最初の2つのリンクが（実際には、最初の章では、一部のボードも表示されません）：
例6：
求：\（\和\ limits_ {i = 1} ^ n個の\和\ limits_ {J = 1} ^ MD（iは時間j）を\ \）
式がある：\（D（私は\ Jタイムズ）= \ SUM \ limits_ {X | I} \ SUM \ limits_ {Y | J} [\ GCD（X、Y）= 1] \）
もちろん、それは本当です、それは我々が精通している奇妙な方程式に変換することができます\（\ GCDの\）友人。
\（= \和\ limits_ {i = 1} ^ n個の\和\ limits_ {J = 1} ^ m個の\和\ limits_ {X | I} \和\ limits_ {Y | J} [\ GCD（X、Y ）= 1] \）
\（= \和\ limits_ {X = 1} ^ n個の\和\ limits_ {Y = 1} ^ M [\ GCD（X、Y）= 1] \回\ lfloor FRAC \ NX \ rfloor \回\ lfloor \ ）\私の\ rfloorをFRAC
\（= \和\ limits_ {i = 1} ^ n個の\和\ limits_ {J = 1} ^ M [\ GCD（I、J）= 1] \回\ lfloor FRACのニッケルの\ rfloorの\時間\ \ lfloor \ FRACのMJ \ rfloor \）
\ lfloor \ FRAC N {ID} \ rfloor \和\（= \和\ limits_ {D = 1} ^ n個の\ミュー（D）\和\ limits_ {i = 1} ^ {ND \ rfloor \ lfloorの\のFRAC} \ limits_ {J = 1} ^ {\ lfloorの\のFRAC側MD \ rfloor} \ lfloor \ FRACのM {JD} \ rfloor \）
我々は設定\（S（N）= \ SUM \ limits_。1} ^ {N-I = \ lfloor \ FRACニッケル\ rfloor \） 。
\（= \ sum_ {D = 1} ^ n個の\ミュー（D）\回S [\ lfloor \ FRAC ND \ rfloor] \回S [\ lfloor \ FRAC MD \ rfloor] \）
次に、あなたが行うことができます\（O（\ sqrtの{N }）\）をすべての問題、解決するために、\（O（N \タイムズ\ n型SQRT {}）\）の前処理の友達を。
例7：
求：\（\和\ limits_ {i = 1} ^ n個の\和\ limits_ {J = 1} ^ m個の\ varphi（iは時間j）を\ \）
式を導出する第一：
\ FRAC {P-1} Pjの\ PROD \ limits_ {P | J} \ FRAC {P-1} P | \（\ varphi（I）\回\ varphi（J）= iがPRODの\のlimits_を{I P} \します\）
\（~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = IJ \ PROD \ limits_ {P | I} \ FRAC {P-1} Pの\ PRODの\のlimits_ {P | J} \ FRAC {P-1} P \）
\（~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = IJ \ PRODの\のlimits_ {P | I〜または〜P | J} \ FRAC {P-1} Pの\のPROD \ limits_ {P | I〜と〜P | J} \ FRAC {P-1} P \）
\（~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = IJ \ PROD \ limits_ {P | IJ} \ FRAC {P-1} Pの\のPRODの\のlimits_ {P | \ GCD （i、j）は} \ FRAC {P-1} P \）
\（回\ \従って\ varphi（I）\回\ varphi（J）\回\ GCD（I、J）= \ varphi（\ GCD（I、J））\ varphi（IJ）\）
その後、我々はその後、式の変換を促進することができます：
\（\開始{整列}＆\のsum_ {i = 1} ^ n個の\ sum_ {J = 1} ^ m個の\ FRAC {\ varphi（I）\回\ varphi（J）\回\ GCD（i、j）は} {\ varphi（\ GCD（I、J））} \\ =＆\ sum_ {D = 1} ^ n個の\ FRAC {D} {\ varphi（D）} \ sum_ {i = 1} ^ {\ lfloor回\回\ \ FRAC {n}は{D} \ rfloor} \ sum_ {J = 1} ^ {\ lfloorの\のFRAC {M} {D} \ rfloor} \ varphi（ID）\ varphi（JD）[\ GCD （I、J）= 1] \\ =＆\ sum_ {D = 1} ^ n個の\ FRAC {D} {\ varphi（D）} \ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloorの\のFRAC ND \ rfloor} \ MU（K）\ sum_ {i = 1} ^ {\ lfloorの\のFRAC N {KD} \ rfloor} \ sum_ {J = 1} ^ {\ lfloorの\のFRACのM {KD} \ rfloor} \ varphi（IKD） \ varphi（JKD）\\ =＆\ sum_ {T = 1} ^ n個の\ sum_ {D | T} \ FRAC {D} {\ varphi（D）}倍\ミュー（\ FRACのT d）は\ \ sum_ { I = 1} ^ {\ lfloorの\のFRAC N Tの\ rfloor} \ varphi（IT）\ sum_ {J = 1} ^ {\ lfloorの\ FRACのM Tの\のrfloor} \ varphi（JT）\端{整列} \）
我々はいくつかの機能を導入しました：
\（\開始{整列} F（N）= \ sum_ {D | N} \ FRAC {D} {\ varphi（D）} \回\ミュー（\ FRACのT d）は\端{整列} \）
私たちはできる（O（N \ログN） \）\ この事の時間を取得します。
\（\開始{整列} G（Y、X）= \ sum_ {i = 1} ^ X \ varphi（IY）\端{整列} \）
我々は、再発式を有する：\（G（Y、X）= G（Y ,. 1-X）+ \ varphi（XY）\）
であってもよい（O（n）のn個のログを\ \）\ 時間で得られました。
\（\開始{整列} S（Y、Z、X）= \ sum_ {T = 1} ^ X \ sum_ {D | T} \ FRAC {D} {\ varphi（D）}倍\ミュー（\ \ FRACのT D）\ sum_ {i = 1} ^ {Y} \ varphi（IT）\ sum_ {J = 1} ^ {Z} \ varphi（JT）\端{整列} \）
再帰的な式もある：\（S（Y、Z、X）= S（Y、Z ,. 1-X）+ F（X）\タイムズG（X、Y）\タイムズG（X、Z）\）
事前終わっこれらの3つの関数がメモリを揚げされ、明らかに非現実的です。
私たちは、リミット設定\（B \）を：
すべての\（\ lfloor \ FRACのNd \ rfloor \）、\ （\ lfloor \ FRAC MD \ rfloor \）である未満\（Bの\）前処理され、そうすることができるであろう\（O（\ SQRT {N }）\ ）時間のこの部分内で解決しました。
より大きい\（B \） 、我々が見つかりました\（D <B \）を、私たちは直接カウントはであることができるバーストができ（O（\ lfloor \ FRAC N \ Bの\ rfloor））\ 時間で解きます。
合計時間の複雑性分析：
\（O（n回B ^ 2 + Qの\時間（\ SQRT N + \ lfloorの\のFRAC N Bの\ rfloor）ログ\ N + N \）\）
ときことを見出した（B = 35 \）\行われ、ほとんどの値へのアクセスを！
最終試験に加え、最近のゲームをプレイキャッチ一部の人がいるので、明日は部屋が来せません。
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