質問の愛の科学実験のクラス選択のために2014年に科学技術大学 - 数学| Math173
出典：蘭チーページ
ブランクで充填（5つの小さな問題のタイトル、8点のそれぞれ、40点の合計）
1、\セット（fは（X）= \ dfrac {X}は{\ SQRT {1 + X ^ 2}} \）、次いで\（N- \）重み複合関数\（f_n（x）= F（F（\ cdotsのF（X）\ cdots））= \）_______。
2、提供多項式\（P（X）\）を満たすが、\（P \左（X ^ 2 + 1 \右）= \ P（X）\右）^ 2 + 1 \（左）と\（P（0 ）= 0 \）、次いで\（P（x）= \）_______。
図3は、（{\左（3 ^ {K + 1} -2 ^ {K + 1} \右）\左\（S_N = \和\ limits_ {k = 1} ^ n個の\ dfrac {6 ^ K}を設定します3 ^ K-2 ^ K \右）} \）、次いで制限\（\ LIM \ limits_ {N \ inftyのに\} S_N = \）_______。
4、\（X> 0 \）、関数\（右\左（X ^ 6 + \ dfrac1 {X ^ 6} \ F（X）= \ dfrac {\左（X + \ dfrac1x \右）^ 6-最小）-2} {\左（X + \ dfrac1x \右）^ 3 + \左（X ^ 3 + \ dfrac1 {X ^ 3} \右）} \）_______です。
図5は、すべての学生で\（20 \）の学生が提供され、1〜6個選択した6コースから学ぶことができると仮定して、一つは選択することはできません。次の命題が正しいかを判断するようにしてください：（5 \）の学生がこれらの2つのコースを選択している、または選択しなかった、この\を作り、（5 \）の学生と2つのコースが\され、オプションの「右」または「いいえ「_______。
II（14分のタイトル）
1、\（\）は、正の整数であり、\（\ SQRT A \）が整数でない場合、それを証明する：\（\ SQRT A \）が無理数です。
2、テストカードは：（0,0,0 \）\に加えて、他の整数\（M、N、Pの\）よう\ [M + N \ SQRT2 + P \ sqrt3 = 0 \] III（タイトルが存在しません16点の合計）\（A、B、C \）は、三角形の辺の長さであり、\（P = \ dfrac {A + B + C} 2 \）、\（rは\）証明、内接円の半径でありう：\ [\ dfrac1 {（PA）^ 2} + \ dfrac1 {（PB）^ 2} + \ dfrac1 {（PC）^ 2} \ geqslant \ dfrac1 {R ^ 2} \。]
IV（12ポイントのタイトル）が実証：\（m個\）は正の整数、\（A_M = \ dfrac12 + \ dfrac13 + \ dfrac14 + \ dfrac15 + \ cdots + \ dfrac1 {2 ^ M} \）されていない整数でみましょう。
V.（タイトル18ポイントの合計）数字は2013 Evergrandeフットボールクラブ、計画の家とAFCチャンピオンズポスターのFCソウルサッカーチームの決勝戦、左の定数旅団で、右はソウルのチームで、ポスターの教訓は何ですか？2枚の数式のポスターの結果の簡単な導出を必要とします。数式は、（\のSQRT {1 + 2 \ SQRT {1 + 3 \ SQRT {1 + 4 \ SQRT {1+ \ cdots}}}} \）（ラマヌジャン式）、その他があるが\されます\（\ mathrm E ^ {\パイの\ mathrm i}は+1 \）（既知のオイラー式\（\ mathrm電子^ {\パイの\ mathrm I} = \ iは罪\アルファ\を\ + \ mathrm \アルファCOS） ）。
回答
まず、空白を埋めます
1、\（\ dfrac {X}は{\ SQRT {1 + NX ^ 2}} \）。
2、\（X \） プロンプト 式\（P（X）-x = 0 \） 多数存在するゼロ、その後\（P（X）= Xの \）。
3、\（2 \）は、 プロンプト （\ \ dfrac {2 ^ kの分割エントリ } {3 ^ K-2 ^ K} - \ dfrac {2 ^ {K + 1}}、{3 ^ {K + 1} - 2 ^ {K + 1}} \）。
4、\（6 \） プロンプト 関数\（F（X）= 3 \左（X + \ dfrac 1X \右）\）。
図5に示すように、無 プロンプト \（6 \）選択コース\（3 \）合計ドア\（{\のRMのC} _6 ^ 3 = 20 \） の異なる組み合わせ、各生徒が組成物から選択されるように、その後、任意2つのコースを同時に、学生が選択されていないと同時に、オプション番号\（4 \）。
第二に、少し
ヒントは 矛盾です。
第三に、わずか
先端 \（PR = S \）、および\（S = \ SQRT {P （PA）（PB）（PC）} \）。
第四に、わずか
先端 共通\の右側に配置された[左\ [2,3,4、\ cdotsは、2 ^ m個の\右] = 2 ^ Mの\ CDOT pは、\] \（Pは\）、奇数であることにより、両側の一方右側が奇数である一方で、共通の分母に、それは、でも、左側にあります。
注 証明することができるこの方法の利点を\（\和\ limits_ {I = 1} ^ nは{\ dfrac 1I} \）、 \（N \で\ mathcal N ^ * \） と\（N \ geqslant 2 \）彼らは整数ではありません。加えて、この方法は、\（2 \）のパワーから開始する必要はありません。
注IIは また、両側に同時に\（\ dfrac {[2,3、乗算よい \ cdots、2 ^ M]}のp \）の品質係数の\（P \）分解が奇数の素因数の最大数の各々の右辺の分母であり、その後、バートランド-チェビシェフ定理は \（P \）を含むが、さらに得るために、唯一の項目です。
第五に、\（3：0 \）
先端 ラマヌジャン同一性が認め\ [N = \のSQRT {1+ （N-1）（N + 1）}、\] ので\ [\開始{スプリット} 3 ＆= \ SQRT {1 + 2 \ CDOT 4} \\＆= \ SQRT { 1 + 2 \ SQRT {1つの+ 3 \ CDOT 5}} \\＆= \ {1 + 2 \ SQRT {1 + 3 \ SQRT {1つの+ 4 \ CDOT 6}} SQRT } \\＆= \ cdots端\ {スプリット}。\]
質問の愛の科学実験のクラス選択のために2015年に科学技術大学 - 数学| Math173
まず、空白を埋めます
1、放物線\（y ^ 2 = 2 \ SQRT 2X \）、正のポイント軸軸上の焦点が\（F \）、\（Y軸\）であると仮定すると、\される（N \）。\（P \）の行のユニークポイントが存在する場合、このような\（\角NPF = 90 ^ \ CIRC \）は、その後、\（N \）座標点_______であること。
2、\（\ dfrac {1} {\ SQRT 1+ \ SQRT 2} + \ dfrac {1} {\ SQRT 2+ \ SQRT 3} + \ cdots + \ dfrac {1}は{\ SQRT {255} + \ SQRT {256}} = \）______。
3、それは既知\されている場合（\ LIM \ limits_ {N \に+ \ inftyの} \左（\和\ limits_ {i = 1} ^ n個の\ dfrac {1} {I} - \ LN N \右）\）存在している、\（\和の\ limits_ {I = 0} ^ {+ \ inftyの} {\ dfrac {（ - 1）^ {I + 2}} {I + 1} = \）_______。
図4は、三角形領域を構成\されなければならない取ら（境界を含む）の正方形の辺の長さ\（1 \）\（9 \）点、（3 \）点は、_______以下です。
5は、人物の撮影がリング8、リング9、リング10を打つ、それぞれ、確率\（0.15 \）\（0.25 \）\（0.2 \）が、彼は今、\以上の3つのショット、（28 \です）確率リングは_______です。
第二に、質問に答えます
図6に示すように、任意の実数のためであれば\（X、Y \）、\左（（XY）^ 2 \右）= \左（F（X）\右）^ 2-2x \ CDOT F（Y）は、f（\あります\求め、Y ^ 2 \を）+（fは（X）\）。
、確立された（\ leqslant \ dfrac {\ SQRT 2-1} 2 \ | | \のSQRT {1-x ^ 2} -ax-Bの\右\左）7は、すべての\（B \）、これを\見つけますここで、\（X \ [0,1]で\）。
8、もし複合\（Z \）を満足\（| Z | = 1 \）、\を求める（\左| Z ^ 3-Z + 2右\ | ^ 2 \）最低。
図9は、それが既知の三次方程式である\（X ^ 3 +斧^ 2 + BX + C = 0 \）3つの実根を有します。
（1）の場合3つの実根\（X_1、X_2、X_3 \）、および\（X_1 \ leqslant X_2 \ leqslant X_3 \）、\（、B \）は一定の需要\である（C \）の変更\（X_3-X_1 \）の範囲です。
（2）3つの実根\（、bは、C \）、見つけた場合は、\（、B、C \）。
回答
まず、空白を埋めます
1、\（2 \）ヒント：放物線の\（M \）（NF \の）斜辺\中点は、左\（\座標（\ dfrac {\のSQRT {2}} 4,1 \右） \）。
2、（\ 15 \）
3、\（\ LN 2 \）
4、\（\ dfrac 18 \）
ヒント：示されているように。
第二に、質問に答えます
6、\（F（X）= Xの\のLORのF（X）= X + 1 \）注：オーダー\（X = Yの\）\ [Fを得た（0）= \左（F（X）-x \右）^ 2、\]次に\を作る（X = 0 \）使用可能\（F（0）= 0 \ LORのF（0）= 1 \）。
7、\（A = -1 \ランドB = \のdfrac {\のSQRT 2 + 1} 2 \）ヒント：\（X = \ \シータ\ COS）置換によって三角形、\左に\（\シータ\ [0、\ dfrac {\ PI} 2 \右] \）、元の式は[\左\に変形さ|の\ SQRT {1 + A ^ 2} \罪\左（\シータ+ \ varphi \右）-b \右| \ leqslant \ dfrac {\ SQRT 2-1} 2、\]留意代数\（\ SQRT {1 + A ^ 2} \罪\左（\シータ+ \ varphi \右）\）間隔長の範囲の\（\ SQRT 2-1 \）、次いで\（= -1 \）、さらに\超えない（B = \ dfrac {\のSQRT 2 + 1} 2 \）。
8、\（\ dfrac {8}、{27} \）ヒント：複素共役など\（X = Z + \バーのz \）を使用して、元の式がある\に等しい（2X ^ 3-x ^ 2-8x +8 \）、ここで、\（X \ [-2,2] \）です。
図9に示すように、（1）\（\ [\ SQRT {^ 2-3B}、2 \ SQRT {\ dfrac {^ 2} 3-B} \右] \左）。
（2）\するものと理解される（（A、B、C）=（0,0,0）、（1、-1、-1）、（1、-2,0）が\）、（非\として理解しました\左（ - \ dfrac 1bと、B、\ dfrac 2B-Bの\右）\）、ここで\（= B T + \ dfrac 2 {3トン} \）、および\（T = \ SQRT [3] { - 1+ \ SQRT {\ dfrac {19} {27}}} \）。
ソリューション[29]デイリー問題の一般的な三次方程式| Math173
今日の質問は、2011年から、第二次世界選手権数学若者のグループが、質問の第二ラウンドが始まったリレーです。
式\の[（X + 1）（x ^ 2 + 1）（x ^ 3 + 1）30X ^ 3 \ =]実数根及び全てのを。
強力な、私たちの先生は、逆三角形の三角形の変化は_（•ω•「∠）_です
この問題では、今日は、それだけのヒント問題ではありません。今日の問題は、16世紀（時間の競争のタイトルで、数学者はしばしば、彼らの秘密を見つけることが、彼らは同じ問題を解決するようにします。これは確かに非常に知的な気性、そして魅力的なコンテストで、ピアに挑戦しました）：
\の溶液（X \）式の\ [X ^ 3 + PX + Q = 0 \]
キーが正しく元を変更する方法です。
注目\ [\左\ ^ 3 = T ^ 3 + \ dfrac 1 {T ^ 3} +3（T + \ dfrac 1トン\右）（T + \ dfrac 1トン\右）左\]あれば、つまり\ （P = -3 \）、我々は、トランスデューサ素子\（X = T + \ dfrac 1トン\）、式は、\に変換される[T ^ 3 + \ dfrac 1 {T ^ 3} + q = 0で、\]すなわちを行います\ [（T ^ 2）^ 2 + q = 0で\ CDOT T ^ 3 + 1、\]（T \）\見つけ、次いで、二次根式\（T ^ 3 \）を使用することによって得ることができますその後、背中の代わりに\（X = T + \ dfrac 1トン\）、ルートファインディングプロセスは完了です。
今\（のp \）に面し困難に対処するためにどのように、あなたは少しの変換プリミティブを変更する必要があります。
\のために[\（T + \ dfrac UT \右）左^ 3 = T ^ 3 + \ dfrac {U ^ 3}、{T ^ 3} + 3Uの\左（T + \ dfrac UT \右）、\従ってオーダー\ （X = T + \ dfrac UT \）、\（U \）の係数が決定される場合は、元の方程式が\ [T ^ 3 + \ dfracになる{Uは^ 3}、{T ^ 3} +（3U + P）\ 。CDOT \（T + \ dfrac UT \右）+ Q = 0 \]この式において、\ように左（U = - \ dfrac P3 \）、および\（T ^ 3 \前とほぼ同じになるであろう）二次方程式、わずかに以下の。
三次方程式の実際、任意の\ [AX ^ 3 + BX ^ 2 + CX + D = 0、\のNEQ 0 \]フルキューブ式を利用することができる\ [\左（X + \ dfracのB {3A} \右） ^ 3 = X ^ 3 + \ dfrac BAX ^ 2 + \ dfrac {B ^ 2}、{3（a）^ 2} X + \ dfrac {B ^ 3} {27A ^ 3} \に製剤化して0 \] = [X ^ 3 + PX + Q = 0 \]フォーム。したがって、この方法を習得し、立方方程式の一般解を習得することと等価です。
立方方程式の一般解では、我々は元\を変更するために使用される（X = T + \ dfrac UT \）溶液はまた、置換による重要高次方程式です。それを注意することは、溶液プロセスのあらゆる段階で、式の実際のルートうち最初の図は、まだすべての根を求めています。
最後に残った1つの演習。
すべてのルートの需要\ [^ 3 + X ^ 5 + 10X 20X-4 = 0 \]（X \）式の\に。
その答えは、（2 ^ {\ FRAC 35} -2 ^ {\ FRAC 25} \右）\ COS \ dfrac {PI \ 2K} {5} + \左（2 ^ {\ FRAC 35}左\ X = [\されます+2 ^ {\ FRAC 25} \右）\ mathcal {I} \ {PI \ 2K}罪の\ dfrac {5}、K = 0,1,2,3,4は\]置換が使用される場合\（X = T- \ dfrac 2トン\）。