【HUST】Algebra｜Ideale Zerlegungsübungen

Im folgenden Inhalt werden alle Hintergrundwissensteile von GPT generiert. Die Generierungsmethode besteht darin, direkt Fragen zu stellen. Ich habe die Abschnitte mit Fehlern markiert. Ich kann nicht garantieren, dass keine weiteren Fehler auftreten.

Die Übungen sind das Ergebnis des Umschreibens der Teile, die ich nach der GPT-Generierung nicht verstehen konnte. Es kann nicht garantiert werden, dass sie vollständig korrekt sind, und die Genauigkeit wird durch mein persönliches Verständnis begrenzt.

In dieser Frage haben wir festgestellt, dass GPT die folgenden zwei Probleme hat:

Problemlösungslogik ist ungeordnet: Sie neigt dazu, sich in konzeptionellen Erklärungen zu rechtfertigen, und sie wirdeine Eigenschaft erfinden, wenn sie nicht beweisen kann die Logik >, die den Abschluss des Beweises ermöglicht.
Eine symbolische Lösung nimmt tendenziell die Ergebnisse an, die zuvor angezeigt wurden: Wenn sie beispielsweise Gleichungen erweitert und die erstere Gleichung der letzteren Gleichung ähnlicher ist, tendiert sie dazu Die generierten Ergebnisse der beiden Gleichungen sind direkt äquivalent, oder der Zwischenberechnungsprozess ist äquivalent, ohne dass eine Neuberechnung erforderlich ist.

Meine Zusammenfassung dieser Fragen lautet:

Wenn der GPT-Beweis einen großen Sprung macht, können dieser Teil und der folgende Inhalt als falsch angesehen werden, und es besteht kein Grund, weiter zu suchen. Geben Sie einfach manuell einen Beweishinweis für diesen Punkt ein, damit GPT einen korrekteren Beweis neu generieren kann.
Vertrauen Sie nicht dem zweiten und den folgenden symbolischen Lösungswerten von GPT, aber dem ersten kann man vertrauen. Möglicherweise kann dieses Problem durch eine Verbesserung von Prompt gelöst werden.

Der vollständige Q&A-Prozess kann geteilt werden unter:
https://chat.openai.com/share/36b6e68d-3847-4094-b868-7e7c6b0197aa

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Artikelverzeichnis

Hintergrundwissen

1 Zahlenkörper, Ganzzahlringe und Ideale

In der algebraischen Zahlentheorie ist der Ausdruck $\sqrt{3})$ stellt normalerweise ein Ideal dar, das aus bestimmten Elementen generiert wird. In diesem Fall liegt das Ideal im algebraischen Zahlenkörper $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ Ganzzahl $O_K$ Intern generiert. Hier sind einige wichtige Punkte, um dieses Konzept zu verstehen:

Algebraischer Bereich $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ : Dies ist die Summe aller rationalen Zahlen $\sqrt{3}$ Die kleinste Domäne von . Es besteht aus allen Formen $b\sqrt{3}$ Zielzahlenzusammensetzung, innerhalb $a$ Summe $b$ ist eine rationale Zahl.
Ganzzahl $O_K$ : 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ mittel, ganzzahlig $O_K$ besteht aus Elementen mit ganzzahligen Koeffizienten. In diesem speziellen Zahlenfeld: $O_K$ enthält normalerweise alle Formen $n\sqrt{3}$ Zielnummer, innerhalb $m$ Summe $n$ Dies ist eine ganze Zahl.
Ideal $\sqrt{3})$ : Hier sind wir $\sqrt{3})$ ，Meine Angabe ist $\sqrt{3}$ erzeugtes Ideal. Dieses Ideal umfasst alle Formen der Form $\sqrt{3})$ Elemente, darunter $a$ Richtig $O_K$ Jedes Element in . Mit anderen Worten, dieses Ideal enthält alles, was durch $\sqrt{3} dargestellt werden kann$ Teilbare Elemente.

Ideal ist ein Grundkonzept der algebraischen Zahlentheorie, das uns hilft, die Struktur und Eigenschaften von Zahlen im Zahlenfeld zu studieren und zu verstehen. Ideale spielen insbesondere bei der Faktorisierung von Zahlenkörpern und Eigenschaften ganzer Zahlen eine Schlüsselrolle.

2 Konjugation quadratischer Körper und Elemente [Fehler liegt vor, Eigenschaften werden erfunden]

Verstehen und begründen Sie „weil $O_K .“$ ist ein quadratischer Körper und das Konjugat jedes Elements ist auch in $O_K$ Die Aussage „in“ beinhaltet die Definition des quadratischen Bereichs und das Konzept der Konjugation von Elementen. Im Folgenden finden Sie eine detaillierte Erklärung und einen Beweis:

Definition

Quadratisches Feld: Das quadratische Feld hat die Form $\mathbb{Q}(\sqrt{d}) < /span>$ Zahlenbereich, in dem $d$ ist eine ganze Zahl, die kein perfektes Quadrat ist. Diese Domäne enthält alles der Form $b\sqrt{d}$ Zielzahl, darunter $\in \mathbb{Q}$ 。
Konjugierte Elemente: Für Elemente im quadratischen Bereich $b\sqrt{d}$ , sein konjugiertes Element ist definiert als $b\sqrt{d}$ 。

Gemeinsames Wörterbuch $O_K$ Existenz in

Bestätigung：

任 $b\sqrt{d}$ 是 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ , wobei $\in \mathbb{Q}$ 。
nana $Das Synonym von z$ ist $b\sqrt{d}$ 。
由于 $\in \mathbb{Q}$ ，nanao $- b$ 也在 $\mathbb{Q}$ 中
Daher ist das konjugierte Element $b\sqrt{d}$ hat immer noch die Form $d\sqrt{d}$ , innen $C = a$ Summe $D = - b$ 都在 $\mathbb{Q}$ 中
Diese Aussage $Das konjugierte Element von z$ ist auch in $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ Mittel.
Ergebnis $\in O_K$ (sofort $a$ Summe $b$ ist eine Ganzzahl), 则 $b\sqrt{d}$ hat auch ganzzahlige Koeffizienten, also auch $O_K$ Mitte.

Schlussfolgerung:

Für quadratische Domäne $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ befindet sich sein konjugiertes Element auch im selben Zahlenfeld. Insbesondere, wenn das Element zum Ganzzahlring gehört $O_K$ , dann ist sein konjugiertes Element auch in $O_K$ Mitte.

Dieser Beweis basiert auf der Struktur quadratischer Zahlenkörper und der Definition der Konjugation und zeigt die Existenz konjugierter Elemente in Zahlenkörpern und ganzzahligen Ringen.

Ideale Generatoren und ihre zugehörigen Eigenschaften sind ein wichtiges Konzept in der Algebra. Nachfolgend finden Sie eine Erläuterung und Diskussion dieser Konzepte im Markdown-Format.

3. Definition des idealen Generators

Definition

Idealer Generator: Vorhanden $R$ mittel, ein Ideal $I$ ist ein Generator von Elementen $a_1, a_2, .. ., a_n \in R$ , verwende ideal $I$ enthält eine lineare Kombination aller dieser Elemente (unter Verwendung des Rings $Alle Elemente, die unter Verwendung der Elemente in R$ als Koeffizienten gebildet werden können. Wenn ideal $I$ Mögliches einzelnes Element $a$ Generation, unmittelbare Besitzform $r a$ （其中 $\in R$ ) elementare Zusammensetzung $I$ ，Nana mein Name $I$ Zeshu-Ideal, $a$ Dies ist ein natürlicher Generator.

Ideale, deren Generatoren identisch sind

Sind Ideale mit denselben Generatoren gleich?: Wenn zwei Ideale $I$ Summe $J$ in $Wenn es in R$ denselben Satz von Generatoren gibt, dann sind sie dasselbe Ideal. Dies liegt daran, dass die Definition eines Ideals die Menge aller Linearkombinationen seiner Erzeuger ist. Wenn zwei Ideale denselben Erzeugersatz haben, müssen ihre Elementmengen gleich sein.

Beispiel

Hauptideal: Als Ergebnis ein Ideal $I$ in $R$ kann aus einem einzelnen Element bestehen $a$ Generieren, anzeigen $ICH = (a)$ . Diese Bedeutung ist $I$ Inklusive Possessivform 为 $r a$ （其中 $\in R$ )-Element.
Nicht-Hauptideale: In einigen Ringen kann es Ideale geben, die nicht aus einem einzelnen Element erzeugt werden können. Zum Beispiel in $\mathbb{Z}[x]$ (ganzzahliges Systempolynom Idealerweise , ideal $(2, x)$ Einzelelementgenerierung nicht möglich.

abschließend

Die Definition und Eigenschaften eines Ideals hängen von seinem Generator ab. Zwei Ideale sind dasselbe Ideal, wenn sie denselben Generatorsatz haben. Ob das Ideal jedoch aus einem einzelnen Element generiert werden kann (ob es sich also um ein Masterideal handelt), hängt von den Eigenschaften des betrachteten Rings ab.

Diese Konzepte sind in der Algebra und Zahlentheorie von grundlegender Bedeutung für das Verständnis und die Manipulation von Strukturen in Ringen und Feldern. Das Konzept eines Ideals ist besonders wichtig, da es uns ermöglicht, die Unterstruktur von Ringen zu untersuchen und eine Schlüsselrolle in Bereichen wie der algebraischen Zahlentheorie und der algebraischen Geometrie spielt.

Ideal verstehen $\sqrt{3})$ Summe $\sqrt{3})$ und die Art ihrer Generatoren sind ein wichtiger Teil der algebraischen Zahlentheorie. Was folgt, ist eine Analyse dieser beiden Ideale und ihrer Generatoren im Markdown-Format.

4 Analytisches Ideal $\sqrt{3})$ Summe $\sqrt{3})$ [Der Analyseprozess ist Unsinn und die Schlussfolgerung ist falsch]

Ideal $\sqrt{3})$

Generator: Im Zahlenfeld $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ als ganze Zahl, ideal $\sqrt{3})$ Quellelement $\sqrt{3}$ wird generiert. Dies bedeutet, dass Ideale alle Ideale der Form $\sqrt{3}) umfassen$ Elemente, darunter $a$ ist ein beliebiges Element im Ring der ganzen Zahlen.
Ideale Qualität: Yuyu $\sqrt{3})$ ist ein Hauptideal, und alle seine Elemente können ausgedrückt werden als $a\sqrt{3} < /span>$ Form, innerhalb $a$ ist eine Ganzzahl. Diese Elemente bilden die Gesamtheit der Ideale.

Ideal $\sqrt{3})$

Generator: Ebenso ideal $\sqrt{3})$ Quellelement $\sqrt{3}$ wird generiert. Es enthält alle Formen von $\sqrt{3})$ Elemente, darunter $b$ gehört zum Ganzzahlring.
Eigenschaften des Ideals: Die in diesem Ideal enthaltenen Elemente können ausgedrückt werden als $b\sqrt{3}$ -Format, in dem $b$ ist eine ganze Zahl. Diese Elemente definieren das Ideal $\sqrt{3})$ Inhalt.

Vergleichen Sie zwei Ideale

Derselbe Generator? : Obwohl diese beiden Ideale ähnlich aussehen, sind ihre Generatoren unterschiedlich. Einer ist gegeben durch $\sqrt{3}$ wird generiert, und das andere wird generiert durch $\sqrt{3}$ generieren. Das bedeutet, dass sie sich zwar in der Form ähneln, die Menge der darin enthaltenen Elemente jedoch unterschiedlich ist.
Ideale Äquivalenz: Ideal $\sqrt{3})$ Summe $\sqrt{3})$ werden im Allgemeinen nicht als gleichwertig angesehen, da ihre Generatoren nicht gleich sind. In einigen Fällen können die beiden Ideale jedoch ähnliche strukturelle Eigenschaften haben, abhängig vom ganzzahligen Ring $O_K$ spezifische Eigenschaften.

abschließend

Ideal $\sqrt{3})$ Summe $\sqrt{3})$ werden aus verschiedenen Elementen generiert, was dazu führt, dass sie unterschiedliche Mengen von Elementen enthalten. Obwohl die beiden Ideale ihrer Form nach ähnlich sind, unterscheiden sie sich strukturell, was die grundlegende Beziehung zwischen Idealen und ihren Erzeugern widerspiegelt. Das Verständnis dieser Konzepte ist entscheidend für ein tiefes Verständnis idealer Theorien in der algebraischen Zahlentheorie und Ringtheorie.

Verfügbar $O_K$ Finden Sie in heraus, ob $1+\sqrt{3}$ Summe $1-\sqrt{3}$ Für Elemente, die ein Vielfaches von sind, müssen wir das Produkt dieser beiden Elemente berücksichtigen. Nachfolgend finden Sie die detaillierte Analyse im Markdown-Format.

5 analysiert $O_K$ Gleichzeitig $1+\sqrt{3}$ Summe $1-\sqrt{3}$ Elemente, die ein Vielfaches von [Diese Analyse ist von geringem Nutzen] sind

Schritt

计calc乘积: Gedanken $1+\sqrt{3}$ Summe $1-\sqrt{3}$ Das Produkt von , also
$(1+\sqrt{ 3} )(1-\sqrt{3}) = 1 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$
Eigenschaften von Produkten: Dieses Produkt $- 2$ Ja $1+\sqrt{3}$ Summe $1-\sqrt{3}$ Öffentliches Vielfaches von . Denn bei der Multiplikation gilt, wenn eine Zahl $a$ ist die Zahl einer Person $b$ mehrfach, nana $b$ Zulässige Anzeige $a$ Mehr als eine bestimmte Anzahl.
Existenz: Yuyu $- 2$ Ja $1+\sqrt{3}$ Summe $1-\sqrt{3}$ Das Produkt von ist offensichtlich ein Vielfaches dieser beiden Zahlen.
$- 2$ $O_K$ Mittel: Denken $- 2$ ist eine Ganzzahl, also ist eine Ganzzahl $O_K$ enthält alle ganzen Zahlen, also $- 2$ $O_K$ Mitte.

abschließend

vorhanden $O_K$ In gibt es mindestens ein Element, das auch $1+\sqrt{3} ist$ Summe $1-\sqrt{3}$ mehrfach, sofort $- 2$ 。
Yu $- 2$ ist das Produkt dieser beiden Elemente, das ihr gemeinsames Vielfaches sein muss.
Diese Analyse zeigt eine Möglichkeit, gemeinsame Vielfache in bestimmten Ringen zu finden, indem das Produkt zweier Zahlen berechnet wird.

Betonelemente

Inko, Element $- 2$ $O_K$ In ist es gleichzeitig $1+\sqrt{3}$ Summe $1-\sqrt{3}$ Ein bestimmtes Element, das ein Vielfaches von ist.

Verstehen Sie, warum $O_K$ Kein Element in kann gleichzeitig $4+\sqrt{3} sein$ Summe $4-\sqrt{3}$ Vielfaches, wir müssen das Produkt dieser beiden Zahlen betrachten und es im Ganzzahlring analysieren $O_K$ in der Natur. Nachfolgend finden Sie eine detaillierte Analyse im Markdown-Format.

6 analysiert $O_K$ Gleichzeitig $4+\sqrt{3}$ Summe $4-\sqrt{3}$ Elemente, die ein Vielfaches von [erwiesenermaßen falsch] sind

Schritt

Berechnen Sie das Produkt: Betrachten Sie zunächst $4+\sqrt{3}$ Summe $4-\sqrt{3}$ Das Produkt von , also
$(4+\sqrt{ 3} )(4-\sqrt{3}) = 16 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13.$
Eigenschaften der Produkte: Dieses Produkt $13$ Richtig $4+\sqrt{3}$ Summe $4-\sqrt{3}$ Öffentliches Vielfaches von . Theoretisch $13$ als ihr Produkt, sind ihre Vielfachen.
Existenzproblem: Angewidert $13$ ist das Produkt dieser beiden Zahlen, aber das Problem ist $13$ Akzeptieren oder ablehnen $4+\sqrt{3}$ Summe $4-\sqrt{3}$ Linearkombinationen der Form . bei $O_K = \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ können alle Elemente ausgedrückt werden als $b\sqrt{3}$ Form, innerhalb $a$ Summe $b$ Dies ist eine ganze Zahl.
Zeigt das Problem an: Ein Element gleichzeitig erstellen $4+\sqrt{3}$ Summe $4-\sqrt{3}$ Das Element ist ein Vielfaches von und muss als lineare Kombination der beiden Formen ausgedrückt werden können. Mit anderen Worten: Es müssen ganze Zahlen $x, y, z, w$ Verwenden
$x(4+\sqrt{3}) + y(4-\sqrt{3}) = z(4+\sqrt{3}) + w(4-\sqrt{3}) = 13 .$
Allerdings sind solche ganzen Zahlen $x, y, z, w$ Abwesenheit, Ursache $4+\sqrt{3}$ Summe $4-\sqrt{3}$ Aktuelle Ganzzahl $O_K$ Reine Ganzzahlen können in $13$ 。

abschließend

vorhanden $O_K$ Mittelmäßig, bestürzt $13$ Richtig $4+\sqrt{3}$ Summe $4-\sqrt{3}$ Das Produkt von , aber es gibt keine Möglichkeit, es durch eine Linearkombination ganzer Zahlen gleichzeitig zu einem Vielfachen beider Zahlen zu machen.
Daher können wir daraus schließen, dass in $O_K$ Kein Element in kann gleichzeitig $4+\sqrt{3} sein$ Summe $4-\sqrt{3}$ Vielfache.

Diese Analyse zeigt, dass die strukturellen Eigenschaften von Zahlenkörpern und die Möglichkeit von Linearkombinationen entscheidend für die Betrachtung von Idealen und ihren Generatoren sind.

Algebraische Ganzzahlringe sind ein Kernkonzept der algebraischen Zahlentheorie. Nachfolgend finden Sie eine Erläuterung dieses Konzepts im Markdown-Format.

7 Definition algebraischer ganzzahliger Ringe

algebraische ganze Zahlen

Algebraische ganze Zahl: eine Zahl $\alpha$ ist eine algebraische ganze Zahl, wenn es eine Wurzel eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist und das Polynom ein Polynom erster Ordnung ist (der Koeffizient des Termes höchsten Grades ist 1). . Mit anderen Worten: $\alpha$ 满足形如
$x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0$
Zielgleichung, Teil $a_0, a_1, \ldots, a_{n- 1}$ ist eine ganze Zahl.

algebraischer ganzzahliger Ring

Algebraischer Ganzzahlring: In einem gegebenen Zahlenfeld (zum Beispiel $\mathbb{Q}(\sqrt{ d })$ , innen $Da d$ eine ganze Zahl ist, die kein perfektes Quadrat ist), bildet die Menge aller algebraischen ganzen Zahlen einen Ring. Dieser Ring wird normalerweise als $O_K$ , innen $K$ Dies ist der Zahlenbereich. $O_K$ inklusiver Zahlenbereich $Alle algebraischen ganzen Zahlen in K$ .

Eigenschaften algebraischer ganzzahliger Ringe

Ringstruktur: Der algebraische Ganzzahlring ist ein Ring, was bedeutet, dass er unter Addition und Multiplikation geschlossen ist, mit additivem Identitätselement (0) und Multiplikationsidentitätselement (1). Und jedes Element hat ein additives inverses Element.
Integrität: Die Elemente in einem algebraischen Ganzzahlring sind „ganzzahlig“, was bedeutet, dass sie Polynomgleichungen erster Ordnung erfüllen. Dies ähnelt der Integralität rationaler Ganzzahlen, jedoch in einem allgemeineren Sinne.
Beispiel: Zum Beispiel im Zahlenfeld $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ enthält der algebraische Ganzzahlring alle Formen von $b\sqrt{d}$ Element, innerhalb $a$ Summe $b$ ist eine ganze Zahl, die ein bestimmtes führendes Polynom erfüllt.

Bedeutung

Algebraische Ganzzahlringe sind in der algebraischen Zahlentheorie sehr wichtig, da sie die Grundlage für die Untersuchung der Struktur und Eigenschaften von Zahlenkörpern bilden. Das Verständnis algebraischer ganzzahliger Ringe bietet Einblicke in die Faktorisierung von Zahlenkörpern, ideale Strukturen und die arithmetischen Eigenschaften algebraischer Zahlen.

Dieses Konzept ist von grundlegender Bedeutung für das Verständnis fortgeschrittenerer algebraischer Zahlentheorie und algebraischer Geometriekonzepte. Die Theorie algebraischer ganzzahliger Ringe findet in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung, insbesondere bei der Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der Zahlentheorie.

8 Hauptideale und Primärideale

Dieser Inhalt wurde von einem Freund unterrichtet und nicht von GPT generiert.

Primäres Ideal: Minimales Ideal
Hauptideal: Ein Ideal, das nicht zerlegt werden kann

Übung

Übung 1

令 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ ，试证明到 $O_K$ Mitte:

$(1+\sqrt{3}) = (1-\sqrt{3})$
$(4+\sqrt{3}) \neq (4-\sqrt{3})$
$7-3\sqrt{3}) = (4+3\sqrt{3})$
$7+5\sqrt{3}) = (4+\sqrt{3})$

Diese Frage betrifft den algebraischen Zahlenkörper $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ Anordnung im japanischen Stil $O_K$ Ideal. Wir werden die gegebenen Sätze einzeln beweisen. In den folgenden Beweisen verwenden wir grundlegende Konzepte der algebraischen Zahlentheorie, wie Ideale, Normen, konjugierte Elemente usw.

Übung 1 Beweis

(1) $(1+\sqrt{3}) = (1-\sqrt{3})$

Erforderlich $(1+\sqrt{3}) = (1-\sqrt{3})$ müssen wir beweisen, dass die beiden Ideale gleich sind. Das bedeutet, dass wir Folgendes beweisen müssen:

Was meinst du? $(1+\sqrt{3})$ gehört auch zu $(1-\sqrt{3})$ ，Antagonismus.

Bestätigung：

Für Elemente im quadratischen Bereich $b\sqrt{d}$ , sein konjugiertes Element ist definiert als $b\sqrt{d}$ . Inko $1+\sqrt{3}$ Das konjugierte Element von ist $1-\sqrt{3}$ , und sie gehören alle zum algebraischen Ganzzahlring $O_K$ 。
设 $x(1-\sqrt{3})$ $(1-\sqrt{3})$ ein neutrales Element, darunter $\in O_K$ ，即 $x=a+b\sqrt{3}, a,b \in Z$ 。
令 $z=(1+\sqrt{3})$ , die Lösung für die Wartesystemmethode ist erreicht $A = 2, B = - 1$ Ganzzahlige Lösung, diese $\ sqrt{3} \in (1-\sqrt{3})$ 。
Ähnlich können wir erhalten $1-\sqrt{3} = (1+\sqrt{3} ) (-2+\sqrt{3})$ ,inko $1-\sqrt{3} \in (1+\sqrt{ 3})$ 。
Yu $1+\sqrt{3}$ kann ausgedrückt werden als $(1-\sqrt{3})$ , sofort $1+\sqrt{3} \in (1-\ sqrt{ 3})$ .
Gleichzeitig gilt $1-\sqrt{3}$ kann auch ausgedrückt werden als $(1+\sqrt{3})$ , sofort $1-\sqrt{3} \in (1+\ sqrt{ 3})$ .
Daher enthält jedes Ideal den Generator eines anderen Ideals.
Inko, $(1+\sqrt{3}) = (1-\sqrt{3})$ 。

(2) $(4+\sqrt{3}) \neq (4-\sqrt{3})$

Verwenden Sie zur Lösung ähnlich wie bei der obigen Beweismethode die Methode der unbestimmten Koeffizienten.

Bestätigung：

设 $(4+\sqrt{3})(a+b\sqrt{3})= 4-\sqrt{3}$ ， $\in Z$ , das Ergebnis ist $A = 19/13, B = - 8/13$ , eine falsche Ganzzahl.
Inko, $(4+\sqrt{3}) \neq (4-\sqrt{3})$ 。

(3) $7-3\sqrt{3}) = (4+3\ sqrt{3})$

Um diese Gleichung zu beweisen, müssen wir zeigen, dass jedes Element der beiden Ideale zum anderen gehört.

Bestätigung：

验证 $7-3\sqrt{3}) \subseteq (4+3\sqrt {3})$ :
- 昛RAN $-3(4+3\sqrt{3})(4-3 \ sqrt{3})$ , also $\in (4+3\sqrt{3})$ 。
- Als nächstes müssen wir $7-3\sqrt{3} verifizieren$ Kann ausgedrückt werden als $(4+3\sqrt{3})$ ganzzahliges Vielfaches.设 $(4+3\sqrt{3})(a+b\sqrt{3}) = 7- 3\sqrt{3}$ , innerhalb $\in \mathbb{Z}$ 。
- Erweitern und vergleichen Sie die Koeffizienten. Wir finden, dass $A = - 5, B = 3$ Dies ist eine ganzzahlige Lösung. Inko, $7-3\sqrt{3} \in (4+3\sqrt{3})$ 。
验证 $(4+3\sqrt{3}) \subseteq (33, 7-3\sqrt {3})$ :
- $4+3\sqrt{3}$ kann von selbst generiert werden, gehört also offensichtlich zu $(4+3\sqrt{3})$ 。
- Yuyu-Ideal $7-3\sqrt{3})$ Einschluss $33$ Summe $7-3\sqrt{3}$ , es enthält auch alle ihre Linearkombinationen, also alle der Form $y(7-3\sqrt{ 3} )$ Elemente, darunter $\in O_K$ 。
- 令 $4+3\sqrt{3}=33x + y(7-3\sqrt{3 })$ ，解得 $X = 1/3, Und = - 1$ , Sie können sehen, dass es sich nicht um eine rationale ganze Zahl handelt, und dann überlegen, ob es sich möglicherweise um eine algebraische ganze Zahl handelt.
- 解 $4+3\sqrt{3}=33x + y(7-3\sqrt{3})=33(a+b\sqrt{3})+(7-3\sqrt{3})(c+d \sqrt{3})$ , lösen Sie das lineare Gleichungssystem, verwenden Sie sagemath:
```
a, b, c, d = var('a b c d')
eq1 = 33*a + 7*c + 9*d == 4
eq2 = 33*b + 7*d - 3*c == 3
solve([eq1, eq2], a, b, c, d)    
```
  Erhalten[[a == -3/11*r1 - 7/33*r2 + 4/33, b == -7/33*r1 + 1/11*r2 + 1/11, c == r2, d == r1]], offensichtlich gibt es eine ganzzahlige Lösung, wenn r1 33 und r2 11 ist.
- Inko, $(4+3\sqrt{3}) \subseteq (33, 7-3\ sqrt{3})$ 。

(4) $7+5\sqrt{3}) = (4+\sqrt{ 3})$

Auch hier müssen wir zeigen, dass diese beiden Ideale gleich sind.

Bestätigung：

验证 $7+5\sqrt{3}) \subseteq (4+\sqrt{3 })$ :
- 昛RAN $(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3})$ , also $\in (4+\sqrt{3})$ 。
- 设 $(4+\sqrt{3})(a+b\sqrt{3}) = 7+5\sqrt{3}$ , innerhalb $\in \mathbb{Z}$ 。
- Expansionsverhältnissystem, $A = 1, B = 1$ Dies ist eine ganzzahlige Lösung. Inko, $7+5\sqrt{3} \in (4+\sqrt{3})$ 。
验证 $(4+\sqrt{3}) \subseteq (13, 7+5\sqrt{3 })$ :
- Um dies zu beweisen, müssen wir $4+\sqrt{3} zeigen$ kann ausgedrückt werden als $y(7+5\sqrt{3})$ Form, in der $x$ Summe $y$ ist eine Ganzzahl $O_K$ Elemente in .
- 令 $4+\sqrt{3} = 13x + y(7+5\sqrt{3})$ . $b\sqrt{3}$ Summe $d\sqrt{3}$ ，其中 $\in \mathbb{Z}$ 。
- Erweitern Sie die Gleichung und lösen Sie das lineare Gleichungssystem, um $a, b, c, d$ Ziel:
```
a, b, c, d = var('a b c d')
eq1 = 13*a + 7*c + 15*d == 4
eq2 = 13*b + 7*d + 5*c == 1
solve([eq1, eq2], a, b, c, d)
```
  Erhalten[[a == -15/13*r1 - 7/13*r2 + 4/13, b == -7/13*r1 - 5/13*r2 + 1/13, c == r2, d == r1]]. Wenn r1 13 und r2 13 ist, gibt es offensichtlich eine ganzzahlige Lösung.
- Inko, $7+5\sqrt{3}) = (4+\sqrt{3 })$ 。

Übung 2

令 $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ ，Testversion $O_K$ Mitte:

Finden Sie alle Ideale im Bereich 1, 2, 3, 4 und 5;
Sucherideal $(2), (3), (4), Elementare ideale Zerlegung von (5)$ .

Übung 2 Beweis

Um dieses Problem zu lösen, müssen wir zunächst das Zahlenfeld verstehen $\mathbb{Q}(\sqrt{-1}) < /a >$ Ganzzahl $O_K$ Die Struktur von und dann basierend auf dieser Struktur das Ideal einer bestimmten Norm und die Primidealzerlegung eines gegebenen Hauptideals finden.

1. Finden Sie alle Ideale im Bereich 1, 2, 3, 4, 5

Im Zahlenfeld $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ mittel, ganzzahlig $O_K$ ist der Ring der Gaußschen ganzen Zahlen, der alle Formen von $b\sqrt{-1} enthält$ Ganzzahl, wobei $a$ Summe $b$ Dies ist eine ganze Zahl.

Definition der Norm: In diesem Ring ist ein Element $\alpha = a + b\sqrt {- 1}$ Die Norm von ist definiert als $N(\alpha) = a^2 + b^2$ 。
Das Ideal mit Norm 1: Das einzige Ideal mit Norm 1 ist $(1)$ ，Sofortige Anpassung $O_K < /span>$ 。
Ideal mit Norm 2: Die Elemente mit Norm 2 sind $\pm 1 \pm \sqrt{- 1}$ , also umfassen Ideale mit Norm 2 die Ideale, die von diesen Elementen erzeugt werden.
ca. 3 的 IDEAL: $O_K$ Es gibt keine Elemente mit Norm 3 in , also gibt es kein Ideal mit Norm 3.
Ideal mit Norm 4: Elemente mit Norm 4 umfassen $\pm 2, \pm 2 \sqrt{ -1}$ Ideale mit Norm 4 umfassen also die Ideale, die von diesen Elementen erzeugt werden.
Ideal mit Norm 5: Elemente mit Norm 5 umfassen $\pm 1 \pm 2\sqrt{-1}, \pm 2 \pm \sqrt{-1}$ Ideale mit Norm 5 umfassen also die Ideale, die von diesen Elementen erzeugt werden.

2. Sucherideal $(2), (3), (4), (5)$ elementare ideale Zerlegung

Primäres Ideal $(2)$ : $O_K$ mittel, $(2)$ Unwiderstehliches Ideal, Ursache $1+\sqrt{-1})^2=(4,2 \times ( 1+\sqrt{-1}),2\sqrt{-1})=(2)$ ，并且 $1-\sqrt{-1})^2=(4,2 \times (1 -\sqrt{-1}),-2\sqrt{-1})=(2)$ ，Kann gesehen werden $OK_K$ Medium 2 gegeben $(1+\sqrt{-1})$ Summe $(1-\sqrt{-1})$ Autome. Und, $(2)$ $(2)=(1+\sqrt{-1})(1-\sqrt{-1})$ , daher ist es möglich, $(1+\sqrt{-1})$ Summe $(1-\sqrt{-1})$ Diese beiden Hauptideale.
Primäres Ideal $(3)$ : Yuyu 3 $O_K < /span>$ ist eine Primzahl, $(3)$ Das Selbst ist das Ein-Element-Ideal.
Hauptideal $(4)$ : Das ist mehr als ideal $2)(2) = (2)^2$ , sofort $\sqrt {-1})^2$ $\sqrt {-1})^2$ , also ist der Zerlegungsprozess des Primideals $\sqrt {-1})^2(1 - \sqrt {-1})^2$ , kann zerlegt werden $(1+\sqrt{-1})$ Summe $(1-\sqrt{-1})$ Diese beiden Hauptideale.
Hauptideal $(5)$ : $O_K$ mittel, $(5)$ Unwiderstehliches Ideal, Ursache ist ewig $2+\sqrt{-1}) \times (5, 2-\sqrt {-1})=(25,5 \times (2+\sqrt{-1})$ ， $\times (2 -\sqrt{-1}), 4-(-1))=(5)$ 。而且 $(5)$ $\sqrt {-1})$ $\sqrt {-1})$ , daher ist es möglich, $(2+\sqrt{-1})$ Summe $(2-\sqrt{-1})$ Diese beiden Hauptideale.