数学の美しさを発見する - 微積分の起源と使用 (1 つの記事で微積分を理解する)

数学、世界を変える基礎。微積分は、19 世紀の 3 つの自然発見の 1 つです。デカルトは、数値とグラフを組み合わせた解析幾何学を確立しました。微積分の発見と創造は、従来の方法では解決できない問題を解決する、数学の新たなマイルストーンです。革命。デカルトの解析幾何学とニュートンの微積分学はどちらも創造物であり、相互に関連しており、不可欠なものです。

序文

世界を変える基礎となる数学。偉大な数学者には、ニュートン、アルキメデス、ライプニッツ、オイラー、ラグランジュ、ラプラス、ガウス、ジョンベルヌーイ、ポアンカレ、リーマン、ユークリッド、クライン、デカルト、ディリクレが含まれます。、フェルマー、ピタゴラス、ロピダなど。

アルキメデス、ニュートン、ガウスは数学史上の天才であり、ピラミッドの頂点に立つ人物であり、オイラーと並んで数学史上四大数学者と称される。

数学は実際には非常に美しく、退屈ではありません。退屈に感じるのは、教え込まれた知識によって公式を暗記することに慣れているが、原理を理解して活用することができていないからです。微積分を例として、その起源と強力な用途を見てみましょう。

微積分は、19 世紀の 3 つの自然発見の 1 つです。デカルトは、数値とグラフを組み合わせた解析幾何学を確立しました。微積分の発見と創造は、従来の方法では解決できない問題を解決する、数学の新たなマイルストーンです。革命。デカルトの解析幾何学とニュートンの微積分学はどちらも創造物であり、相互に関連しており、不可欠なものです。

微積分は数学の重要な分野であり、関数、極限、導関数、積分、微分方程式などの多くの概念が含まれます。工学、科学、経済学、その他の分野で広く使用されています。微積分は、微分と微分、積分と定積分、微分方程式と応用、多変量関数と偏微分、ベクトル関数と曲線積分の 5 つの主要な章に分かれています。

「微積分の基本定理」を本当に理解していれば、これは難しいことではないと感じるでしょう。しかし、この定理の素晴らしいところは、応用範囲が広いことです。見た目は普通ですが、とても実用的です。残念ながら、大学の授業では原則ではなく公式についてのみ話されることが多く、聞いている人は混乱してしまいます。

実際のアプリケーションを使って、微積分とは何かを分析してみましょう。微積分は独立した単語ではなく、微分積分と積分を含みます。

ポイントから始める

まず積分について理解しましょう。なぜ積分から始めるのですか?

アルキメデスは紀元前 3 世紀に面積を計算するための積分を研究し、ニュートンとライプニッツは 17 世紀に微分積分を発見しました。両者の間には1800年以上の違いがある。

ほとんどすべての大学の数学の教科書では、最初に微分積分が説明され、次にその逆演算である不定積分が紹介されます。また、面積の計算に使用される定積分は、不定積分の差として定義されます。確かに、上で概説した順序で数学を論理的に教えることは理にかなっていますが、歴史的には発展の順序はまったく逆でした。アルキメデスは紀元前 3 世紀に面積を計算するための積分を研究し、ニュートンとライプニッツは 17 世紀に微分積分を発見しました。両者の間には1800年以上の違いがある。

歴史的に、点は最初に発見されましたが、これには特定の理由があります。積分は、面積や体積などの特定の量の計算に直接関係します。また、微分積分を学ぶ前に、微分や極限などの概念を正確に理解する必要があります。例えば、物体の運動速度は微分定義によって定義する必要がありますが、古代ギリシャ時代には限界を定める概念がなかったため、ゼノンの「飛んでいる矢は動かない」というパラドックスが生じました。

したがって、複素微分を学ぶ前に、比較的直感的に理解しやすい積分を正しく把握し、その逆微分について考えるとよいでしょう。したがって、最初に積分について説明しましょう。大学で微積分に迷っている人も、これから微積分を学び始めようと考えている人も、「まずは積分から始める」ということを試してみてはいかがでしょうか。

積分は図形の面積を計算することから始まります。面積の単位には平方メートル、平方キロメートルなどがあり、これらにはすべて「平方」という単語が含まれます。一辺の長さが1メートルの正方形の面積は1平方メートルに相当します。つまり、面積は正方形に基づいており、計算された図形の面積は数正方形に相当します。長方形の場合、面積はどのように計算すればよいのでしょうか？小学校では、長方形の面積は長さと幅の積であると習いましたが、今では長方形の面積の計算方法を知らないふりをしています。正方形の計算ができず、長方形の計算式を学習していません。

横1メートル、縦2メートルの長方形を真ん中から縦に2等分すると、一辺1メートルの正方形が2つできるので、長方形の面積は2となります。平方メートル。つまり、長さと幅の積は長方形の面積に等しくなります。

次に、n と m を自然数とすると、その長方形は幅 n メートル、長さ m メートルであることがわかり、幅を n 等分し、長さを m 等分すれば、次のようになります。長さ 1 メートルの正方形の n × m 辺を取得します (図 7-2)。長方形の面積は、正方形の面積のちょうど n × m 倍、つまり n × m 平方メートルです。結果は依然として長さと幅の積に等しくなります。

ポイントは何にカウントされますか?

アルキメデスのピンチ定理を使用すると、より複雑な曲面の面積を計算できます。デカルト座標で表すと、図 78 に示すように、直線は y = ax + b として表すことができ、放物線は次のように表すことができます。

ある関数 f(x) がわかっていると仮定して、曲線 y = f(x) について考えてみましょう。図 7-9 に示すように、a ≤ x ≤ b の範囲では f(x) の値が常に 0 より大きいと仮定して、曲線 y = f(x) および y = 0、x = a を調べてみましょう。 , x = b この3本の直線で囲まれた図形A（図の斜線部分）。図形 A の面積の計算方法がわかっていれば、グループ化法を使用して曲線で囲まれた任意の図形の面積を計算できます。

曲線 y = f(x) は、y 軸に沿って上昇または下降します。計算の便宜上、区間 a ≤ x ≤ b では y = f(x) が常に増加すると仮定します。他のケースでは、区間 a ≤ b は 2 つの部分、つまり f(x) が増加する区間と f(x) が減少する区間に分割されます。上記の 2 つの区間に次のメソッドをそれぞれ代入するだけです。

アルキメデスのピンチ定理を使用して図形 A の面積を計算するには、まず、図 710 の図形 Bn と Cn のように、区間 a ≤ x ≤ b を n 個の部分に分割します。グラフ A にはグラフ Bn が含まれており、グラフ Cn にも含まれています。図形 Bn と Cn は両方とも長方形の集合であるため、面積を計算できます。

図 711 に示すように、面積 (Cn) と面積 (Bn) の差は次のようになります。

つまり、底辺ε = (b − a)/n、高さ = (f(b) − f(a)) の長方形の面積です。 nの値が大きくなるほどεの値は小さくなるため、グラフBnとグラフCnの面積は近くなります。 ε の値が限界 (0 に等しい) に達すると、2 つの数字の面積は等しくなります。限界に達したときの値がグラフAの面積です。

上記の方法で計算したグラフAの面積を「関数f(x)の区間a≦x≦bにおける積分」といい、次のように表されます。

ニュートンと同時に微積分を創設したライプニッツは、記号を発明しました。

「sum」の頭文字「S」の伸びです。また、「dx」のdは「difference」の頭文字を指します。図形を一連の長方形として近似する場合、長方形の基線の長さは x + ε に等しく、

xの「違い」。高さがf(x)、底辺がeの長方形の面積はf(x)eに等しいため、eの代わりに記号dx、つまりf(x)dxを使用できます。つまり、

そこには、「積分とは、高さがf(x)、底辺がdxの長方形をx=aからbまでの区間に並べ、その面積の和を求めることである」というライプニッツの考え方が含まれています。

上で説明した積分は、19世紀のドイツの数学者ボルンハルト・リーマンの定義に従っているため、「リーマン積分」と呼ばれます。実は積分には、フランスの数学者アンリ・ルベーグが提唱した「ルベーグ積分」や日本の数学者伊藤潔が提唱した「伊藤積分」など、たくさんのカテゴリーがあります。高校で習った関数の問題を扱うにはリーマン積分で十分ですが、株価などのランダムな値の変動を扱う必要がある場合には、伊藤積分を使用する必要があります。伊藤ポイントはオプション価格の決定にも使用されるため、伊藤清氏は「ウォール街で最も有名な日本人」とみなされています。

不定積分と定積分

定積分と不定積分は、微積分における 2 つの重要な概念です。定積分はある区間内の関数の面積として理解できますが、不定積分は関数の逆微分（元の関数）です。積分は微積分理論のもう 1 つの重要な分野で、曲線の下の面積、円弧の長さ、体積、重心などを計算するために使用できます。

積分には不定積分と定積分があり、定積分は数値、不定積分は式となります。定積分を計算するときは、まず被積分関数の元の関数を求めてから、定積分を計算する必要があります。ニュートン・ライプニッツの公式により、定積分の計算を不定積分の計算に変換できます。不定積分と定積分の存在も違います。連続関数には不定積分が存在する必要があります。定積分は、関数が有限区間内に有限数の不連続点のみを持ち、関数が有界である場合にのみ存在します。

つまり、不定積分は微積分における重要な概念であり、関数の元の関数または関数の逆微分を求めるプロセスです。

ニュートン・ライプニッツの公式

微積分の基本定理とも呼ばれるニュートンライプニッツの公式は、定積分被積分関数の原始関数との関係を明らかにします。または不定積分。式の内容は、区間 [a, b] における連続関数の定積分です。 a>< a i=8> は、区間 [a, b] における元の関数のいずれかの増分に等しくなります。

ニュートン・ライプニッツの公式の発見により、人々は曲線の長さ、曲線で囲まれた面積、曲面で囲まれた体積の問題を解決するための一般的な方法を見つけることができました。定積分の計算を簡略化するもので、被積分関数の元の関数が分かっていれば、常に定積分の正確な値またはある程度の精度の近似値を求めることができます。

ニュートンライプニッツの公式は、微積分と積分の間の架け橋であり、微積分の最も基本的な公式の 1 つです。これは微積分と積分が互いに逆演算であることを証明しました。また、理論的には微積分の完全なシステムの形成を示しました。それ以来、微積分は本当の学問となった。

ニュートン・ライプニッツの公式は、定積分の計算を簡素化します。この公式は、曲線の弧長、平面曲線で囲まれる面積、空間表面で囲まれる 3 次元体積の計算に使用できます。この公式は広く使用されています。ダム本体の充填体積の計算などの実践的な問題で使用されます。

ニュートン・ライプニッツの公式は、移動する物体の距離、直線に沿った変化する力によって行われる仕事、物体間の万有引力を計算するために物理学でも広く使用されています。

ニュートン-ライプニッツの公式は、数学の他の分野の発展を促進し、微分方程式、フーリエ変換、確率論、複素変数の関数、および数学の他の分野に反映されています。

ニュートンライプニッツの公式は、定積分を計算するための簡単な基本的な方法を提供します。つまり、定積分の値を求めるには、被積分関数 f( x) 元の関数 F(x) を計算し、区間 [a,b] での元の関数の増分 F(B)-F(a) を計算します。 この公式は、定積分の計算を元の関数を見つける問題に還元し、定積分と不定積分の間の固有の関係を明らかにします。

たとえば、次の赤い領域の斜線部分を見つけるにはどうすればよいでしょうか? S = S moment-S1-2S2, 影の部分を解く問題と似ていますが、学生の頃、怖いと思いましたか?まずは自分の心の影の部分を見つけてみようかと思いました。

S2の緑の影の部分を見つけるにはどうすればよいですか?点 a から点 b までの積分を使用できます。

次のように書くことができます:

それで、次は何でしょうか？式は表されますが、aからbまでの緑の影の面積を計算するにはどうすればよいですか？定積分はどうやって計算するのでしょうか？

定義を使用して定積分を計算することは一般に非常に困難です。次のニュートン-ライプニッツの公式は定積分であるだけではありません。計算により次のことが得られます。効果的な方法であり、定積分と不定積分を理論的に結び付けます。

F(x) は f(x) の元の関数と呼ばれ、f(x) は F(x) の導関数と呼ばれます。

ニュートン・ライプニッツの公式によれば、積分を求めることは簡単になり、元の関数を求めることが 1 つになります>。

放物線 y=x^2 と x 軸で囲まれた湾曲した台形の面積 A を計算します (0 から 1 へ進むと仮定します)。

F(b) - F(a) は 1/3 - 0 = 1/3 に等しい。したがって、曲線の囲まれた部分の面積は1/3になります。

したがって、上図の s2 の緑色の斜線部分は微積分を使用して解くことができます。 s2 = (1/3)*b^3 - (1/3)*a^3

上の f(x) = x^2 は放物線ですが、直線に置き換えると分かりやすくなります。 f(x) = x の場合、座標 0 から始まる等速運動として見ることができます。

a=0,b=2 とすると、画像上の三角形の面積 = 底辺 * 高さ / 2、つまり 2*2/2 = 2 となります。ポイントを使って計算すると次のようになります。

S(b) = x^2/2 = 2、S(a) = 0、S(b) - S(a) = 2。三角形の面積公式を使用することは、積分を使用することと一致していることがわかります。

計算例

以下に、理解しやすいように定積分の例をいくつか示します。

関数 y=sinx の逆関数は逆サイン関数と呼ばれ、x=arcsiny として記録されます。通常は次のように使用します。 x は独立変数を表し、y は関数を表すため、逆正弦関数は y=arcsinx と記述され、定義域は [-1, 1] ]、値の範囲は y∈ [-π/ 2 , π/2] ; x = sin t の場合、t = arcsin x。ここで、arcsin x はアークサイン関数で、指定された x 値に対応する sin t 値を表します。 arcsin 1 の値は π/2 です。三角関数では、arcsin x は、x の特定の値に対応する sin t 値を表します。この例では、x の値は 1 で、sin t の対応する値は sin(π/2) = 1 です。

ln は対数演算子、e は指数演算子です。それらの関係は加算、減算、乗算、および乗算の関係と同じです。相対関係を示す除算、逆数の 2 つの演算。 y=lnx の場合、x=e^y (e の y 乗) になります。 e^x と ln(x) は、それぞれ自然指数関数と自然対数関数であり、関数と逆関数のペアです。e は自然定数で、2.718182 にほぼ等しい

e と In の間の変換式は次のとおりです。 e^ln(x)=x、ln(e^x)=x、lne=1、lnx=y、x=e^y

対数関数の微分:

デリバティブと微分

積分はニュートン・ライプニッツの公式を使用して上記で表されているのに、なぜ微分と微分について言及する必要があるのでしょうか?上の公式を使っただけですが、積分はどうやって解くのでしょうか？その公式はどこから来たのでしょうか？これは微分と微分に関係があります。

微分は特定の点における関数の変化率を表し、微分は領域全体にわたる関数の変化を表します。微分積分（接線を見つけること）は微積分の重要な部分であり、数学者はこれに基づいて面積の逆演算（積分）を研究することで面積の解を完成させました。

関数の導関数と微分を研究することで、関数の特性に関するより多くの情報を得ることができ、関数の動作をより深く理解して分析できるようになります。さらに、微分と微分も数値計算において重要な役割を果たします。関数の導関数を計算することで、関数の極値点、変曲点、接線方程式などの情報を求めることができます。微分方程式は、自然界の多くの現象を研究するための重要なツールです。

微積分と微分は微積分理論の基礎であり、曲線の変化率、接線の傾き、局所的な増加傾向と減少傾向を記述するために使用できます。導関数は、ある点における関数の変化率を極限の形で表したもので、微分はある点における関数の接線の近似値を微分演算子の形で表したものです。微分と微分は密接な関係にあり、微分を解きながら、ある点における関数の微分値を求めることもできます。

微分と微分は同じものですか?

微分と微分は同じものではなく、この 2 つの概念は混同され、混乱しやすいものです。

この 2 つは、異なる定義、異なる本質、異なる幾何学的意味を持っています。導関数は微分の商です (名前は厳密ではなく、単にそう呼ばれているだけです。現代数学は限界を設けて導関数を厳密に再定義します)。導関数の幾何学的意味は、ある点における関数の傾きとして見ることができます。、微分は接線方向の関数の従属変数の増分になります。

1. 微分と微分の定義

微分の定義: 関数 B=f(A) から、2 つの数値セット A と B が得られます。A では、dx がそれ自体に近いとき、dx における関数の極限は、dx における関数の微分と呼ばれます。微分の中心的な考え方は無限除算です。

導関数の定義: 独立変数の増分がゼロに近づくとき、従属変数の増分と独立変数の増分の商の限界。

微分と微分の違いは、比率と増分です。

導関数は、ある点における関数グラフの傾き、つまり、Δx-->0 の場合の縦軸の増分 (Δy) と横軸の増分 (Δx) の比です。

微分とは、関数画像のある点における接線が横軸の増分Δxをとった後の縦座標の増分を指し、一般にdyで表されます。

2. 微分と微分の関係

関数 f(x) の微分 f'(x)=df(x)/dx、微分は df(x)、微分と微分の関係は df(x)=f です。 39;(x)dx 。

関数 f(x) = x^2 を例にとると、その導関数の計算式は次のようになります。

微積分では、制限が存在するため、 Δx の値を徐々に減らして、a での f(x ) を取得できます。ある点。微分の幾何学的意味は、Δx を横軸の曲線 y = f(x) 上の点 M の増分、Δy を点 M での Δx に対応する縦軸の曲線の増分、dy を増分とします。点 M 上の曲線の M の接線は、縦軸の Δx の増分に対応します。 |Δx| が非常に小さい場合、|Δy-dy| は |Δx| (高次の無限小) よりもはるかに小さいため、点 M の近くでは、接線セグメントを使用して曲線セグメントを近似的に置き換えることができます。

導関数は関数が変化する速度を表し、微分は関数の変化の程度を表します。導関数は関数の局所的なプロパティであり、ある点における関数の導関数は、その点付近の関数の変化率を表します。微分は、独立変数がわずかに変化した場合に、従属変数の近似値を計算するために使用される関数式です。

微分の幾何学的意味は接線の傾きであり、微分の幾何学的意味は接線の縦座標の増分である。したがって、微分は近似演算と誤差推定に使用できます。最も単純な単項の場合、導関数は確定値であり、その幾何学的意味は接線の傾きであり、その物理的意味は瞬間速度です。

微分は基本的な微分公式を使用して計算できます。

基本微分公式は微積分の最も基本的な公式の 1 つで、さまざまな関数の微分を計算するために使用できます。基本的な微分公式には、定数微分公式、べき乗関数微分公式、指数関数微分公式、対数関数微分公式、三角関数微分公式などが含まれます。

定数微分公式は、任意の定数 c について、その微分が 0 であることを意味します。べき乗関数の微分公式は、任意のべき乗関数 y=x^n の微分が y=nx^(n-1) であることを意味します。指数関数の微分公式とは、任意の指数関数 y=a^x について、その微分は y=a^xlna であることを意味します。対数関数の微分公式は、任意の対数関数 y=loga(x) について、その微分は y=1/(xlna) であることを意味します。三角関数の微分公式は、任意の三角関数 y=sin(x)、y=cos(x)、y=tan(x) の微分が y'=cos(x)、y' であることを意味します。 = -sin(x),y'=sec^2(x)。

基本的な微分公式は幅広い応用範囲があり、さまざまな関数の導関数を解くために使用できるため、関数の変化する規則をより深く理解するのに役立ちます。微積分は、接線や極値、曲線の凹凸などの実際の応用問題にも応用できるため、基本的な微分公式をマスターすることは、微積分の学習や実践的な問題を解く上で非常に重要です。

微積分の歴史

これはまず、デカルトによって確立された解析幾何学によるものです。この解析幾何学は、代数と幾何学を組み合わせたものであり、変数間の関係を定量的に表現することを可能にし、微積分の創造の準備を整えました。

ニュートン (1643-1727)、偉大な物理学者、数学者、天文学者、自然哲学者、錬金術師。 2005年にアインシュタインを破り、「科学史上最も影響力のある人物」に選ばれた。ニュートンはイギリスの農民の家庭に早産で生まれ、出生後はかろうじて生き残った。幼少期のニュートンは神童ではなく、成績も優秀ではありませんでしたが、読書とおもちゃ作りが大好きでした。 17歳のとき、まだ中学生だったニュートンは母親に農作業をするために農場に呼び戻されたが、叔父と中学校校長の説得で復帰を許された。 9か月の農作業を経て学校へ。校長がニュートン君の母親に宛てた説得力のある演説には、科学史上最も幸運な予言ともいえる一文が含まれており、ニュートン君の母親にこう言った。「なんと大きな損失でしょう！」

1661 年、ニュートンはケンブリッジのトリニティカレッジに入学し、そこでバローの指導を受け、在学中にガリレオ、ケプラー、デカルト、ウォリスの著作を学びました。数学的思想の形成においてニュートンに最も大きな影響を与えたのは、デカルトの『幾何学』とウォリスの『無限算術』であり、ニュートンを微積分の道に導いたのはこの二冊の著作でした。

ニュートンが天才であったことは否定できません。

1665 年、ニュートンは 22 歳で、学位を取得したばかりでしたが、ロンドンでペストが流行したため大学が閉鎖され、ニュートンは家に帰らなければなりませんでした。自宅で過ごした 18 か月間、彼は二項定理を提案しました。これは後に新しい数学理論、つまり高度な数学における微積分に発展しました。この期間に、彼は光学と重力の法則も研究しました。

ニュートンは 1665 年から 1966 年にかけて微分積分 (微分積分) と積分積分を発明し、それらを「順微積分」と「逆微積分」と呼び、同僚のみに配布するために「微積分の簡単な理論」にまとめました。ニュートン微積分まで見ることができます。フロー数の命名について、ニュートンは次のように説明しました。「私は時間を連続的な流れまたは成長と見なし、他の量を時間とともに連続的に成長すると考えています。時間の流動性から始めて、私は他のすべての量の成長率をフローと呼んでいます。」

ニュートンは微積分の基本問題を「既知の流量間の関係、流量間の関係を求める」と「既知の変数の流量間の関係の方程式、流量間の関係を求める」と表現しました。

ニュートンは、変位が既知の速度を求める問題を「微分」で、速度が既知の変位を求める問題を「積分」で解き、この逆演算による面積の求め方を指摘し、基本定理を確立しました。微積分の。

面積計算と接線計算の相互関係は、過去の特別な機会（バローの「幾何学講義」など）で何人かの人々によって漠然と指摘されていましたが、ニュートンは十分な感性と能力でこの相互関係を実現することができました。関係は一般法則として明確に明らかにされ、微積分の普遍的なアルゴリズムを確立するための基礎として使用されます。ちょうどニュートン自身が「流体の簡単な理論」で述べたように、積分問題が解決できると、多くの問題は簡単に解決されます。ニュートンは、自身が確立した統一アルゴリズムを、曲線の接線、曲率、変曲点を求める、曲線の長さを求める、面積と体積を求める、重力と重心を求めるなどの 16 種類の問題に適用し、実証しました。彼のアルゴリズムの偉大な普遍性とシステム。

このようにして、ニュートンは、古代ギリシャ以来の微小問題を解くためのさまざまな特殊手法を、順数秘術と逆数秘術、つまり微分（微分）と積分という一般的な 2 種類のアルゴリズムに統合し、両者の相反性を証明しました。この 2 種類の演算をさらに統合したことは先人を超える功績であり、この意味でニュートンは微積分を発明したと言えます。

当時、スイスにはベルヌーイ家という有名な数学者一族があり、ジョン・ベルヌーイは弟のジェイコブ・ベルヌーイに最急降下線の問題を提起しました。ジョン・ベルヌーイがそれを解いた後、彼はヨーロッパの数学者に挑戦しました。

課題に直面したとき、ニュートンはすぐに問題を解決しました。特筆すべきは、当時のヨーロッパには才能ある数学者が多く、ライプニッツ、ロビダ、ヤーコブ・ベルヌーイらもこの問題を解決したということである。

ニュートンがどれほど強力であるかというと、マイク・ハートが書いた「人類の歴史に影響を与えた100人のリスト」では、イエスの前にムハンマドが第一位、ニュートンが第二位にランクされています。

さらに驚くべきことは、ニュートンは80歳まで生きましたが、その後40年間神学の勉強に費やしたということです。つまり、ニュートンの功績はすべて彼の人生の前半で培われたものであり、22歳前後は重要な時期である。

ニュートンは主に物理計算を行うために微積分を研究しました。ニュートンがどのように微積分を導き出したかを見てみましょう。