ルート数 2 の小数点以下 10,000 桁を求めてください、バイトの面接の質問についてのランダムな考え

起因

昨日グループ内で、小規模パートナーがバイト バックエンドに関するインタビューの質問を送信しました。質問の内容は2 \sqrt{2}を求めるものです$\sqrt{2}$小数点以下 10,000 桁について、直感的に考えてインターネットで情報を検索すると、解決策は大きく次の 3 つになります。多くの言語では小数点以下の精度が 10 (-10000) のレベルに達しないため、この質問を小数点以下 6 桁に単純化しましょ^う。

方法 1、直感的な二分法

指定された数値がnであると仮定すると、左側の境界を 0 に、右側の境界を n に設定し、mid = (0 + n) / 2 をとります。mid 2 が n より小さい場合は、左側の境界を Mid に設定し、それ以外の場合は、境界を Mid に設定します。サイクルを終了する条件は、左側と右側の境界の差が精度のしきい値 (右 -^左< しきい値) 未満であることです。簡単なコードは次のとおりです。

double getSqrt(int n, double threshold)
	double left = 0, right = n;
	while ( right - left > threshold){
    
    
		double mid = (left + right) / 2;
		if (mid * mid == n) return mid;
		else if (mid * mid < n) left = mid;
		else right = mid; 
	} 
	return left;

ロジックは比較的単純なので、あまりコメントしません

方法 2、ニュートン反復法

ニュートン反復法は、理論的にはほとんどの多項式の根を見つけることができます (最小要件は関数が 2 次導出可能であることですが、これはこの記事の範囲ではないため省略します)。一般的な考え方は次のとおりです。曲線方程式 f(x) が与えられた場合、方程式の根は xn である必要があります
。${バツ}_{}$その場所で接線を作成し、${バツ}_{n+}$ここで、${バツ}_{}$反復処理における確実な解です 初期解は任意に設定できますが、できるだけ正確である方が良いですxn x_n は
導出により求めるのが簡単です${バツ}_{}$接線の方程式は$f$ (${バツ}_{}$) + $f^{\text{'}}$ (${バツ}_{}$)( $x$ -${バツ}_{}$)、
簡略化は次のように計算できます。${バツ}_{n+}={バツ}_{}-\frac{f(x_{}}{f^{\text{'}}\left(x_{}\right)}$
その後、このプロセスを継続的に繰り返すことができ、終了条件は${バツ}_{}-{バツ}_{n+}<threshold$
この質問では、$f$$f\left(x\right)={バツ}^2-n$、対応する$f^{}\left({}^{\times }\right)\_=2x$なので、コードは次のようになります

double getSqrtNt(double n, double threshold){
	doulbe x_n1 = n / 2;  //起始点设置, 这是我随便写的一个, 可以有更好的方法
	double x_n = n;
	while (abs(x_n1 - x_n) > threshold){
		x_n = x_n1;
		x_n1 = xn - (xn * xn - n)/(2 * xn)
	}
	return xn;
}

方法 3、連分数法、手計算に適しています

実は、この方法はニュートン反復法と本質的には同じであり、微分が苦手な生徒にも適用できる方法であり、条件も比較的厳しいのが特徴です。

1. 平方根のみ
2. radicand は正の整数です。
   手順は次のとおりです。s $\sqrt{s}$、まずそれを$s={ある}^2+b$、ここで${ある}^2>>b$、その後、必要な精度に従って
   $\sqrt{s}=ある+\frac{}{2a+\_\frac{}{2a+。\_。。}}$
   たとえば、150 の平方根を求めるには、まず$150=12\ast 12+6$

• 一次状況$\sqrt{150}=12$
• 2 次の場合、$\sqrt{150}=12+6/24=12.25$、精度が高くなりました
• 3 次、$\sqrt{150}=12+6/(24+(6/24\left)\right)=12.2474$、少し高い
• …精度が深いほど精度が高くなります
  電卓の$\sqrt{150}$の値は 12.24744 で、答えに非常に近いです。
  証明方法も非常に簡単です。後で李永楽氏の関連する証明を投稿します。

参考文献

【1】ニュートンの平方根を求める反復法をわかりやすく説明するには？数値解析？- 学生馬の答え - Zhihu
[2]平方根を手動で計算するにはどうすればよいですか? これを学べば、また友達に自慢できます!