Méthode du rapport lim n − > ∞ un + 1 un = p = { < 1 , convergence > 1 , divergence = 1 , méthode de la valeur racine de défaillance lim n − > ∞ unn = p { < 1 , convergence > 1 , divergence = 1 , série géométrique de défaillance ∑ m = 1 ∞ aqn − 1 = { a 1 − q , ∣ q ∣ < 1 divergente, ∣ q ∣ ≥ 1 p-série ∑ m = 1 ∞ 1 np = { convergente, ∣ q ∣ > 1 divergente, ∣ q ∣ ≤ 1 p-série généralisée ∑ m = 1 ∞ 1 n ( lnn ) p = { convergente, q > 1 divergente, q ≤ 1 p-série entrelacée ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 np = { convergence conditionnelle, q > 1 convergence absolue, 0 < q ≤ 1 \text{méthode du rapport}\lim_{n->\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n } = p = \ début{cas} \lt1, &\text{convergence}\\[2ex] \gt1, &\text{divergence}\\[2ex] =1, &\text{échec} \end{cas } \\[2ex ] \text{méthode de la valeur racine}\lim_{n->\infty}\sqrt[n]{u_n} = p \begin{cases} \lt1, &\text{convergence} \\[2ex ] \gt1, & \text{divergence} \\[2ex] =1, &\text{échec} \end{cas} \\[2ex] \text{série géométrique}\sum_{m=1}^ \infty aq^{n- 1} = \begin{cas} \frac{a}{1-q}, & |q|<1 \\[2ex] \text{divergence},& |q|\geq 1 \end{cases}\\ \text{p-series}\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{n^p} = \begin{cases} \text { convergence}, & |q|>1 \\[2ex] \text{divergence}, & |q|\leq 1 \end{cas} \\[2ex] \text{série p généralisée}\sum_{ m= 1}^\infty\frac{1}{n(lnn)^p} = \begin{cas} \text{convergence}, & q>1 \\[2ex] \text{divergence}, & q\ leq 1 \end{cases} \\[2ex] \text{séries p entrelacées}\sum_{m=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^p} = \begin {cas} \text{convergence conditionnelle}, & q>1 \\[2ex] \text{convergence absolue}, & 0<q\leq 1 \end{cas}& 0<q\leq 1 \end{cas}& 0<q\leq 1 \end{cas}méthode du rapportn − > ∞limtuntun + 1=p=⎩ ⎨ ⎧<1 ,>1 ,=1 ,convergencedivergeréchecméthode de la valeur racinen − > ∞limntun=p⎩ ⎨ ⎧<1 ,>1 ,=1 ,convergencedivergeréchecSérie géométriquem = 1∑∞un qn - 1=⎩ ⎨ ⎧1 - qun,Diverger ,∣ q ∣<1∣ q ∣≥1série pm = 1∑∞np1=⎩ ⎨ ⎧convergence ,Diverger ,∣ q ∣>1∣ q ∣≤1Série p généraliséem = 1∑∞n ( l nn )p1=⎩ ⎨ ⎧convergence ,Diverger ,q>1q≤1série p entrelacéem = 1∑∞np( - 1 )n - 1=⎩ ⎨ ⎧convergence conditionnelle ,convergence absolue ,q>10<q≤1
2. Le jugement de Leibniz
Série alternée ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 un , un > 0 (strictement supérieur à 0) 1, lim n − > ∞ un = 0 2, un ≥ un + 1 , alors la série converge\text {séries échelonnées}\sum_{m=1}^\infty(-1)^{n-1}{u_n} ,u_n>0 \text{(strictement supérieur à 0)}\\[2ex] \text{1 、}\lim_{n->\infty}u_n=0\\[2ex] \text{2、}u_n\geq u_n+1,\text{alors la série converge}série décaléem = 1∑∞( - 1 )n−1un,tun>0 ( strictement supérieur à 0)1 、n − > ∞limtun=02 、tun≥tun+1 ,alors la série converge
trois,
Si ∑ n = 1 ∞ ∣ un ∣ converge, on dit que ∑ n = 1 ∞ un est absolument convergent Si ∑ n = 1 ∞ ∣ un ∣ converge, on dit que ∑ n = 1 ∞ un est absolument convergent. Si ∑ n = 1 ∞ anxn est à x = x 0 est conditionnellement convergent, alors x = x 0 est un point final de l'intervalle de convergence de la série de puissance\text{if}\sum_{n=1}^{\infty}|u_n |\text{convergence, appelée}\sum_ {n=1}^{\infty}u_n\text{convergence absolue}\\ \text{if}\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\ text{convergence, dit}\sum_{n =1}^{\infty}u_n\text{Convergence absolue}\\ \text{If}\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n\text{ condition à}x=x_0\text{ Convergence, alors}x=x_0\text{est un point final de l'intervalle de convergence de la série de puissance}commen = 1∑∞∣ tun∣ Convergence, ditn = 1∑∞tunconvergence absoluecommen = 1∑∞∣ tun∣ Convergence, ditn = 1∑∞tunconvergence absoluecommen = 1∑∞unnXn àx=X0Conditionnellement convergent, alors x=X0est un point final de l'intervalle de convergence de la série de puissance
quelques exemples
∑ n = 1 ∞ ∣ un ∣ indéterminé (contre exemple : ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n converge, ∑ n = 1 ∞ 1 n diverge) { Quand un ≥ 0, ∑ n = 1 ∞ un 2 converge ( lim n − > ∞ un = 0 , un < 1 , un 2 < u ) Lorsque un est arbitraire, ∑ n = 1 ∞ un 2 est indéterminé (contre-exemple : ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) nn converge , ∑ n = 1 ∞ 1 n diverge) { quand un ≥ 0, ∑ n = 1 ∞ unun + 1 converge ( unun + 1 ≤ un 2 + un + 1 2 2 ) quand un est arbitraire, ∑ n = 1 ∞ un 2 est indéterminé (contre-exemple : ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) nn converge, ∑ n = 1 ∞ 1 n diverge) \sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\text{indeterminate (contre-exemple : }\sum_{n=1 }^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\text{convergence,}\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{n}\ text{divergence)} \\[2ex] \begin{cases} u_n\geq0\text{time,} \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}^2\text {convergence}(\lim_{ n->\infty}u_n=0,u_n<1,{u_n}^2<u) \\[2ex] u_n\text{n'importe quand,} \sum_{n=1}^ {\infty}{u_n} ^2\text{Indéterminé (contre-exemple :}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\text {convergence,}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\text{divergence)} \end{cas} \\[2ex] \begin{cas} u_n\geq0\text{Quand, } \sum_{n=1}^{\infty}u_nu_{n+1}\text{Convergence}(u_nu_{n+1}\leq \frac{u_n^2+u_{n+1}^2}{ 2}) \\[2ex] u_n\text{À tout moment,} \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}^2\text{Indéterminé (contre-exemple : }\sum_{n=1}^{ \infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\text{convergence,}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\text {divergentes)} \end{cas}n = 1∑∞∣ tun∣ indéterminé (contre exemple :n = 1∑∞n( - 1 )n - 1convergence ,n = 1∑∞n1Divergent)⎩ ⎨ ⎧tun≥0 heures,∑n = 1∞tun2 Convergence(limn − > ∞tun=0 ,tun<1 ,tun2<tu )tunà tout moment,∑n = 1∞tun2 indéterminé (contre exemple :∑n = 1∞n( - 1 )nconvergence ,∑n = 1∞n1Diverger )⎩ ⎨ ⎧tun≥0 heures,∑n = 1∞tuntun + 1Convergence ( untun + 1≤2tun2+ toin + 12)tunà tout moment,∑n = 1∞tun2 indéterminé (contre exemple :∑n = 1∞n( - 1 )nconvergence ,∑n = 1∞n1Diverger )