シリーズの仕上げ

無限シリーズ

\(\sum_{i=1}^∞u_i=u_1+u_2+...+u_n+...\)

無限級数は、項の無限シーケンスの合計です。無限項と比較して、無限級数の最初の n 項である一連の有限項もあります。

\(S_n=\sum_{i=1}^nu_i\)

無限級数の最終結果が ∞ である場合、その無限級数は発散的であると言います; 無限級数の最終結果が数値 A である場合、その無限級数は収束していると言います。と同等です

\(\lim_{n->∞}Sn=A\)

収束すること、逆に発散すること。

いくつかの特別なシリーズ

• 幾何級数

\(\sum_{n=1}^∞aq^{n-1}\)     (a>0)

公比の絶対値 |q|<1 の場合、級数は次のように収束します。

\(1+{1\over 2}+{1\over 4}+{1\over 8}+...+{1\over 2^n}+...=2\)

|q|>1 の場合、級数は次のように発散します。

\(1+2+4+8+...+2^n+...=∞\)

• Pシリーズ

\(\sum_{n=1}^∞{1\over n^P}\)

P≤1の場合、発散します

P>1の場合、収束します

P=1 の場合、\(\sum_{n=1}^∞{1\over n}= ∞\)

これらは 2 つの非常に重要なシリーズです。

正項系列判定収束法

正の系列には次の特性があります。

1. 正の級数が収束するための必要十分条件は、その部分和が有界数列であることです。
2. 正の項系列が収束する場合、収束値は{ \(S_n\) }の上限になります。
3. 正の項系列が発散する場合、正の無限大まで発散する必要があります。
4. 収束する正の系列の場合、合計の順序を任意に変更することで得られる新しい系列も収束し、合計は変化しません。

• 比較法

1. 一般形式: if

\(b_n≧a_n≧0\)

しかし

1. \(\sum_{n=1}^∞a_n\)が発散すると、\(\sum_{n=1}^∞b_n\)も発散します
2. \(\sum_{n=1}^∞b_n\)が収束すると、\(\sum_{n=1}^∞a_n\)も収束します

例 1: \(\sum_{n=1}^∞{(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n}\)

\({(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n}=({\sqrt{2}+(-1)^n\over 3})^n\)はポジティブなシリーズ

この数列は等比数列ではありませんが、次のことがわかります。

\(({\sqrt{2}+(-1)^n\over 3})^n≤({\sqrt{2}+1\over 3})^n\)

\(({\sqrt{2}+1\over 3})^n\) は等比数列であるため、その公比\({\sqrt{2}+1\over 3}<1\) は次の収束になります。 、 したがって

\(\sum_{n=1}^∞{(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n}\) は収束します。

2. 極端な形式:

\(\sum_{n=1}^∞a_n\)と\(\sum_{n=1}^∞b_n\) は両方とも正の系列です

\(\lim_{n->∞}{a_n\over b_n}=C>0\)

その後、両方が収束し、一緒に分散します

証明: \(\lim_{n->∞}{a_n\over b_n}=C\)の場合、任意の ε>0 に対して正の整数 N が存在することがわかり、n>N の場合には\が存在します。(|{a_n \over b_n}-C|<ε\)、と同等

\(- ε<{a_n\over b_n}-C<ε\)

\(C- ε<{a_n\over b_n}<C+ε\)

\((C-ε)b_n<a_n<(C+ε)b_n\)

C>0 なので、C-ε>0 となるように ε を十分に小さくすることができます。

\(b_n<{a_n\over C-ε}\)

比較方法によれば、\(\sum_{n=1}^∞a_n\)が収束すると、\(\sum_{n=1}^∞b_n\)も収束します。

また

\(a_n<(C+ε)b_n\)

\(\sum_{n=1}^∞b_n\)が収束すると、\(\sum_{n=1}^∞a_n\)も収束します。

例 2: \(\sum_{n=1}^∞{1\over \sqrt{n^3-n+1}}\)

\({1\over \sqrt{n^3-n+1}}～{1\over \sqrt{n^3}}={1\over n^{3\over 2}}\) なので、同じ次数 無限に小さい (無限小については、高度な数学の関数の連続性を参照してください)

すると\(\lim_{n->∞}{n^{3\over 2}\over \sqrt{n^3-n+1}}=1\) になります。

\(\sum_{n=1}^∞{1\over n^{3\over 2}}\) は収束するため、元の系列\(\sum_{n=1}^∞{1\over \sqrt { n^3-n+1}}\)も収束します。

例 3: \(\sum_{n=2}^∞ln(1+{2\over n})\)

\(ln(1+{2\over n})～{2\over n}\)なので

\(\sum_{n=2}^∞{2\over n}\) は発散しているため、元の系列\(\sum_{n=2}^∞ln(1+{2\over n}) \)発散しています。

• 比率/平方根値法

1. 比率判別方法

\(\sum_{n=1}^∞u_n\)が満たされる場合

\(\lim_{n->∞}{u_{n+1}\over u_n}=l\)

しかし

1. 0≤l<1、\(\sum_{n=1}^∞u_n\) は収束します。
2. l>1、\(\sum_{n=1}^∞u_n\) は発散します。
3. l=1、未定

n→∞の場合、

\({u_{n+1}\over u_n}=l\)

\(u_{n+1}=l⋅u_n\)

これは、極限状況に似た等比数列であることを示しています。l は公比です。公比が 1 より小さい場合は収束を意味します。1 より大きい場合は発散を意味します。1 に等しい場合は、発散を意味します。 、不確かです。

例 4: \(\sum_{n=1}^∞{2^n\over n!}\)

\({u_{n+1}\over u_n}={2^{n+1}\over (n+1)!}⋅{n!\over 2^n}={2\over n+1} \)

\(\lim_{n->∞}{2\over n+1}=0<1\)

したがって、元の系列\(\sum_{n=1}^∞{2^n\over n!}\) は収束します。

例 5: \(\sum_{n=1}^∞{2^n+3\over 3^n-2}\)

\({u_{n+1}\over u_n}={2^{n+1}+3\over 3^{n+1}-2}⋅{3^n-2\over 2^n+3 }={(2+{3\over 2^n})⋅(1-{2\over 3^n})\over (3-{2\over 3^n})⋅(1+{3\over 2^n})}\)

\(\lim_{n->∞}{(2+{3\over 2^n})⋅(1-{2\over 3^n})\over (3-{2\over 3^n}) ⋅(1+{3\over 2^n})}={2\over 3}<1\)

したがって、元の系列\(\sum_{n=1}^∞{2^n+3\over 3^n-2}\) は収束します。

2. 根値同定法（コーシー収束法）

\(\sum_{n=1}^∞u_n\)が満たされる場合

\(\lim_{n->∞}{\sqrt[n]{u_n}}=l\)

しかし

1. 0≤l<1、\(\sum_{n=1}^∞u_n\) は収束します。
2. l>1、\(\sum_{n=1}^∞u_n\) は発散します。
3. l=1、未定

n→∞の場合、

\({\sqrt[n]{u_n}}=l\)

\(u_n=l^n\)

これも同様の等比数列で、l は公比で、公比が 1 より小さい場合は収束を意味し、1 より大きい場合は発散を意味し、1 に等しい場合は不確かであることを意味します。

例 6: \(\sum_{n=1}^∞{n\over (a+{1\over n})^n}\)    (a>0)

\({\sqrt[n]{u_n}}={\sqrt[n]{n}\over a+{1\over n}}\)

\(\lim_{n->∞}{\sqrt[n]{n}\over a+{1\over n}}={1\over a}\)

1. \({1\over a}<1\)の場合、元の系列\(\sum_{n=1}^∞{n\over (a+{1\over n})^n}\) は収束します。
2. \({1\over a}>1\)の場合、元の系列\(\sum_{n=1}^∞{n\over (a+{1\over n})^n}\) は発散します。
3. \({1\over a}=1\)、つまり a=1のとき、 \(\lim_{n->∞}{(1+{1\over n})^n}=e\)、ここで、高度な数学における2 つの重要な極限を参照できます。そのため、 元の級数\(\sum_{n=1}^∞{n\over (a+{1\over n})^n}\) は発散します。

ここで補足します\(\lim_{n-> ∞}{\sqrt[n]{n}}\)

\({\sqrt[n]{n}}=n^{1\over n}\)

\(\lim_{n->∞}{1\over n}=0\)

\(\lim_{n->∞}n=∞\)

ここで、べき乗関数の制限演算規則を追加し続けます。

べき乗関数\(f(x)=x^a\)、a は定数

1. a>0 の場合、\(\lim_{x->∞}x^a=∞\)
2. a=0の場合、\(\lim_{x->∞}x^a=1\)
3. a<0 の場合、\(\lim_{x->∞}x^a=0\)

この性質から分かることは、

\(\lim_{n-> ∞}{\sqrt[n]{n}}=1\)

 

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