数学的知識1

近似

互いに素：2つの数の最大公約数は1つだけです

1より大きい正の整数nの場合、素因数は分解できます。n= p1 ^ a1 * p2 ^ a2 * p3 ^ a3 *…* pk ^ ak

数の約数の数を
求めます。nの正の約数は（a₁+ 1）（a²+ 1）（a₃+ 1）...（ak + 1）です。

ある数のすべての約数の
合計を求めます。nの正の約数の合計は（p1 ^ 0 + p1 ^ 1 + p1 ^ 2 +…+ p1 ^ a1）*（p2 ^ 0 + p2 ^ 1 + p2 ^ 2 +…+ P2 ^ a2）*…*（pk ^ 0 + pk ^ 1 + pk ^ 2 +…+ pk ^ ak）

// 分解约数
void divide(int n)
{
    
    
    for (int i = 2; i <= n/i; i++)
    {
    
      
        int cnt = 0;
        if (n % i == 0)
        {
    
    
            while (n % i == 0) n /= i, cnt++ ;
            cout << i << " " << cnt << endl;
        }
    }
    if (n > 1) cout << n << " 1" << endl;
}

 

オイラーふるい

int primes[100010], cnt;
bool st[100010];
void get_primes(int n)
{
    
    
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
    
    
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;

        for (int j = 0; j < cnt; j++)
        {
    
    
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

 

オイラー関数

オイラー関数φ（n）：n未満で、互いに素である正の整数（1を含む）の数。
式：φ（n）= n *（1-1 / p1）（1-1 / p2） （1 -1 / p3）*（1-1 / p4）……（1-1 / pn）（許容誤差と排除の原理を証明できます）

int phi(int x)
{
    
    
    int ans = x;
    for (int i = 2; i <= x/i; i++)
    {
    
    
        if (x % i == 0)
        {
    
    
            ans = ans - ans/i;
            while (x % i  == 0) x /= i;
        }
    }
    if (x > 1) ans = ans - ans/x;
    return ans;
}

 

// 求 1-n 的欧拉函数之和
int primes[100010], phis[100010] cnt;
bool st[100010];
void get_phis(int x)
{
    
    
    phis[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= x; i++)
    {
    
    
        if (!st[i])
        {
    
    
            primes[cnt ++] = i;
            phis[i] = i - 1; // 质数的欧拉函数为其本身减1
        }
        for (int j = 0; j < cnt; j++)
        {
    
    
            st[i * primes[j]] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
    
    
                phis[i * primes[j]] = primes[j] * phis[i]; // 当primes[j]为i的约数时，由欧拉函数公式， p1...pk均不变，n增加primes[j]倍
                break;
            }

            phis[i * primes[j]] = (primes[j] - 1) * phis[i]; // 当primes[j]为该项的最小质数时，i中不含primes[j]， 故在i的基础上多了(1-1/primes[j]), 而n增加primes[j]倍
        }
    }
}

 

高速パワー

int qmi(int a, int k, int p)
{
    
    
    int res = 1;
    while(k)
    {
    
    
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;    
    }

    return res % p;
}

 

逆元

定義：a *b≡1（modm）の場合、bはaのモジュロm乗法逆元です。
オイラーの定理：aとnが互いに素の場合、a ^φ（n）≡1（mod n）
フェルマーの小定理：特に、nが互いに素の場合、a ^（n-1）≡1（mod n）

/********
快速幂求乘法逆元
设逆元为x
t/a ≡ t * x (mod p) => 
t ≡ a * t * x (mod p) =>
a * x ≡ 1 (mod p)

当p均为质数， 由费马小定理  a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
故x = a^(p-2) (mod p) => qmi(a, p-2, p);
*********/

 

ユークリッドエクステンション

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    
    
    if (!b)
    {
    
    
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x); // 若未将x, y交换顺序，则需写成:
    y -= (a/b)*x;                  // int t = x;
                                   // x = y, y = t - (a/b)*y;
    return d;
}