データエンベロープ分析 - SBM モデル

前に書いてあります:
ブロガーは大学時代に数理モデリングのコンテストに10回以上参加し、優勝成績はすべて2位以上でした。より多くの学生が数理モデリングへの道で遠回りをしないように、このコラムでは数理モデリングでよく使われる数理モデルのアルゴリズムをまとめました。数理モデリングのコンテストに参加したい学生の参考になれば幸いです。

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1 はじめに

  データ包絡分析のCCRモデルとBCCモデルについては以前紹介しましたが、詳しくはリンク:データ包絡分析 - CCRモデルおよび リンク:データ包絡分析 - BCCモデルを参照してください。CCRモデルとBCCモデルは両方とも同じです。放射状モデルでは、効率の向上は主に入力または出力の比例線形スケーリングを指しますが、座標軸に平行な効果が弱い状況は無視されますが、SBM モデルでは非効率な緩和の改善が組み込まれており、最終的な結果が強力で確実なものになります。効果的。

2. モデルの確立

  また、最小値が次の SBM 式
⁡ ρ = 1 − 1 m ∑ j = 1 msj − / xkj 1 + 1 q ∑ r = 1 qsr − / ykr st { X λ + s − = xk Y λ − s + = yk λ , s − , s + ⩾ 0 , j = 1 , ⋯ , m ; r = 1 , ⋯ , q \begin{array}{l}\min \rho=\frac{1-\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}s_{j}^{ -} / x_{kj}}{1+\frac{1}{q} \sum_{r=1}^{q} s_{r}^{-} / y_{kr}} \\ \text { st }\left\{\begin{array}{l}X \lambda+s^{-}=x_{k}\\ Y \lambda-s^{+}=y_{k}\\\lambda, s^ {-}, s^{+} \geqslant 0, \quad j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, q\end{配列}\right.\end{配列}分r=1+ _q1∑r = 1qsr−/ ykr _1 −メートル1∑j = 1メートルsj−/ ×kj​ セント ⎩ ⎨ ⎧X λ+s−=バツｋYλ−s+=yｋl 、s−、s+⩾0 、j=1 、⋯、メートル;r=1 、⋯、q​このうち、各意思決定単位について、$k=1、\cdots 、n$。
  目的関数$r^{※は}$効率の値であり、入力と出力の両面から非効率を検討するモデルであるため、ノンラジアルモデルと呼ばれます。モデルは非線形モデルであるため、モデルを線形モデルに変換し、望ましくない出力をモデルに追加します。
τ ∗ = min ⁡ ( t − 1 m ∑ j = 1 msj − xkj ) st { t + 1 s 1 + s 2 ( ∑ r = 1 s 1 srgykrg + ∑ r = 1 s 2 srbykrg ) = 1 xkt = X Λ + S − ykgt = X Λ − S gykbt = X Λ + S b Λ , S − , S g , S b ⩾ 0 t > 0 \begin{array}{l}\tau^{*}=\min \left(t-\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \frac{s_ {j}^{-}}{x_{kj}}\right) \\ \text { st }\left\{\begin{array}{l}t+\frac{1}{s_{1 }+s_{ 2}}\left(\sum_{r=1}^{s_{1}} \frac{s_{r}^{g}}{y_{kr}^{g}}+\sum_{ r=1} ^{s_{2}} \frac{s_{r}^{b}}{y_{kr}^{g}}\right)=1 \\ x_{k} t=X \Lambda+ S^{-} \\ y_{k}^{g} t=X \Lambda-S^{g} \\ y_{k}^{b} t=X \Lambda+S^{b} \\ \ ラムダ, S^{ -}, S^{g}, S^{b} \geqslant 0 \\ t>0\end{配列}\right.\end{配列}t∗=分( t−メートル1∑j = 1メートルバツkjsj−​) セント ⎩ ⎨ ⎧t+s1+ s21( ∑r = 1s1​ykr _gsrg​+∑r = 1s2​ykr _gsrb​)=1バツｋt=× Λ+S−ykgt=× Λ−Sgykbt=× Λ+SbL 、S−、Sg、Sb⩾0t>0​このうち、各意思決定単位について、$k=1、\cdots 、n$。モデルには入力行列${バツ}_{n\times }$の転置、期待される出力行列$Y_{n\times s_{}}^{}$の転置、予期しない出力$Y_{n\times s_{}}^{}$の転置、モデル パラメーターには主に射影変数$\Lambda$、スラック変数$S^{-}、S^g、S^b$と$と$。

3. モデルソリューション

前の例を引き続き使用します。
  ある市の教育委員会は 6 つの重点中学校を評価する必要があり、対応する指標は表に示すとおりです。表中の学生 1 人当たりの投資と非低所得世帯の割合は入力指標であり、学生 1 人当たりの作文スコアと学生 1 人当たりの科学技術スコアは出力指標です。これらの指標に基づいて、どの学校が比較的効果的であるかを評価してください。

  次のようにモデルに従って MATLAB コードを記述します。

%非期望产出SBM模型
clc,clear
X=[89.39 86.25 108.13 106.38 62.4 47.19;
    64.3 99 99.6 96 96.2 79.9];
Y=[25.2 28.2 29.4 26.4 27.2 25.2;
    223 287 317 291 295 222];
Z=[72 85 95 63 81 70]; %非期望产出：生均艺术得分
[m,n]=size(X);
s1=size(Y,1);
s2=size(Z,1);
c=1/(s1+s2);

rho=[];
w=[];
for i=1:n
    f=[-1./(m*X(:,i)') zeros(1,s1) zeros(1,s2) zeros(1,n) 1];
    A=[];
    b=[];
    UB=[];
    LB=zeros(m+s1+s2+n+1,1);
    Aeq=[zeros(1,m) c*1./Y(:,i)' c*1./Z(:,i)' zeros(1,n) 1;
        eye(m) zeros(m,s1)  zeros(m,s2) X -X(:,i);
        zeros(s1,m) -eye(s1) zeros(s1,s2) Y -Y(:,i);
        zeros(s2,m) zeros(s2,s1) eye(s2) Z -Z(:,i)];
    beq=[1 zeros(m,1)' zeros(s1,1)' zeros(s2,1)'];
    [w(:,i),rho(i)]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);
end
rho'

  各学校の効率値は次のように得られます。

1.0000 、 0.8297 、 0.8692 、 1.0000 、1.0000 、 1.0000

  予期せぬ出力の場合、A、D、E、F 校が有効であることがわかります。