【数値計算法（黄明佑）】行列の固有値と固有ベクトルの計算（２）：ヤコビクリアランス法（ヤコビ回転法の改良）【理論からプログラムまで】

  行列の固有値 (固有値) と固有ベクトル (固有ベクトル) は、多くのアプリケーションにおいて数学的および物理的に重要な意味を持ちます。 ヤコビ回転法は、対称行列の固有値と固有ベクトルを計算する反復法、ヤコビ通過法 a> はヤコビ回転法の改良版であり、その主な目的は計算作業を軽減し、実行速度を向上させることです。

  この記事では、Jacobi クリアランス法の基本原理と手順を詳しく紹介し、その Python 実装について説明します。

1. ヤコビ回転法

  ヤコビ回転法の各反復では、最大の非対角要素を持つ位置を選択し、対応する回転行列を構築し、同様の変換を実行して行列を徐々に対角化する必要があります。

• 対称行列は、転置がそれ自体と等しい実数行列です。
• 对于一个方阵$A$，如果存在标量 $\lambda$ 和非零向量 $v$， $Av=\lambda v$，那么 $\lambda$ は $A$ 的特征值，$v$ 就是对应于 $\lambda$ 的特征向量。

1. 基本的な考え方

  ヤコビ回転法の基本的な考え方は、一連の同様の変換を通じて対称行列を徐々に対角化し、非対角要素がゼロになる傾向があるようにすることです。このプロセス中に、固有値が対角線上に徐々に現れ、対応する固有ベクトルが徐々に見つかります。ヤコビ回転法の基本的な手順は次のとおりです。

1. 回転角度を選択します: 回転角度 θ を選択します。通常は、回転行列の非対角要素がゼロになるようにして、対角化を実現します。通常は < a i=2>非対角要素の中で絶対値が最大のものが回転の対象となります。

2. 回転行列の構築: 単位行列である回転行列 J を構築します。選択した非対角要素に対応する位置には、非ゼロ要素が 2 つだけあります。 、静止位置はゼロです。これら 2 つの非ゼロ要素の値は、回転角度 θ によって決定されます。たとえば、2x2 行列の場合、回転行列は次のように表すことができます。
   $$J=\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\theta \right)& -\sin \left(\theta \right)\\ \sin \left(\theta \right)& \cos \left(\theta \right)\end{array}\right]$$

3. 相似変換: 相似変換行列を計算します $P$、つまり $P^{T}AP$，其中 $A$ 是原始矩阵，$P$ は回転行列で、計算プロセスは次のとおりです。

$$P^{T}AP={\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\theta \right)& \sin \left(\theta \right)\\ -\sin \left(\theta \right)& \cos \left(\theta \right)\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{ある}_{11}& {ある}_{12}\\ {ある}_{12}& {ある}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\theta \right)& -\sin \left(\theta \right)\\ \sin \left(\theta \right)& \cos \left(\theta \right)\end{array}\right]$$

  行列乗算計算により、 $P^{T}AP$ の非対角要素。これら 2 つの要素が行列 (1,2) と (2,1) の位置。 ${ある}_{ij}$ 为这两个元素，即 ${ある}_{ij}={ある}_{12}={ある}_{21}$。

  次に、適切な $\theta$使得 ${ある}_{ij}$ がゼロになり、対角化の目的が達成されます。つまり ${ある}_{12}={ある}_{21}$、さらに推測することができます

$$私=\frac{1}{2}\mathrm{アークタン}\left(\frac{2\cdot {ある}_{ij}}{{ある}_{ii}-{ある}_{jj}}\right)$$

• 若${ある}_{ii}={ある}_{jj}$、$arccot$in

4. 反復: 行列 A の非対角要素がゼロになるか、特定の精度要件を満たすまで、ステップ 1 ～ 3 を繰り返します。

5. 固有値と固有ベクトルの抽出: 対角線上の要素は行列 A の固有値であり、P の列ベクトルはこれらの固有値ベクトルに対応する特徴です。

2. 注意事項

  ヤコビ回転法の利点は、任意のサイズの対称行列に使用できることですが、欠点は、多数の反復と大量の計算が必要なことです。実際のアプリケーションでは、通常、計算効率を向上させるために他の方法が組み合わされます。

2. ヤコビクリアランス法

  Jacobi のしきい値法は、Jacobi の回転法の改良版であり、その主な目的は、計算量を削減し、実行速度を向上させることです。この方法では、しきい値を動的に調整し、しきい値に従って非対角要素を選択的に回転させることにより、対称行列を徐々に対角化します。

1. 基本的な考え方

1. 非対角要素の二乗和を計算します: 対称行列の場合 $A$ は、非対角要素の二乗和を計算します。$u(A)$。然后取平方根，得到 $r\left(A\right)=\sqrt{u\left(A\right)}$。

2. 设定初始阈值 $\theta$： 预先设定一个初始阈值 ${私}_0$。

3. 扫描非对角元素： 对于 ${ある}_{ij}$ 其中 $私\ne j$、行列の上三角部分または下三角部分をスキャンします。

4. 選択的な回転変換を実行します: 絶対値が現在のしきい値 $\theta $ より大きい非対角要素の場合${ある}_{ij}$、ヤコビ回転変換を実行し、それをゼロに回転します。回転変換の具体的な手順は次のとおりです。

   • 回転角度の選択 $\varphi$,解釈 $\mathrm{タン}\left(2\varphi \right)=\frac{2a_{ij}}{{ある}_{ii}-a_{jj}}$計算します。
   • 回転行列の構築 $J$，其中除了 $J_{ii}$ と $J_{jj}$ の外側の要素はすべてゼロであり、 $J_{ij}$ 和 $J_{じ}$ 微小 $\cos \left(\varphi \right)$ 和 $-\sin (\varphi )$决定。
   • 相似変換を実行します $あ=J^{T}AJ$。

5. 调整阈值 $\theta$: すべての非対角要素の絶対値が現在のしきい値より小さい場合$\theta$ 时，缩小阈值，即 ${私}_{i+1}=c\cdot {私}_i$，其中 $\gamma$ は削減係数です。

6. 手順 3 ～ 5 を繰り返します。 特定の収束条件が満たされるまで上記の手順を繰り返します。たとえば、${私}_k<;ϵ$、 $ϵ$ は小さな正の数です。

2. 注意事項

  しきい値を継続的に調整し、回転変換を選択的に実行することにより、ヤコビ パス法は非対角要素の絶対値を徐々に減らし、より優れた数値安定性を実現します。この方法の利点は、変換する非対角要素をインテリジェントに選択することで、反復回数を効果的に削減し、計算効率を向上できることです。

3. Pythonの実装

import numpy as np


def jacobi_threshold_method(A, epsilon=1e-10, gamma=0.9):
    n = A.shape[0]
    theta = np.sqrt(np.sum(np.abs(np.triu(A, k=1)) ** 2))
    eigenvectors = np.eye(n)

    while theta > epsilon:
        for i in range(n):
            for j in range(i + 1, n):
                if np.abs(A[i, j]) > theta:
                    # 计算旋转角度
                    phi = 0.5 * np.arctan2(2 * A[i, j], A[i, i] - A[j, j])

                    # 构造旋转矩阵
                    J = np.eye(n)
                    J[i, i] = J[j, j] = np.cos(phi)
                    J[i, j] = -np.sin(phi)
                    J[j, i] = np.sin(phi)

                    # 执行相似变换
                    A = np.dot(np.dot(J.T, A), J)

                    # 更新特征向量
                    eigenvectors = np.dot(eigenvectors, J)

        # 缩小阈值
        theta *= gamma

    # 提取特征值和特征向量
    eigenvalues = np.diag(A)

    return eigenvalues, eigenvectors


# 示例矩阵
A = np.array([[2, -1, 0], [-1, 2, -1], [0, -1, 2]])

# 执行 Jacobi 过关法
eigenvalues, eigenvectors = jacobi_threshold_method(A)

print("特征值:", eigenvalues)
print("特征向量:")
np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)
print(eigenvectors)

反復プロセス (デバッグ)

• 初め：

……

• 最後の：