1.存在と補間多項式の一意性
科学的研究と実践において遭遇する多くの機能の生産では、かなりの部分は、関数が、観察または実験によって得られた\（Y = F（X） \） 間隔で\（[B ] \）が存在で、私たちは、正確な解析式を知らない、関数値のみ離散点の実験のいくつかを、導関数の値は、それが近視のための簡単な解析式でそのような機能のために望ましい観察説明は、全体的に与えられています。いくつかの機能、そこに、しかしにより、あまりにも複雑で、その理論的解析と数値計算のために不便な解析式に明確な解析的表現であり、単純な数値計算に適した特性と機能を反映していない機能を与えることを願っていますが、代わりに、元の関数で近似されます。
定義1：既知の関数\（Y = F（X） \） 間隔で\（[B] \ ） \（N + 1 \）異なる点\（\当量X_0 <X_1 <X_2 <\ cdots <x_nに関する\当量B \）関数値\（F（X_0）、F（X_1）、\ cdots、F（x_nに関する）\） 、単純な関数が存在する場合、\は（P（X）\）を通過\（Y = F（X） \） で\（N + 1 \）既知点\（（X_0、Y_0）、（X_1、Y_1）、\ cdots、（x_nに関する、y_n）\）、\の
[ P（X_I）= Y_I = F （X_I）、\ I = 0,1,2、\ cdots、N \（1）\]
確立と呼ばれる\（P（X）\）の\（F（X）\）の補間関数、点\（X_0、X_1、\ cdots 、x_nに関する\） と呼ばれる補間ノードを、補間区間を含むノード\を（ [B] \）と呼ばれる補間部補間関数を見つける、\を（P（X）\）メソッドが呼び出される補間方法。場合\（P（x）は\）数は超えないで\（N- \）の多項式、すなわち
\ [P_N（X）= A_0 + A_1 X + A_2 X ^ 2 + \ cdots + A_N X ^ N \（2） \]
前記\（a_iをが\）と呼ばれる実数である\（P（X）\）のための多項式補間、補間方法は、対応と呼ばれる多項式補間。場合は\（P（x）は\）区分多項式である、それが呼び出された区分的補間。場合は\（P（x）は\）三角多項式である、それが呼ばれる三角関数補間。
満足を探している（1）の補間関数\（P（X）\）多くの方法。\（P（X）\）任意の滑らかなまたは区分的に滑らかな関数であってもよい、代数多項式、三角多項式のような有理関数であってもよいです。異なる補間関数\（P（X）\） 、近似\（F（X）\）異なる効果。探している補間関数\（P（X）\） 、最初に考えたが、さらに、ワイエルシュトラスの理論によって、多項式関数は単純な式であり、そのような連続的で滑らかな、積分微分のような多くの良好な特性が存在するためだけでなく、多項式関数であります代数多項式基底又は補間の他のタイプながら知っている、任意の連続関数は、任意精度の代数多項式近似として使用することができます。
定理1（存在及び一意補間多項式）：と仮定ノード\（X_0、X_1、\ cdots 、x_nに関する\） 互いに異なる、それは回数を超えていない\（N- \）多項式のセットを\（H_n \）補間多項式の条件（1）に（\ P_N（X）の）\存在し、ユニークです。
2.ラグランジュ補間
2.1ラグランジュ補間多項式
補間多項式シーク（P_Nの（X）\）\溶液を、それが式（3）を計算することにより設定することができる\（A_0、A_1、\ cdots 、A_N \）を与えるために、このアルゴリズムは、実用上不便で、計算集約的です。
\ [\左\ {\開始 {整列} A_0 + A_1 X_0 + \ cdots + A_N X_0 ^ N＆= Y_0、\\ A_0 + A_1 X_1 + \ cdots + A_N X_1 ^ N＆= Y_1、\\ \ vdots＆ \（3）\\ A_0 + A_1 x_nに関する+ \ cdots + A_N x_nに関する^ N＆= y_n、端{整列} \右\ \]
セット\（\ PHI（C_1、C_1 、\ cdots、C_Nは）\） 数は超えないで\（N-を\）多項式空間、構成\（\ PHI（C_1、C_1 、\ cdots、C_N）\） のセット基底関数\（L_0（X）、L_1（X）、\ cdots、L_n（X）\） 、その結果、補間多項式を求めて
\を[L_n（x）= \和_ {i = 0} ^ {n}はa_iをL_iを（ X）\（4）\]
係数\（a_iを\）に簡単。
\（L_n（X）\）のように書くことができる
\ [L_n（x）=（ L_0（X）、L_1（X）、\ cdots、l_n（X））（A_0、A_1、\ cdots、A_N）^ T（\ 5）\]
と
\ [L_n（X_I）はF = （X_I）、\ I = 0,1、\ cdots、N。（6）\]
故
左\ [\ [\開始{行列} L_0（X_0）＆L_1（X_0）＆\ cdots＆l_n（X_0）\\ L_0（X_1）＆L_1（X_1）＆\ cdots＆l_n（X_1）\\ \ vdots＆\ vdots＆＆\ vdots \\ L_0（x_nに関する）＆L_1（x_nに関する）＆\ cdots＆l_n（x_nに関する）\端{行列} \右] \ [\開始{行列} A_0 \\ A_1 \\ \左vdots \\ A_N \端{行列} \右] \左[\開始{行列} F（X_0）\\ F（X_1）\\ \ vdots \\ F（x_nに関する）\端{行列} \右（7 ）\]
マトリックスの式（7）の係数が単位行列である場合、それはすぐに利用可能である
\ [a_iを= F（X_I）
、\ I = 0,1、\ cdots、N。\（8）\] 方程式（7 ）係数行列は、単位行列が、単に
\ [L_iを（X - jが）= \デルタは_ {IJ} = \左\ {\＆＆{整列} 1、＆＆I = J、\\ 0を開始私はNEQを\しますJ、\端{整列} \右。N \ I、J = 0,1、\ cdots、\（9）\]
従って多項式空間（）\ \ PHI（C_1、 C_1、\ cdots、C_N）\ 基底関数の組を求める内\（L_0（X）、L_1（X）、\ cdots、L_n（X）\） 、その結果マトリックスの式（7）の係数は、単位行列である（9）基底関数の条件を満足する構成に変換される（L_iを（X）\）\ので、\（L_iを（X）\）で\（X = X - jが（J = 0,1、\ cdots、I- 1、I + 1、\ cdots、nは）\） である\（0 \） 、それができるように、
\ [L_iを（X）= （X-X_0を（） X-X_1）\ cdots（X -x_ {I-1}）（X-X_ {I + 1}）\ cdots（X-x_nに関する）\（10）\]
前記\（\）が決定される定数。注文に式（10）で\（X = X_I \） 、決定することができる\（\）する
\ [A = \ FRAC 1 { （X_I-X_0）（X_I-X_1）\ cdots（X_I-X_ {I -1}）（X_I-X_ { I + 1}）\ cdots（X_I-x_nに関する）} \]
从而
\ [\開始{整列} L_iを（X）＆= \ FRAC {（X-X_0）（X-X_1）\ cdots（X-X_ {I-1}）（X-X_ {I + 1}）\ cdots（X-x_nに関する）} {（X_I-X_0）（X_I-X_1）\ cdots（X_I-X_ {I-1}）（X_I-X_ {I + 1}）\ cdots（X_I-x_nに関する）} \\ ＆= \ PROD _ {J = 0、j個の\ NEQ I} ^ {N} \ FRAC {X-X - jが} {X_I-X - jが} \（11）\端{整列} \]
记
\[ \omega_{n+1}(x) = \prod _{i=0}^n (x-x_i) \ (12) \]
则
\ [L_iを（X）= \ FRAC {\ omega_ {N + 1}（X）} {（X-X_I）W '_ {N + 1}（X_I）} \（13）\]
そう条件を満足するようにしてもよいこと（1）\（N- \）キュービック補間多項式
\ [L_n（x）= \和_ {i = 0} ^ NF（X_I）L_iを（X）\（14）\]
呼ばれる\（L_n（X）\）であるラグランジュ多項式補間 \、（L_iを（X-）が\）であるラグランジュ補間基底関数。
放物線補間と線形補間2.2
既知の関数\（Y = F（X） \） の点で\（X_0、X_1 \）関数の値はで\（Y_0、Y_1 \） 。ために式（14）で\（N = 1 \） 、ラグランジュ補間多項式
\ [\開始{整列} L_1 \（X）＆= F（X_0）L_0（X）+ F（X_1）L_1（X） \＆= Y_0 FRAC {X \ -x_1} {X_0、X_1} + Y_1 \ FRAC {X-X_0} {X_1-X_0} \\＆= Y_0 + \ FRAC {Y_1-Y_0} {X_1-X_0}（X -x_0）\端{整列} \ （15）\]
其中
\ [L_0（X）= FRAC {X-X_1} {X_0、X_1}、\ L_1（X）= FRAC \ {X-X_0} {X_1-X_0} \ \]
これは2つの結果である\（（X_0、Y_0）、 （X_1、Y_1）\） 直線のので、この方法は一般に呼ばれる線形補間。
既知の関数\（Y = F（X） \） の点で\（X_0、X_1、X_2 \ ） 関数の値がである\（Y_0、Y_1、Y_2 \） 。式（14）で順番に\（N = 2 \） 、ラグランジュ補間多項式
\ [\ {整列} L_2始める （X）＆= F（X_0）L_0（X）+ F（X_1）L_1（X）+ F（X_2）L_2（X） \\＆= Y_0 FRAC \ {（X-X_1）（X-X_2）} {（X_0、X_1）（X_0-X_2）} + Y_1 \ FRAC {（X-X_0）（ X-X_2）} {（X_1 -x_0）（X_1、X_2）} + Y_2 \ FRAC {（X-X_0）（X-X_1）} {（X_2-X_0）（X_2-X_1）} \\＆= Y_0 + \ FRAC {Y_1-Y_0} {X_1-X_0}（X-X_0）\端{整列} \（16）\]
其中
\ [L_0（X）= FRAC \ {（X-X_1）（X-X_2）} {（X_0、X_1）（X_0-X_2）}、\ L_1（X）= FRAC \ {（X-X_0）（ X-X_2）} {（X_1-X_0）（X_1、X_2）}、\ L_2（X）= FRAC \ {（X-X_0）（X-X_1）} {（X_2-X_0）（X_2-X_1）} \]
式（16）の2次関数であるによるものである（（X_0、Y_0）、\ （X_1、Y_1）、（X_2、Y_2）\） 放物線のため、この方法は、一般に参照される放物線補間を。