データエンベロープメント分析 (DEA) - BCC モデル

前に書いてあります:
ブロガーは大学時代に数理モデリングのコンテストに10回以上参加し、優勝成績はすべて2位以上でした。より多くの学生が数理モデリングへの道で遠回りをしないように、このコラムでは数理モデリングでよく使われる数理モデルのアルゴリズムをまとめました。数理モデリングのコンテストに参加したい学生の参考になれば幸いです。

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1 はじめに

  データ包絡解析の CCR モデルは上で紹介しましたが、CCR モデルは、スケールへの一定のリターン (CRS)、つまりモデル内の λ \lambda を仮定した放射状 EDA モデルです$値$⩾ 0 \lambda \geqslant$私⩾0.$特定のモデル原則については、リンク「データ包絡分析 - CCR モデル」。
  しかし、実際の生産プロセスにおいては、生産技術の規模利益はCRSではなく、CRS仮定を採用した場合に得られる技術効率は、純粋な技術効率だけではなく、規模効率の要素を含めた総合的な効率となります。
一般に、生産技術の規模への利益は 3 つの段階を経ます。規模への利益増加 (IRS)、規模への利益一定 (CRS)、規模への利益逓減 (DRS) です。研究サンプルがどの段階にあるかを判断できない場合は、技術効率を評価するために変数リターントゥスケール (VRS) モデル、つまりモデル内の λ$\lambda 値\sum$ λ = 1 \sum \lambda=1$\sum 私=1$ . 現時点では、VRS モデルから導出される技術効率は純粋な技術効率です。

2. モデルの確立

  BCC モデルは、変数リターントゥスケール (VRS) を仮定した放射状 DEA モデルです。CCR モデルとの違いは、等式制約$\sum 私=1$ .
  入力指向の BCC デュアル モデル:
$$分\theta$$ s 。と。{ ∑ i = 1 n λ ixij ⩽ θ xij ∑ i = 1 n λ iyir ⩾ ykr ∑ i = 1 n λ i = 1 λ i ⩾ 0 , j = 1 , ⋯ , m ; r = 1 , ⋯ , 3 q st\left\{\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{ij} \leqslant \theta x_{ij} \ \ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{ir} \geqslant y_{kr} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1 \\ \ lambda_{i} \geqslant 0, j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, 3 q\end{配列}\right。s 。と。⎩ ⎨ ⎧∑i = 1ん私私はバツイジ⩽θ ×イジ∑i = 1ん私私はy私は⩾ykr _∑i = 1ん私私は=1私私は⩾0 、j=1 、⋯、メートル;r=1 、⋯、3q _
そのうち、$k=1、\cdots 、n$。
  出力重視の BCC デュアル モデル:
$$\mathrm{最大}\varphi$$ s . と。{ ∑ i = 1 n λ ixij ⩽ xij ∑ i = 1 n λ iyir ⩾ ϕ ykr ∑ i = 1 n λ i = 1 λ i ⩾ 0 , j = 1 , ⋯ , m ; r = 1 , ⋯ , 3 q st\left\{\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{ij} \leqslant x_{ij} \\ \ sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{ir} \geqslant \phi y_{kr} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1 \\ \ lambda_{i} \geqslant 0, j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, 3 q\end{配列}\right。s 。と。⎩ ⎨ ⎧∑i = 1ん私私はバツイジ⩽バツイジ∑i = 1ん私私はy私は⩾ϕy _kr _∑i = 1ん私私は=1私私は⩾0 、j=1 、⋯、メートル;r=1 、⋯、3q _そのうち、$k=1、\cdots 、ん$。

3. モデルソリューション

次の質問を例に考えてみましょう。
  ある市の教育委員会は 6 つの重点中学校を評価する必要があります。対応する指標は表のとおりです。表中の学生 1 人当たりの投資と非低所得世帯の割合は入力指標であり、学生 1 人当たりの作文スコアと学生 1 人当たりの科学技術スコアは出力指標です。これらの指標に基づいて、どの学校が比較的効果的であるかを評価してください。

上記で確立されたモデルに基づいて、入力指向の BCC モデルを作成するための MATLAB プログラムは次のとおりです。

%投入导向BCC
w=[];
for i=1:n
    f=[zeros(1,n) 1];
    A=[X -X(:,i); -Y zeros(q,1)];
    b=[zeros(1,m) -Y(:,i)']';
    Aeq=[ones(1,n) 0];
    beq=1;
    LB=[zeros(n+1,1)];
    UB=[];
    w(:,i)=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);
end
BCC_IN=w(n+1,:)'

  得られた結果は、1、0.9804、1、0.9395、1、1 です。
出力指向の BCC モデルの MATLAB プログラムは次のとおりです。

%产出导向BCC
w=[];
for i=1:n
    f=[zeros(1,n) -1];
    A=[X zeros(m,1); -Y Y(:,i)];
    b=[X(:,i)' zeros(1,q)]';
    Aeq=[ones(1,n) 0];
    beq=1;
    LB=[zeros(n+1,1)];
    UB=[];
    w(:,i)=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);
end
BCC_OUT=1./w(n+1,:)'

  得られた結果は次のとおりです: 1、0.9948、1、0.9466、1、1

  インプット重視の BCC モデルとアウトプット重視の BCC モデルの結果を観察すると、学校 A、C、E、F のインプットとアウトプットが比較的効果的であることがわかります。

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