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タイトル効果：シーク\（\ sum_ {i = 1} ^ {n}はGCD（\左\ lfloor \ SQRT [3] {I} \右\ rfloor、I）、\ n個の\の当量10 ^ {21} \）
溶液：考える\ \（\ sum_ {i = 1} ^ {\ \ SQRT \ lfloor左[式に変換し、ブロック（\ \ lfloor \ SQRT [3] {I}右\ \ rfloor \を左） 3] {N} \右\ rfloor} \ sum_ {J = ^ 3} ^ {（I + 1）^ 3-1} GCD（I、J）\）
関数\ \（GCD（X、Y）= GCD（X \ MOD \ Y、Yので（F（N、M）= \ sum_ {i = 1} ^ {M} GCDを（N、I）\）、検討）\）、誘導することができる$$のF（N、M）= \ sum_ {i = 1} ^ {M} GCD（N、I）= \左\ lfloor \ FRAC {M} {N} \右\ rfloor \ CDOTのF（N、N）+ F（nは、MODの\ n \ M）$$
値について\（fが（N、N）\）\（GCD \）由来の和の値で列挙することができる\（F（N、N）= \ sum_ {D | N} ^ {} D \ CDOT \ PHI（\ FRAC {n}は{D}）\）、オイラー関数の値は、線形プリスクリーニング\（O（nlogn）\）全ての前\（F（N、N）\）の値とすることができます
对于\（F（N、M）\）、同样可以得出、\（F（N、M）= \ sum_ {D | N} ^ {} D \ sum_ {I | \ FRAC {n}は{D} 、I MU \ \当量\左\ lfloor \ FRAC {M} {D} \右\ rfloor} ^ {}（I）\ CDOT \左\ lfloor \ FRAC {M} {ID} \右\ rfloor = \ sum_ {D | N} ^ {} \ PHI（D）\ CDOT \左\ lfloor \ FRAC {M} {D} \右\ rfloor \）
また、ので、\は、（（I + 1）^ 3-1 = I ^ 3 + 3I ^ 2 + 3I \）、（Iは\）各サイクル\のためにそこに、複数の\（Iは\）であるので、$$ \ sum_ {J = ^ 3} ^ {（I + 1）^ 3-1} GCD（I、J）= F（I、I ^ 3 + 3I ^ 2 + 3I）-f（I、I ^ 3 ）+ GCD（I、I ^ 3）=（3I + 3）\ CDOT F（I、I）+ I $$
従って、各質問のために、多くとも一度だけ必要\（F（N、M）\）（すなわち、最後の\（Iは\））のような、\のために（F（N、M）\）時間計算度\（O（\ SQRT {N}）\）、そのため、各クエリの複雑\である（O（N + \ SQRT {N}）\）。そして^ 7 10（\（n-は\）\を指し、セット質問複数のオフライン処理を削減全体の時間複雑度\（O（nlogn + T \のSQRT {N}）\）を考慮することができるため\）
人々の話題は、この質問はもともとカード非線形のアプローチだったが、ある一定の最適化によって可能に\（O（nlogn）\）の実践を通して
1つの#include <ビット/ STDC ++ H> 2 使用して 名前空間STDを、 3 の#define N 10000001 4 の#define MOD 998244353 5 int型 N、G [N]、PHI [N]、P [N]、CNT、RES [ 15 ]、FLG [N]。 6 構造体RUA 7 { 8 int型のID; 9 __int128 N。 10 ブール 演算子 <（CONSTの RUA＆T）のconst { 戻り N < TN;} 11 } [ 15 ]。 12 ボイド読み取り（__ int128＆X） 13 { 14 静的 チャー CH。静的 ブールNEG。 15 のために（CH = NEG = 0 ; CH < ' 0 ' || ' 9 ' <CH; NEG | = CH == ' - '、CH = GETCHAR（））。 16 のための（X = 0 ; ' 0 ' <= CH && CH <= ' 9 ' ;（X * = 10）+ = CH- ' 0 '、CH = GETCHAR（））。 17 のx = NEG - ？X：X; } 19 ボイドpretype（） 20 { 21 PHI [ 1 ] = 1 。 22 のためには、（int型、I = 2 ; iがNを<; iは++ ） 23 { 24 場合のp [++ CNT] = I、PHI [i]は= I-（FLG [I]！）1 。 25 のための（int型 J = 1 ; J <= CNT && iは* P [j]は<N; J ++ ） 26 { 27 FLGが[iが* P [j] = 1 。 28 もし（I％のP [j] == 0 ） 29 { 30 PHI = P [j] * [iがj]を[Pを*] [i]はPHI。 31 ブレーク; 32 } 33 PHI =（P [J] - [Iは、p [j] *] 1）* [I] PHIを。 34 } 35 } 36 のために（INT D = 1、D * D <Nを; D ++ ） 37 のための（INT ; N <N N + = = D * DのN D） 38 { 39 G [N] =（G [N ] + 1LL * D * PHI [N / D]）％MOD。 40 であれば（D *はdの<N）G [N] =（G [N] + 1LL×（N / D）* PHI [D]）％MOD。 41 } 42 } 43インラインINT F（int型nは、__ int128のM） 44 { 45 INT RES =（M / N）* G [N]％MOD。 46 INT M = M％N。 47 もし（m個の== 0）戻りRES。 48 のためには、（int型 i = 1 ; iが* I <= N; iは++ ） 49 { 50 のint J = N /（N / I）。 51 であれば（N％I == 0 ） 52 { 53の （[I] *（M / I）RES + 1LL * PHI）％のRES = MOD。 54 場合のRES =（iはiがn <*）（RES + 1LL * PHI [N / I] *（M /（N / I）））％MOD。 55 } 56 、I = J。 57 } 58の リターンRES。 59 } 60 のint main（）の 61 { 62 pretype（）。 63 のscanf（" ％d個"、＆N） 64 のためには、（int型 i = 1 ; iがn = <; iは++ ） 65 リード（[I] .N）を、[I] .ID = I。 66 ソート（A + 1、+ N + 1 ）。 67 int型 ANS = 0、J = 1 ; 68 __int128 I = 1 。 69 一方（iは* I <= [N] .N） 70 { 71 __int128 R =（（I + 3）* I + 3）* I。 72件 のANS =（ANS + MOD-（iは[I]％MODグラム*）+ I）％MOD。 73 一方、（j <= N && [J] .N < R） 74 { 75 RES [J] .ID] =（ANS + F（I、[J] .N％I）+（[ J] .N / I）* G [i]）と％MOD。 76 J ++ ; 77 } 78 のANS =（ANS +（（I +3）* I + 3）* G [i]）と％MOD。 79 一方、（j <= N && [J] .N == R） 80の RES = [J ++] ID] ANS。 81 私は++します; 82 } 83 のための（int型 i = 1 ; iが<= N; iが++ ） 84 のprintf（" ％d個の\ n " 、RES [I]）。 85 }