点から線までの垂直座標の計算

        空間上の点Oの座標を(Xo、Yo、Zo)、空間上の直線上の2点A、Bの座標を(X1、Y1、Z1)、(X2、Y2、Z2)とする。点Oを直線ABの垂直麓とし、その座標を(Xn,Yn,Zn)とする。点 N の座標を計算するプロセスは次のとおりです。

まず次のベクトルを見つけます。

ベクトルの上下の関係から、２つのベクトルが垂直であれば、２つのベクトルの内積（ドット積、ベクトル積）は０となることが導けます。

(1)

ベクトル共線性定理によれば、点 N は直線 AB 上にあります。

(2)

kは垂直麓点と始点間の距離の割合、つまり比例係数として理解されます。

 (2) から、次のようになります。

(3)

 式 (1) に式 (3) を代入すると、式中に未知数 k は 1 つだけあり、整理して単純化して k を解くと次のようになります。

式(4)を式(3)に代入して、垂直足Nの座標を取得します。

C での実装方法は次のとおりです。

// 二维空间点到直线的垂足
struct Point
{
　　double x,y;
}
Point GetFootOfPerpendicular(
	const Point &pt,     // 直线外一点
	const Point &begin,  // 直线开始点
	const Point &end)   // 直线结束点
{
	Point retVal;
 
	double dx = begin.x - end.x;
	double dy = begin.y - end.y;
	if(abs(dx) < 0.00000001 && abs(dy) < 0.00000001 )
	{
		retVal = begin;
		return retVal;
	}
 
	double u = (pt.x - begin.x)*(begin.x - end.x) +
		(pt.y - begin.y)*(begin.y - end.y);
	u = u/((dx*dx)+(dy*dy));
 
	retVal.x = begin.x + u*dx;
	retVal.y = begin.y + u*dy;
 
	return retVal;
}

// 三维空间点到直线的垂足
struct Point
{
　　double x,y,z;
}
Point GetFootOfPerpendicular(
	const Point &pt,     // 直线外一点
	const Point &begin,  // 直线开始点
	const Point &end)   // 直线结束点
{
	Point retVal;
 
	double dx = begin.x - end.x;
	double dy = begin.y - end.y;
　　double dz = begin.z - end.z;
	if(abs(dx) < 0.00000001 && abs(dy) < 0.00000001 && abs(dz) < 0.00000001 )
	{
		retVal = begin;
		return retVal;
	}
 
	double u = (pt.x - begin.x)*(begin.x - end.x) +
		(pt.y - begin.y)*(begin.y - end.y) + (pt.z - begin.z)*(begin.z - end.z);
	u = u/((dx*dx)+(dy*dy)+(dz*dz));
 
	retVal.x = begin.x + u*dx;
	retVal.y = begin.y + u*dy;
　　retVal.y = begin.z + u*dz;
　　
	return retVal;
}