オーディオとビデオの研究ノート - ベクトルの理解

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大学は、線形代数を学ぶことがなかったが、唯一再び確認することができます。
「3D数学の基礎。：グラフィックスとゲームの開発」の本をお勧めします

ベクトル

数学的な定義

数学者のために、ベクターは、プログラマのため、番号のリストである他の同様の概念である- アレイ

ベクトルとスカラー

ベクトルとスカラー数学区別し、「速度」および「変位」ベクトルであり、「速度」と「長さ」はスカラーです。

ベクトルの次元

次元ベクトルは、一次元、二次元、三次元、四次元ベクトルに含まれるベクトルの「数個」の数です。それぞれ、以下の図表す：



図4 $C_w$画像は、OpenGLでレンダリング、スケーリング係数を表し

位置と変位

ベクターには、位置、サイズのみと向きを持っていません。
例えば：

• 変位：「フォワード3つのステップを取る」、この文は、音の位置についてであるが、実際には文で使用される量ではなく、絶対位置よりも、相対変位を示します。相対変位の大きさは、（三段階）及び方向（前方）からなるので、ベクトルで表現することができます。
• 速度：「我々は、毎時50マイルの速度で北に走行し、」フレーズがどのサイズ（毎時50マイル）と方向（北）、ない特定の位置量を記載しています。「毎時50マイルの速度北」ベクターを発現させることができます。
  注：変位、速度及び距離は、速度は完全に異なる定義があります。任意の方向を指定しない変位及び速度は、方向と距離と速度を含むベクターは、スカラーです。
  
  だから、覚えている：ベクトル図、長さだけ矢印の方向が重要である、それは場所が含まれていません。

ベクトル演算

負のベクトル

負の量、元のベクトルと等しくかつ反対のベクトルを取得します

アルゴリズム：

-[x,y] = [-x,-y]
-[x,y,z] = [-x,-y,-z]
-[x,y,z,w] = [-x,-y,-z,-w]
…

向量大小

运算法则

加法

向量a和向量b相加的几何解释为，平移向量，使得向量a的头指向向量b的尾，接着从a的尾向b的头画一个向量。这就是向量加法的“三角形法则”。

点乘

$a\cdot b = a_x b_x + a_y b_y (a和b是2D向量)$
$a\cdot b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z(a和b是3D向量)$
从上述公式中可以看出，点乘满足交换率。
点乘是得到的标量，并满足交换律，所以我们在OpenGL中需要矩阵效果叠加不能使用点乘。

几何解释

点乘等于向量大小与向量夹角的cos值的乘积

$a·b =|a||b|\cos \theta$

ベクトルプロジェクション

投影点によれば、上記なす角を算出することができます

ベクトルの外積

得られたクロス積は、法線ベクトルと呼ばれる、元の2つのベクトルに垂直なベクトルであります

図平面において、A、B、 $\回B$ AとBに垂直直接平面上の点、

切り出し平行四辺形組成正方形算出部によって

、B場合並行して、0またはいずれか $\回B = 0$ので、零ベクトル外積の定義がある：それは、他のベクトルに平行です。
それは証明されてい $\回B$に対して垂直に、Bが、Aに対して垂直に、Bは二つの方向、どのように判断するのか？Bに時計方向または反時計方向頭部と尾部Bの、およびチェックを接続することにより、あなたは法線の方向を決定することができるであろう。
aとbが法線ベクトルあなたから離れて、次に反時計回りであった場合は左手座標系では、時計回りで、bは、次いで、法線ベクトルはあなたを指している場合。
右手座標系において、もしBの反時計回り、次に法線ベクトル点もし、あなたから離れて時計回りにおよびbは、法線ベクトル場合。