[大きな数 + 複素変数関数] フーリエ変換

前のセクション [高数値 + 複素変数関数] フーリエ積分

復習: 前のセクションでは、主にフーリエ積分公式の指数形式とその三角関数形式について説明しました。
$$\begin{gathered} f\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(\tau \right)e^{-j\omega \tau }d\tau \right]{それは}^{j\omega t}d\omega \\ =\frac{1}{円周率}{\int }_0^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(\tau \right)\mathrm{コス}\omega (t-\tau )d\tau \right]d\omega \end{gathered}$$ をさらに奇数関数と偶数関数に従って簡略化しました。

当 $f\left(t\right)$ 是奇関数数時:
$$f\left(t\right)=\frac{2}{円周率}{\int }_0^{+\infty }\left[{\int }_0^{+\infty }f\left(\tau \right)罪\omega \tau d\tau \right]罪\omega td\omega .$$当 $f\left(t\right)$ デフォルト値: < /span>
$$f\left(t\right)=\frac{2}{円周率}{\int }_0^{+\infty }\left[{\int }_0^{+\infty }f\left(\tau \right)\mathrm{コス}\omega \tau d\tau \right]\mathrm{コス}\omega td\omega .$$フーリエの積分定理が満たす必要がある条件を示します。

• $1^{\circ }f\left(t\right)$ は任意の有限区間でディリクレ条件を満たします。
• $2^{\circ }f(t)$ 在无限区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上绝对可积 (即积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(t)|dt$ 收敛)

このセクションではフーリエ変換について見ていきます。

[大きな数 + 複素変数関数] フーリエ変換

3 フーリエ変換

3.1 基本概念

定義: If 関数$f(t)$在$(-\infty ,+\infty )$ がフーリエの積分定理の条件を満たす場合、関数と呼ばれます< /span>
$$F\left(\omega \right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(t\right)e^{-j\omega t}dt\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
は f(t) のフーリエ変換であり、関数と呼ばれます
$$f\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F\left(\omega \right)e^{j\omega t}d\omega \text{\hspace{1em}(1.2)}$$
为 F(w)的 Fourier 逆变换。

(1.1) は f(t) のフーリエ変換と呼ばれ、$F\left(\omega \right)=F\left[f\right(t)]$,$F(w)$叫做$f\left(t\right)$ のオブジェクト関数

(1.2) は F(t) の逆フーリエ変換と呼ばれ、$f\left(t\right)=F^{-1}\left[F\right(\omega )]$,$f(t)$叫做$F(w)$的象原函数

画像関数 F(w) と画像原始関数 f(t) はフーリエ変換のペアを形成しており、同じパリティを持っていると言えます。

当$f\left(t\right)$ が奇関数の場合、正弦波フーリエ変換のペアがあります:
$$F_s\left(\omega \right)={\int }_0^{+\infty }f\left(t\right)罪\omega tdt,f\left(t\right)=\frac{2}{円周率}{\int }_0^{+\infty }{F}_s\left(\omega \right)罪\omega td\omega \text{\hspace{1em}(1.3)}$$
当$f\left(t\right)$指定します。式を決定します。逆の場合:
$$F_c\left(\omega \right)={\int }_0^{+\infty }f\left(t\right)\text{cos}\omega \text{td}t,f\left(t\right)=\frac{2}{円周率}{\int }_0^{+\infty }{F}_c\left(\omega \right)\text{cos}\omega \text{td}\omega \text{\hspace{1em}(1.4)}$$

3.2 単位インパルス関数とそのフーリエ変換

電流ゼロの元の回路では、ある瞬間（t=0とします）に単位電気パルスが入りますが、常微分の定義ではこの時点では微分は存在しません。回路では、新しいパラメータを導入する必要があります。関数、この関数はユニット インパルス関数またはディラック関数と呼ばれます

定義 無限微分可能な関数$f\left(t\right)$如果满足
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(t\right)f\left(t\right)dt=\underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{リム}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{d}_{\epsilon }\left(t\right)f\left(t\right)dt\text{\hspace{1em}(1.5)}$$
その中
$$d_{\epsilon }\left(t\right)=\{\begin{array}{l}0、t<;0、\\ \frac{1}{e}、0\le t\le \epsilon ,\\ 0、t>\epsilon 、\end{array}\text{\hspace{1em}(1.6)}$$
称$d_{\epsilon }\left(\mathbf{t}\right)$的弱极限为$d-関数数$，简记：${\mathrm{リム}}_{\epsilon \to 0}{d}_{\epsilon }\left(t\right)=d\left(\mathbf{t}\right)$，如下图所示

自然：

1. 積分特性: 式 (1.5) で与えられる定義に従って、 $f\left(t\right)=1$,有
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }d\left(t\right)dt=\underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{リム}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{d}_{\epsilon }\left(t\right)dt=\underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{リム}}{\int }_0^{\epsilon }\frac{1}{e}dt=1\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

2. フィルタリング プロパティ: if$f\left(t\right)$ は無限微分可能です。 of }\delta\left(\begin{行列}t\end{行列}\right)f(\begin{行列}t\end{行列})\mathrm{d}t=f(\begin{行列}0 \ end{行列}).\tag{1.8}
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }d\left(\begin{array}{c}t\end{array}\right)f\left(\begin{array}{c}t\end{array}\right)dt=f\left(\begin{array}{c}0\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(1.8)}$$
   证明：

   

   より一般的には成立：
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }d\left(\begin{array}{c}t-t_0\end{array}\right)f\left(\begin{array}{c}t\end{array}\right)dt=f\left(\begin{array}{c}{t}_0\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(1.9)}$$
   二维$d-function$ の定義とプロパティはこれに似ています。

3. その他のプロパティ

   $1^{\circ }\delta$-関数数は偶関数数、つまり $\delta \left(t\right)=\delta (-t)$ .
   证明（筛選択性を使用可能）：
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }d\left(\begin{array}{c}-t\end{array}\right)f\left(\begin{array}{c}t\end{array}\right)dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }d\left(\begin{array}{c}u\end{array}\right)f\left(\begin{array}{c}-u\end{array}\right)du(令う=-t)=f(-u){|}_{u=0}=f\left(0\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }d\left(\begin{array}{c}t\end{array}\right)f(\begin{array}{c}t\end{array}\delta \; \delta \; (\; -\; t\; )\; \backslash delta(t)=\backslash delta(-t)$$$\delta \left(t\right)=\delta (-t)$
   $2^{\circ }\delta$ - この関数は単位ステップ関数の導関数、つまり
   $${\int }_{-\infty }^t\delta \left(\tau \right)d\tau =u\left(t\right),\frac{d}{dt}u\left(t\right)=\delta \left(t\right)\text{\hspace{1em}(1.10)}$$
   その中 $u\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}0、& t<;0、\\ 1、& t>0\end{array}$ は、单位阶跃関数と呼ばれます。
   注釈：
   $$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }d\left(t\right)dt=1 \\ \therefore {\int }_{-\infty }^{t}d\left(t\right)dt=1、t>0 \\ そして{\int }_{-\infty }^{t}d\left(t\right)dt=0、t<;0 \end{gathered}$$这上海$u\left(t\right)$ の形式。 a>
   $3^{\circ }$ 若 $a$ は非零实常数、则 $\delta \left(at\right)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$.
   利用筛选性质来证明
   $4^{\circ }$ 若 $f\left(t\right)$ は無限微分可能関数です。次に、 (部分積分によって証明されます)
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }{d}^{\text{'}}\left(t\right)f\left(t\right)dt=-f^{\text{'}}\left(0\right).\text{\hspace{1em}(1.11)}$$
   一般に、有
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }{d}^{\left(n\right)}\left(t\right)f\left(t\right)dt=(-1{)}^n{f}^{\left(n\right)}(0)\text{\hspace{1em}(1.12)}$$
   より一般的には、有
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }{d}^{\left(n\right)}\left(t-t_0\right)f\left(t\right)dt=(-1{)}^n{f}^{\left(n\right)}\left(t_0\right)\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

(1.9) に従って求めるのは簡単です$d-関数$のフーリエ変換
$$F\left(\begin{array}{c}\omega \end{array}\right)=F\left[\delta \left(\begin{array}{c}t\end{array}\right)\right]={\int }_{-\infty }^{+\infty }d\left(\begin{array}{c}t\end{array}\right){それは}^{-j\omega t}dt={それは}^{-j\omega t}{|}_{t=0}=1$$
可见，单位脉冲函数$\delta \left(t\right)$ と定数 1 の形式フーリエ変換ペア

質問拡張の例:

単位ステップ関数の証明$u\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}0、& t<;0、\\ 1、& t>0\end{array}$ 自由フーリエ変換 $\frac{1}{j\omega }+\pi \delta \left(\omega \right)$ .
证 実際、 $F\left(\omega \right)=\frac{1}{j\omega }+\pi \delta \left(\omega \right)$、フーリエ次元方程式
$$\begin{array}{rl}f\left(t\right)& =F^{-1}\left[F\right(\omega )]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[\frac{1}{j\omega }+\pi \delta \left(\omega \right)\right]{それは}^{j\omega t}d\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\pi \delta \left(\omega \right)e^{i\omega t}d\omega +\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{それは}^{j\omega t}}{j\omega }d\omega \\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(\omega \right)e^{j\omega t}d\omega +\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{罪\omega t}{おお}d\omega \\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{円周率}{\int }_0^{+\infty }\frac{罪\omega t}{おお}d\omega .\end{array}$$
理解のため $f\left(t\right)=u(t)$, 就必须计算积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \omega t}{おお}d\omega$。ディリクレ積分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \omega }{おお}d\omega =\frac{\pi }{2}$、ストリーム
$${\int }_0^{+\infty }\frac{罪\omega t}{おお}d\omega ={\int }_0^{+\infty }\frac{罪\omega t}{\omega t}d\omega t=\{\begin{array}{ll}-\frac{\pi }{2}、& t<;0、\\ 0、& t=0、\\ \frac{\pi }{2}、& t>0、\end{array}$$
この結果を $f(t)$ 的表达式中，当 $t\ne 0$ 対角線
$$f\left(t\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{円周率}{\int }_0^{+\infty }\frac{罪\omega t}{おお}d\omega =\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}+\frac{1}{円周率}\left(-\frac{\pi }{2}\right)=0、& t<;0、\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{円周率}\cdot \frac{\pi }{2}=1、& t>0.\end{array}$$
定義 $\frac{1}{j\omega }+\pi \delta \left(\omega \right)$ のフーリエ逆変換は $f\left(t\right)=u\left(t\right)$。したがって、 $u\left(t\right)$ 和 $\frac{1}{j\omega }+\pi \delta (\omega )$ 构成了一个 Fourier变换对,所以,单位阶跃函数 $u(t)$ 的积分表达式在 $t\ne 0$ 時間、書き込み可能
$$u\left(t\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{円周率}{\int }_0^{+\infty }\frac{罪\omega t}{おお}d\omega .$$
日本語、若 $F\left(\omega \right)=2\pi \delta \left(\omega \right)$、連続体
$$f\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F\left(\omega \right)e^{j\omega t}d\omega =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }2\pi \delta \left(\omega \right)e^{j\omega t}d\omega ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(\omega \right)e^{j\omega t}d\omega =1$$
所以,1 和 $2\pi \delta (\omega )$ 也构成了一个 Fourier 变换对. 同理, ${それは}^{j{\omega }_{n^t}}$ 和 $2\pi \delta \left(\omega -{おお}_0\right)$ 単一のフーリエ変換の場合 。方程式
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{それは}^{-j\omega t}dt=2\pi \delta \left(\omega \right)、{\int }_{-\infty }^{+\infty }{それは}^{-j(\omega -{\omega }_0)t}dt=2\pi \delta \left(\omega -{おお}_0\right).$$
これら 2 つの積分は普遍的な意味では存在しませんが、ここでの積分の意味は式 (1.5) に従って定義されます

3.3 非周期関数のスペクトル

スペクトログラムは、次の図に示すように、周波数と振幅の関係を指し、さまざまな周波数での振幅を反映します。

1. 周期 T の非正弦波関数$f_T(t)$的频谱

   フーリエ級数は、元の関数がさまざまな周波数の高調波に分割されることを表します。その n 番目の高調波は次のとおりです:
   $${ある}_n\mathrm{コス}{おお}_{n}t+b_n罪{おお}_{n}t={あ}_n罪({\omega }_{n}t+{ファイ}_n)$$
   振幅为：
   $${あ}_n=\sqrt{{ある}_n^2+b_n^2}$$
   而
   $$|c_n|=|c_{-n}|=\frac{1}{2}\sqrt{{ある}_n^2+b_n^2}$$
   所以
   $${あ}_n=2|c_n|(n=0、1、2、\cdots )$$

2. 非周期関数

   前項で述べた積分式では、非周期関数によりフーリエ積分式の連続プラス符号が従来型と異なり、加算符号に変換されており、同様に振幅の表現が変化しています。

   $F(w)$被称为$f\left(t\right)$ のスペクトル関数、およびスペクトル関数のモジュール$|F(w)|$は$f(t)$的振幅频谱，由于这里$w$ は連続的に変化するため、次の図に示すように、スペクトルは連続的になります。これは、前のタイプの離散スペクトルとは異なります。