【データ構造】二分木の基本概念

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1. 木
2.二分木

1. 木

1. 木とは何ですか?

ツリーは非線形データ構造であり、n (n>=0) 個の限定されたノードで構成される一連の階層関係です。

サブツリーが互いに素である
ルートノードを除き、各ノードには親ノードが 1 つだけあります。
N 個のノードを持つツリーには N-1 個のエッジがあります。

2. 樹木に関する概念

ノードの次数: ノードに含まれる部分木の数をノードの次数と呼びます; 上図に示すように、A の次数は 3 です

リーフノードまたはターミナルノード: 次数 0 のノードをリーフノードと呼びます; 上図に示すように: J、F、K、L、H、I などのノードがリーフノードです。

非終端ノードまたはブランチノード: 次数が 0 でないノード; 上図に示すように: B、C、D、E、G などのノードが分岐ノードです。

親ノードまたは親ノード: ノードに子ノードが含まれる場合、このノードはその子ノードの親ノードと呼ばれます; 上の図に示すように: A は B の親ノードです

子ノードまたは子ノード: ノードに含まれるサブツリーのルートノードは、そのノードの子ノードと呼ばれます; 上の図に示すように: B は A の子ノードです

兄弟ノード: 同じ親ノードを持つノードは兄弟ノードと呼ばれます; 上に示すように: B と C は兄弟ノードです。

木の程度: ツリーでは、最大のノードの次数がツリーの次数と呼ばれます。上に示すように、ツリーの次数は 3 です。

ノードレベル: ルートの定義から開始すると、ルートは第 1 レベル、ルートの子ノードは第 2 レベル、というようになります。

木の高さまたは深さ: ツリー内のノードの最大レベル。上に示すように、ツリーの高さは 4 です。

いとこノード: 親が同じレベルにあるノードは互いにいとこです; 上の図に示すように: F と G は互いに兄弟ノードです。

ノードの祖先: ルートからノードまでの分岐上のすべてのノード。上の図に示すように: A はすべてのノードの祖先です。

子孫: 特定のノードをルートとするサブツリー内のノードは、そのノードの子孫と呼ばれます。上に示すように、すべてのノードは A の子孫です。

森: m (m>0) 個の互いに素なツリーの集合をフォレストと呼びます。

3. 木の表現

ツリー構造は線形テーブルよりも複雑です。保存するときは、値の範囲とノード間の関係の両方を保存する必要があります。ツリーを表現するには、親表現、子表現、子親表現など、さまざまな方法があります。および子供の兄弟の代理など。最も一般的に使用されるのは、子兄弟表記です。

//孩子兄弟表示法
typedef int DataType;
struct Node
{
    
    
    struct Node* firstChild; // 第一个孩子结点
	struct Node* nextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType data; // 结点中的数据域
};

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2.二分木

1. 二分木の概念

バイナリツリーは有限のノードのセットで、空であるか、ルートノードと左サブツリーおよび右サブツリーと呼ばれる 2 つのバイナリツリーで構成されます。

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二分木には次数が 2 より大きいノードはありません
二分木の部分木は左右の部分木に分割でき、順序を逆にすることはできないため、二分木は順序付き木となります。

2. 二分木のいくつかの状況

バイナリツリーは次の状況で構成されます。

空のツリー:
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ルートノードのみ:

左側のサブツリーのみ:

右のサブツリーのみ:

左右のサブツリーの両方:

3. 特殊な二分木

完全なバイナリツリー: バイナリツリー各層のノードの数が最大に達すると、バイナリツリーは完全なバイナリツリーになります。つまり、バイナリツリーのレベル数が K、ノードの総数がの場合、それは完全なバイナリツリーです。

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完全なバイナリツリー: 完全なバイナリツリーは非常に効率的なデータ構造であり、完全なバイナリツリーは完全なバイナリツリーから派生します。深さ K でノードが n のバイナリツリーの場合、各ノードが深さ K の完全なバイナリツリー内の 1 から n までの番号が付けられたノードと 1 対 1 で対応する場合にのみ、完全なバイナリツリーと呼ばれます。

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完全なバイナリツリーは、特別な種類の完全なバイナリツリーです。

4. 二分木の性質

ルートノードのレベル数が 1 に指定されている場合、空ではないバイナリツリーの i 番目のレベルには最大 2 ^(i-1)個のノードが存在します。
ルートノードのレベル数が 1 に指定されている場合、深さ h の二分木の最大ノード数は 2 ^h -1 になります。
任意の二分木について、次数 0 の葉ノードの数が n 0 で_、次数 2 の分岐ノードの数が n ₂である場合、n ₀ =n ₂ +1となります。
ルートノードのレベル数が 1 に指定されている場合、n ノードを持つ完全なバイナリツリーの深さは、 h= $log _ 2 ^ (n+1)$ 。
n 個のノードを持つ完全なバイナリツリーの場合、すべてのノードが上から下、左から右の配列順序で 0 から始まる番号が付けられている場合、シリアル番号 i のノードについては次のようになります。

i>0 の場合、位置 i のノードの親番号: (i-1)/2; i=0、i はルートノード番号であり、親ノードはありません
2i+1<n の場合、左の子の番号: 2i+1, 2i+1>=n それ以外の場合、左の子はありません
2i+2<n の場合、右側の子の番号: 2i+2, 2i+2>=n それ以外の場合は右側の子はありません

5. バイナリツリーの記憶構造

バイナリツリーは通常、シーケンシャル構造とチェーン構造の 2 つの構造を使用して格納できます。

順次ストレージ:

シーケンシャル構造ストレージでは、ストレージに配列を使用します。一般に、配列は完全なバイナリツリーを表す場合にのみ適しています。完全なバイナリツリーでない場合、スペースが無駄になるためです。実際には、ストレージに配列を使用するのはヒープだけです。バイナリツリーの順次ストレージは、物理的には配列であり、論理的にはバイナリツリーです。

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チェーンストレージ:

二分木の連結記憶構造とは、二分木を表現するために連結リストが使用されること、すなわち、要素の論理的関係を示すためにチェーンが使用されることを意味する。
通常の方法では、リンクリストの各ノードは、データフィールドと左右のポインタフィールドの 3 つのフィールドで構成されます。左ポインタと右ポインタは、左の子と右の子がポイントするリンクのストレージアドレスを与えるために使用されます。ノードのそれぞれです。
鎖の構造は二本鎖と三本鎖に分かれます。

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typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    
    
	struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    
    
	struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲
	struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType data; // 当前节点值域
}；