2D 座標系の点の変換行列 (平行移動、スケーリング、回転、ミスカット)

1. 翻訳

2D 空間では、ある点を別の点に変換する必要があることがよくあります。空間内の点$P(x,y)$ ; それを$\times 、$tx t_x を$y$方向に移動します$t_{}$、$t_{}$、変換後の点の座標が$({\times }^{「、}」y^{\text{'}})$の場合、上記の点の変換操作は次の式のように要約できます:
$$\begin{array}{rl}& {バツ}^{』}=バツ+t_{}\\ & y^{』}=バツ+t_{}\end{array}$$
同次行列の使用は次のように表されます:
$$\left[\begin{array}{c}{バツ}^{』}\\ y^{』}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& b& t_{}\\ 0& 1& t_{}\\ & & \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}バツ\\ y\\ \end{array}\right]$$

import numpy as np


def translation():
    """
    原始数组a 三个点(1,1) (4,4) (7,7)
    构建齐次矩阵 P
    构建变换矩阵 T
    """
    a = np.array([[1, 1],
               [4, 4],
               [7, 7]])

    P = np.array([a[:, 0],
               a[:, 1],
               np.ones(len(a))])

    T = np.array([[1, 0, 2],
               [0, 1, 2],
               [0, 0, 1]])
    return np.dot(T, P)


print(translation())

"""
[[3. 6. 9.]
 [3. 6. 9.]
 [1. 1. 1.]]
"""

アニメーション効果のデモンストレーション

import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

X, Y = np.mgrid[0:1:5j, 0:1:5j]
x, y = X.ravel(), Y.ravel()

def trans_translate(x, y, tx, ty):
    T = [[1, 0, tx],
         [0, 1, ty],
         [0, 0, 1]]
    T = np.array(T)
    P = np.array([x, y, [1] * x.size])
    return np.dot(T, P)

fig, ax = plt.subplots(1, 4)
T_ = [[0, 0], [2.3, 0], [0, 1.7], [2, 2]]
for i in range(4):
    tx, ty = T_[i]
    x_, y_, _ = trans_translate(x, y, tx, ty)
    ax[i].scatter(x_, y_)
    ax[i].set_title(r'$t_x={0:.2f}$ , $t_y={1:.2f}$'.format(tx, ty))

    ax[i].set_xlim([-0.5, 4])
    ax[i].set_ylim([-0.5, 4])
    ax[i].grid(alpha=0.5)
    ax[i].axhline(y=0, color='k')
    ax[i].axvline(x=0, color='k')
plt.show()

2. スケーリング

2D 空間では、点$(x,y)$別の点$(p_{}、p_{})$スケーリング操作の場合、 x、yx、yの係数をスケーリングすることもできます。$x\; 方向とy$方向はそれぞれ$s_{}、s_{}$とすると、上記のスケーリング操作は次の式のように要約できます。
$$\begin{array}{rlr}& {バツ}^{』}=s_{}(\times -p_{})+p_{}& =s_{}バツ+p_{}(1-s_{})\\ & y^{』}=s_{}(y-p_{})+p_{}& =s_{}y+p_{}(1-s_{}\end{array}$$
同次行列の使用は次のように表されます:
$$\left[\begin{array}{c}{バツ}^{』}\\ y^{』}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{s}_{}& 0& p_{}(1-s_{})\\ 0& s_{}& p_{}(1-s_{})\\ & & \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}バツ\\ y\\ \end{array}\right]$$

def trans_scale(x, y, px, py, sx, sy):
    T = [[sx, 0 , px*(1 - sx)],
         [0 , sy, py*(1 - sy)],
         [0 , 0 , 1          ]]
    T = np.array(T)
    P = np.array([x, y, [1]*x.size])
    return np.dot(T, P)

fig, ax = plt.subplots(1, 4)
S_ = [[1, 1], [1.8, 1], [1, 1.7], [2, 2]]
P_ = [[0, 0], [0, 0], [0.45, 0.45], [1.1, 1.1]]
for i in range(4):
    sx, sy = S_[i]; px, py = P_[i]
    x_, y_, _ = trans_scale(x, y, px, py, sx, sy)
    ax[i].scatter(x_, y_)
    ax[i].scatter(px, py)
    ax[i].set_title(r'$p_x={0:.2f}$ , $p_y={1:.2f}$'.format(px, py) + '\n'
                    r'$s_x={0:.2f}$ , $s_y={1:.2f}$'.format(sx, sy))
    
    ax[i].set_xlim([-2, 2])
    ax[i].set_ylim([-2, 2])
    ax[i].grid(alpha=0.5)
    ax[i].axhline(y=0, color='k')
    ax[i].axvline(x=0, color='k')

plt.show()

3. 回転

2D 空間では、点$(x,y)$別の点$(p_{}、p_{})$回転操作の場合、回転角度をβ \betaと仮定すると、一般に反時計回りが正、時計回りが負です。$\beta$、次に上記の点$\times 、$点px、py p_x、p_y$を基準としたy$$p_{}、p_{}$回転角$\beta$関数を関数として定義します。
$$\left[\begin{array}{c}{バツ}^{』}\\ y^{』}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{コス}b& -罪b& p_{}(1-\mathrm{コス}b)+p_{}罪b\\ 罪b& \mathrm{コス}b& p_{}(1-\mathrm{コス}b)+p_{}罪b\\ & & \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}バツ\\ y\\ \end{array}\right]$$

def trans_rotate(x, y, px, py, beta):
    beta = np.deg2rad(beta)
    T = [[np.cos(beta), -np.sin(beta), px*(1 - np.cos(beta)) + py*np.sin(beta)],
         [np.sin(beta),  np.cos(beta), py*(1 - np.cos(beta)) - px*np.sin(beta)],
         [0           ,  0           , 1                                      ]]
    T = np.array(T)
    P = np.array([x, y, [1]*x.size])
    return np.dot(T, P)

fig, ax = plt.subplots(1, 4)

R_ = [0, 225, 40, -10]
P_ = [[0, 0], [0, 0], [0.5, -0.5], [1.1, 1.1]]

for i in range(4):
    beta = R_[i]; px, py = P_[i]
    x_, y_, _ = trans_rotate(x, y, px, py, beta)
    ax[i].scatter(x_, y_)
    ax[i].scatter(px, py)
    ax[i].set_title(r'$\beta={0}°$ , $p_x={1:.2f}$ , $p_y={2:.2f}$'.format(beta, px, py))
    
    ax[i].set_xlim([-2, 2])
    ax[i].set_ylim([-2, 2])
    ax[i].grid(alpha=0.5)
    ax[i].axhline(y=0, color='k')
    ax[i].axvline(x=0, color='k')

plt.show（）

4. シャーリング

2D 空間では、点$(x,y)$別の点$(p_{}、p_{})$弾性体の変形処理に一般的に使用されるミスカット操作用。x 方向と y 方向に沿ったミスカット パラメーターが${私}_{}、l_{}$の場合、ミスカット操作は次のように要約され、同次行列として表現できます。

$$\left[\begin{array}{c}{バツ}^{』}\\ y^{』}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& {私}_{}& -l_{}{p}_{}\\ {私}_{}& 1& -l_{}{p}_{}\\ & & \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}バツ\\ y\\ \end{array}\right]$$

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


X, Y = np.mgrid[0:1:5j, 0:1:5j]
x, y = X.ravel(), Y.ravel()

def trans_shear(x, y, px, py, lambdax, lambday):
    T = [[1      , lambdax, -lambdax*px],
         [lambday, 1      , -lambday*py],
         [0      , 0      ,  1         ]]
    T = np.array(T)
    P = np.array([x, y, [1]*x.size])
    return np.dot(T, P)

fig, ax = plt.subplots(1, 4)

L_ = [[0, 0], [2, 0], [0, -2], [-2, -2]]
P_ = [[0, 0], [0, 0], [0, 1.5], [1.1, 1.1]]

for i in range(4):
    lambdax, lambday = L_[i]; px, py = P_[i]
    x_, y_, _ = trans_shear(x, y, px, py, lambdax, lambday)
    ax[i].scatter(x_, y_)
    ax[i].scatter(px, py)
    ax[i].set_title(r'$p_x={0:.2f}$ , $p_y={1:.2f}$'.format(px, py) + '\n'
                    r'$\lambda_x={0:.2f}$ , $\lambda_y={1:.2f}$'.format(lambdax, lambday))

    ax[i].set_xlim([-3, 3])
    ax[i].set_ylim([-3, 3])
    ax[i].grid(alpha=0.5)
    ax[i].axhline(y=0, color='k')
    ax[i].axvline(x=0, color='k')

plt.show()

5. 反省

ミラーリングの場合、対称軸の法線ベクトル v $v(v_{}、v_{})$、ミラー行列$T_{}$表示:
$$\left[\begin{array}{ccc}1-2倍{\_}_{}{}^2& -2x\_{\_}_{}{y}_{}& 0\\ -2x\_{\_}_{}{y}_{}& 1-2{年}_{}{}^2& 0\\ & & \end{array}\right]$$
さらに、対称軸の位置 (対称軸の 2 点の任意の点) を表すために点が必要で、$M\left({\times }_{}、y_{}\right)$、変換行列$H=T_{}\ast T_{}\ast T_t^{-}$:
$$H=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ {バツ}_{}& y_{}& \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1-2倍{\_}_{}{}^2& -2x\_{\_}_{}{y}_{}& 0\\ -2x\_{\_}_{}{y}_{}& 1-2{年}_{}{}^2& 0\\ & & \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -{\times }_{}& -y_{}& \end{array}\right]$$
ミラーリング後の座標は$T_{}\ast T_{}\ast T_{}\ast T_t^{-}$。

X軸に沿ってミラーリングするためのミラー行列
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ & & \end{array}\right]$$
Y軸に沿ってミラーリングするためのミラー行列
$$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ & & \end{array}\right]$$

import numpy as np


a = np.array([[1, 2],
              [2, 2],
              [3, 5],
              [4, 6]])
a = np.array([a[:,0], a[:,1], np.ones(len(a))])
print("\n",a)
print("--------------------------------")

T_x = np.array( [[ 1,  0,  0],
                 [ 0, -1,  0],
                 [ 1,  0,  1]])
print("\n",np.dot(T_x, a))
print("=================================")
T_y = np.array( [[-1,  0,  0],
                 [ 0,  1,  0],
                 [ 0,  1,  1]])
print("\n",np.dot(T_y, a))

参考：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/387578291
https://zhuanlan.zhihu.com/p/187411029
https://blog.csdn.net/Akiyama_sou/article/details/122144415