにこの多項式は2倍であることに留意されたいです）
2.2数学的な定義
一般に、所与の点（X1、Y1）、⋅⋅⋅、（XN、YN）（X_1、Y_1）、\ CDOT \ CDOT \ CDOT、（x_nに関する、y_n）、次いで1〜nのnnは想定されます定義可能な株式会社の各
LK（X）=（X-X1）⋅⋅⋅（X-XK-1）（X-XK + 1）⋅⋅（X-XN）（XK-X1）⋅⋅⋅（XK-XK-1）（ XK-XK + 1）⋅⋅（XK-XN）L_K（X）= FRAC \ {（X - X_1）\ CDOT \ CDOT \ CDOT（X - X_ {K -1}）（X - X_ {K + 1 }）\ CDOT \ CDOT（X - x_nに関する）} {（X_K - X_1）\ CDOT \ CDOT \ CDOT（X_K - X_ {K -1}）（X_K - X_ {K + 1}）\ CDOT \ CDOT（X_K - x_nに関する）}
興味深い特性のLkL_kは以下のとおりです。
1.ルカ（X kの）= 1L_k（X_K）= 1
2.ルカ（XJ）= 0（j≠k）がL_K（X - jが）= 0 \ qquad（J \のNEQ K）
これにより、n-1Nの定義 - 1回ラグランジュ多項式
PN-1（X）= y1L1（X）+⋅⋅⋅+ ynLn（X）P_ {N - 1}（X）= Y_1 L_1（X）+ \ CDOT \ CDOT \ CDOT + y_n L_n（X）
2.3と存在と一意性
一部の人々は唯一の多項式補間を行うとする、与えられたn個のデータポイントのために、求めることができますか？それは、これらの多項式補間を行うことができるn点はありますか？答えは：ありません。
我々は2次元平面のための座標点nnは知っていると思う、私たちは確かにこれらの点を通過するように無限の線を引くことができ、各ラインは、多項式のものに対応します。だから、問題の嘘は何ですか？
多項式は無限であるが、N-1Nに等しい最大回数未満である補間多項式NN、のデータポイント - 、そのような多項式は、1つのみであってもよいです。次のようにこの問題を記述するために数学を使用します。
[定理]
セット（X1、Y1）、⋅⋅⋅、（XN、YN）（X_1、Y_1）、\ CDOT \ CDOT \ CDOT、（x_nに関する、y_n）NN xix_i互いに異なる平面内の点、及びそこであります1回の多項式を満たす - 唯一の数がN-1N未満であります
P（XI）= YI、I = 1、⋅⋅⋅、nPの（X_I）= Y_I、\ qquad I = 1、\ CDOT \ CDOT \ CDOT、N-
[証明]
（1）の存在：ラグランジュ補間によって導出明示的な式が存在します。
（2）一意2つのそのような式は、例えば、そこに存在すると仮定し、P（x）は、P（x）及びQ（x）は、Q（x）は、N-1N最大である - 1回、すべての補間点がNNであります、それは次のようになります。
P（X1）= Q（X1）= Y1、P（X2）= Q（X2）= Y2、⋅⋅⋅、P（XN）= Q（XN）= YNP（X_1）= Q（X_1）= Y_1、 P（X_2）= Q（X_2）= Y_2、\ CDOT \ CDOT \ CDOT、P（x_nに関する）= Q（x_nに関する）= y_n。
そこH（X）= P（X）-Q（X）H（X）= P（X） - Q（x）は、明らかに、数最もHH N-1Nである - 1、メモ
H（X1）= H（×2）=⋅⋅⋅= H（XN）H（X_1）= H（X_2）= \ CDOT \ CDOT \ CDOT = H（x_nに関する）
すなわち、HH nnは異なるゼロです。代数学の基本定理、度DDの多項式によれば、同一ゼロ多項式であることを除いて、DDゼロまであってもよいです。だから、
H≡0H\当量0
その結果、
P（x）は≡Q（x）はP（x）は\当量Q（x）は、
したがって、以下のn-1N同数の存在のみ-多項式P 1（x）は、P（x）とNN補間点（XI、YI）（X_I、 Y_I）。
2.4例
[タイトル]（0,2）に必要な補間点、（1,1）、（2,0）、（3、-1）、（0,2）、（1,1）、（2,0）、（数3は、-1）3つの多項式以下です。
【解決手段】ラグランジュ形式は以下の通り：
P（X）= 2（X-1）（X 2）（X-3）（0-1）（0-2）（0-3）+1（x-0）〜（X-2）（X -3）（1-0）（1-2）（1-3）+0（x-0）〜（X-1）〜（X-3）（2-0）（2-1）（2-3） +（ - 1）（x-0）〜（X-1）（X-2）（3-0）（3-1）（3-2）= - X + 2P（X）= 2 \ FRAC {（X - 1）（X - 2）（X - 3）} {（0 - 3）} + 1 \ FRAC {（X - - 1）（0 - 2）（0）（X - 2）（X - 3 ）} {（1 - 0）（1 - 2）（1 - 3）} + 0 \ FRAC {（X - 0）（X - 1）（X - 3）} {（2 - 0）（2 - 1 1）（3 - ） - （2 - 3）} +（-1）\ FRAC {（X - 0）（X - 1）（X - 2）}、{（3 - 0）（3 2）} = - X + 2
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著者：のエッセイQling
原産地：CNBLOGS
オリジナル：https://www.cnblogs.com/Qling/p/9764941.html
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