数学的知識 (1)

1. 整数論

1.1 素数

定義: 1 より大きいすべての自然数は、1 とそれ自体の約数が 2 つしか含まれていない場合、素数 (素数) と呼ばれます。

素数判定裁判部門

bool is_prime(int n)
{
    if(n < 2) return false;
    for(int i = 2;i <= n / i;i ++)
    {
        if(n % i == 0)
            return false;
    }
    return true;
}

素因数

基本的な考え方: n のすべての約数を小さいものから大きいものまで列挙します。

void divide(int n)
{
    for(int i = 2;i <= n;i ++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            int s = 0;
            while(n % i == 0)
            {
                n /= i;
                s ++;
            }
            printf("%d %d\n",i,s)
        }
    }
}

ふるい法

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int primes[N],cnt;
bool st[N];

void get_prime(int n)
{
    for(int i = 2;i <= n;i ++)
    {
        if(!st[i])
        {
            primes[cnt ++] = n;
            for(int j = i + i;j <= n;j += i) st[j] = true;
        }
    }
}

リニアふるい

各数値が最小の素因数によって除外されることが保証されます。

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int primes[N],cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2;i<= n;i ++)
    {
        if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;
        for(int j = 0;primes[j] <= n / i;j ++)
        {
            st[primes[j] * i = true;
            if(i % primes[j] == 0) break;  //primes[j]一定是i的最小质因子
         }
    }
}

1.2 近似

 試行分割法

vector<int> get_divisors(int n)
{
    vector<int> res;
    
    for(int i = 1;i <= n / i;i ++)
        if(n % i == 0)
        {
            res.push_back(i);
            if(i != n / i) res.push_back(n / i);
        }
    sort(res.begin(),res.end());
    return res;
}

約数と約数の和

ユークリッドアルゴリズム

//返回a与b的最大公约数
int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,(a % b) : a);
}

2. オイラーの定理

2.1 オイラー関数

定義: X(n) は、n と互いに素な 1~n の数を表します。

アルゴリズムのステップ:

1. 1~N から p1,p2,...,pk の倍数を削除します
2. Pi*Pj のすべての倍数を加えたもの
3. Pi*Pj*Pk の倍数をすべて減算します。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    while(n --)
    {
        int a;
        cin>>a;

        int res = a;
        //分解质因数
        for(int i = 2 ;i <= a;i ++)
        {
            if(a % i == 0)
            {
                res = res / i * (i - 1);
                while (a % i == 0) a /= i;
            }
        }
        if(a > 1) res = res / a * (a - 1);

        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}

高速パワー 

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

//求a^k % p
int main(int a,int k,int p)
{
    int res = 1;
    while(k)
    {
        //如果当前k的末位为1，则
        if( k & 1) res = (LL)res * a % p;
        //删除k的末位
        k >>= 1;
        //把a平方
        a = (LL) a * a % p;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    
    while(n --)
    {
        int a,k,p;
        scanf("%d%d%d",&a,&k,&p);
        
        printf("%d\n",qmi(a,k,p));
    }
    return 0;
}