中学校は数学の問題を解くためのさまざまなルーチンを学び、応用する方法に焦点を当て、数学の内容を教えることにすべての時間を費やし、生徒に数学とは何かを伝えることに（たとえあったとしても）ほとんど時間を費やしません。これは、ボールをゴールに入れるために一連のパスを実行するという観点からサッカーを説明するのと少し似ています。どちらもさまざまな主要な機能を正確に説明していますが、全体とは何か、その詳細については無視しています。
コース要項を見たら、その理由は理解できましたが、それは間違っていると思います。特に今日では、数学の性質、範囲、能力、限界について一般的な認識を持つことは、どの国民にとっても有益です。
長年にわたり、私は工学、物理学、コンピューターサイエンス、さらには数学など、密接に関連する分野で大学院修了証を取得した多くの人々に会いました。これらの人々は、中等教育と大学教育をすべて終えるまで、現代数学が何であるかをよく理解していなかった、と私に言いました。彼らが数学が現代生活のあらゆる側面に浸透していることを認識し始めたのは、その後になって初めて、生活の中で時々その主題の本質を垣間見るようになってからでした。
01
算数以上の
今日の科学や工学で使用されている数学のほとんどは 300 ～ 400 年前のものであり、多くは 100 年未満のものです。しかし、高校の通常の必修科目に含まれる数学はすべて少なくともそのくらい古く、中には 2,000 年以上前のものもあります。
そんな古いものを教えるのは何も悪いことではありません。ことわざにもあるように、壊れていないのであれば、直す必要はありません。代数 (「代数」という言葉は、「リセットする」または「再び組み立てる」を意味するアラビア語の「アル・ジャブル」に由来します) は、商取引の効率を向上させるために、8 世紀から 9 世紀にアラブの商人によって開発されました。 。
代数は、今日では中世のように指で数えるのではなく、スプレッドシートのマクロで代数を適用しているにもかかわらず、当時（8 世紀と 9 世紀）と同じくらい重要で便利です。しかし、時代は流れ、社会も発展していきます。その過程で、新しい数学の必要性が生じ、タイムリーに満たされました。教育も同様に対応する必要があります。
数学は数字と算術の発明から始まったと言えます。貨幣が誕生したのは約1万年前と考えられています。（はい、その起源はどうやらお金に関係しているようです！）
次の数世紀にわたって、古代エジプト人とバビロニア人は、幾何学と三角法を含むように学問を拡張しました。これらの文明では、数学はほとんどが「料理本」のような実用的なものでした。(「数字または幾何学図形に対してこれを実行し、次にこれを実行すると、答えが得られます。」)
紀元前 500 年から西暦 300 年までは、古代ギリシャ数学の時代です。古代ギリシャの数学者は幾何学に大きな注意を払いました。実際、彼らは数値を幾何学的に扱い、数値を長さの測定値として見なしました。そして、彼らの数字が対応できない長さがあることを発見したとき（本質的に、彼らは無理数を発見した）、彼らの数字の研究は基本的に終了しました。
実際、古代ギリシャ人は数学を、測定、数え、会計のための単なる一連の技術ではなく、研究分野にしました。紀元前 500 年頃、ミレトス (現在はトルコの一部) のタレスは、正確に表現された数学的主張は形式的な議論によって論理的に証明できるという考えを導入しました。この革新的なアイデアにより、今日の数学の基礎となる定理が誕生しました。ユークリッドの『幾何学の要素』の出版により、古代ギリシャ人の形式化手法は頂点に達しました。この本は、聖書に次いで最も広く流通している本だと言われています。
一般に、中学校の数学は、上に列挙したすべての発展に加えて、17 世紀からのさらに 2 つの発展、つまり微積分と確率論に基づいています。実際、過去 300 年間、数学は中学校の教室にまったく入っていませんでした。しかし、今日世界で使用されている数学のほとんどは、過去 300 年どころか、過去 200 年の間に開発されたものです。
したがって、数学に対する見方が典型的な中学校の教育に固定されている人は、数学の研究が世界的に盛んな活動であることを認識する可能性は低く、また、数学が今日の社会や生活のほとんどの産業にかなりの程度まで浸透していることを受け入れることもできません。
たとえば、米国のどの機関が数学の博士号を最も多く採用しているかを知ることは不可能です。(正確な数字は公式秘密ですが、答えはほぼ確実に NSA です。これらの数学者のほとんどは暗号解読に携わっており、監視システムを通じて暗号化されたメッセージを当局が読めるように傍受しています。情報当局は依然としてそれを認めていませんが、これは、少なくとも人々が通常そう考えることです。
おそらくほとんどのアメリカ人は NSA が暗号解読を行っていることを知っているでしょうが、多くの人は暗号解読に数学が必要であることを認識しておらず、NSA が多数の高度な数学者を雇用する機関であるとは認識していません。）
過去 100 年ほどにわたって、数学的活動は劇的に増加し、その発展は特に急速でした。20 世紀初頭、数学は、算術、幾何学、微積分、その他いくつかの約 12 の異なる分野から構成されていると考えられていました。現在、これらのカテゴリの数は、数え方にもよりますが、約 60 ～ 70 になります。代数やトポロジーなどの一部の分野はさまざまなサブフィールドに分かれていますが、複雑性理論や力学システム理論などの分野はまったく新しい研究分野です。
数学の目覚ましい発展により、1980 年代にはパターンの科学という数学の新しい定義が出現しました。この説明に基づいて、数学者は、値パターン、形状パターン、動作パターン、行動パターン、群衆投票パターン、反復確率事象パターンなどの抽象的なパターンを定義および分析します。
これらのパターンは、現実的なものまたは想像上のもの、目に見えるものまたは精神的なもの、静的または動的、定性的または定量的、実用的なもの、場合によってはレクリエーション用のものである場合があります。それらは私たちの周りのあらゆるところから、科学の追求から、あるいは人間の脳の内部の働きから来るかもしれません。モデルが異なれば数学の分野も異なります。例えば、
算術と数論では、数と計算のパターンを研究します。
形状の幾何学的研究のためのパターン。
微積分を使用すると、動きのパターンを扱うことができます。
論理学は推論のパターンを研究します。
確率理論は確率のパターンを扱います。
トポロジーは、閉鎖と位置のパターンを研究します。
フラクタル幾何学は、自然界に見られる自己相似性を研究します。
02
数学記号
一般の人でも一目でそれとわかる現代数学の特徴の 1 つは、代数式、複雑に見える数式、幾何学的な図などの抽象的な記号の使用です。数学者が抽象表記に依存するのは、彼らが研究するパターンの抽象的な性質を反映しています。
現実のさまざまな側面は、さまざまな形式で説明する必要があります。たとえば、地形を調べたり、知らない町で道を見つける方法を誰かに説明したりする場合、地図を描くのが最も適切です。言葉でそうするのははるかに適切ではありません。同様に、注釈付きの線画 (設計図) は建物の構造を表現するのに最適であり、楽譜は紙に音楽を表現するのに最適です。さまざまな種類の抽象的および形式的なパターン、および抽象的な構造については、数学的な記号、概念、アルゴリズムを使用するのが最も適切な記述と分析の手段です。
たとえば、加算の交換法則は日常言語で次のように表現できます。
2 つの数値を加算する場合、その順序は関係ありません。
ただし、通常は次のような記号形式で記述されます。
上記のような単純な例の場合、記号形式には明らかな利点はありませんが、ほとんどの数学モデルは複雑で抽象化されているため、形式的な記号以外のツールを適用するのは非常に面倒です。したがって、数学の発展には、抽象記号の使用も着実に増加しました。
現代形式の記号数学は一般に 16 世紀のフランスの数学者フランソワ ベクターによって導入されたと考えられていますが、代数表記はアレクサンドリアのディオファントス (西暦 250 年頃在住) の著作に初めて登場したようです。彼の算術に関する 13 巻の論文 (そのうち 6 巻のみが現存) は、一般に最初の代数教科書とみなされています。ディオファントスが方程式の未知数と未知数のべき乗に特別な記号を使用し、減算と等号に記号を使用したことは言及する価値があります。
最近の数学の本は記号があふれる傾向にあります。ただし、楽譜が音楽ではないのと同じように、数学の楽譜は数学ではありません。音符のページは楽曲を表しますが、そのページにある音符が歌われたり、楽器で演奏されたりしたときにのみ、音楽そのものが聞こえます。音楽はパフォーマンスを通じて命を吹き込まれ、私たちの経験の一部になります。音楽は紙の上に存在するのではなく、私たちの頭の中に存在します。
数学も同様です。紙上の記号は単に数学を表現したものにすぎず、印刷された記号は、有能な演奏家 (数学では、数学の訓練を受けた一部の人々) によって読まれて初めて命を吹き込まれます。数学は、抽象的な交響曲のように読者の心の中で生き、呼吸しています。
繰り返しますが、数学が識別して研究するのに役立つパターンは抽象的なため、抽象的な表記が使用されます。たとえば、数学は宇宙の目に見えないパターンを理解するのに重要な役割を果たしてきました。1623年、ガリレオは次のように書きました。
「偉大な自然の本は、それがどのような言語で書かれているかを知っている人だけが読むことができます。その言語は数学です。」
実際、物理学は数学的なレンズを通して宇宙を見るものであると正確に説明できます。
例を挙げると、物理法則が数学的に体系化され理解されたからこそ、今日の航空旅行が可能になったのです。飛行機が頭上を飛ぶと、それを支えているものは何も見えません。数学を通してのみ、私たちはそれを高く保ち続ける目に見えない力を「見る」ことができます。この場合の力は 17 世紀にニュートンによって特定され、ニュートンはその研究に必要な数学も開発しました。
ただし、技術が実際にニュートンの数学 (この時期に開発された他の多くの数学によって強化された) を使用して飛行機を製造できるところまで技術が進歩したのは、数世紀後のことでした。この例は、数学とは何かを説明するために使用される私のお気に入りのミームの 1 つである、数学は目に見えないものを見えるようにするという好例です。
03
現代大学数学
数学の歴史的発展を簡単に概説したので、現代の大学数学が中等学校で教えられる数学と根本的に異なる理由を説明し始めることができます。
数学者はずっと前に数字 (およびそれを表すための代数表記) を超えて研究分野を拡大しましたが、150 年前までは数学を主に計算の科学であると考えていました。つまり、数学の習熟とは、問題を解決するために計算したり記号式を使用したりできることを意味します。一般に、中等数学は依然としてこの初期の伝統に主に基づいています。
しかし、19 世紀に数学者がさらに複雑な問題に取り組むにつれて、数学についての初期の直観が研究の指針として十分ではない場合があることに気づき始めました。直観に反する（時には逆説的でさえある）結果により、重要な実際的な問題を解決するために開発した方法の一部が説明できない結果につながることに彼らは気づきます。
たとえば、バナッハ・タルスキーのパラドックス。このパラドックスは、理論的には、ボールをいくつかの部分に切断し、それらを再結合して、元のボールと同じサイズの 2 つの同一のボールを得ることができる、というものです。数学は正しいので、たとえそれが私たちの想像を裏切るものであっても、バナッハ-タルスキーの結果は事実として受け入れられなければなりません。
このように、数学は数学そのものを通じてのみ理解できる領域につながり得ることが理解されます。数学的手法を使用して得られた発見を他の方法で検証することなく信頼できることを保証するために、数学者は数学内の手法に注目し、それを学問そのものをテストするために使用します。
19 世紀半ば、この内省は数学に対する新しくて異なる考え方の採用につながりました。これは、微積分や答えの計算よりも、抽象的な概念や関係を定式化して理解することに重点を置いたものでした。これは、強調から理解重視への変化です。数学的オブジェクトは、もはや主に数式によって与えられるものではなく、概念的な特性を伝えるものとして考えられています。証明とは、もはやルールに従って項目を変換することではなく、概念から出発する論理的推論のプロセスです。
この革命 (そしてそれを革命と呼ぶには十分でした) は数学者たちの主題に対する見方を完全に変えました。しかし、世界の他の地域では、この変化はまだ起こっていません。プロの数学者を除いて、人々が状況の変化に初めて気づいたのは、学部の必修科目に新しい視点が現れたときでした。数学を勉強している大学生として、この「新しい数学」に初めて出会ったときに頭がクラクラしたように感じたら、ディリクレ、デデキント、リーマン、そしてこの新しい数学の導入に貢献した他の人たち全員のせいにしても構いません。正面から。
今後のプレビューとして、この変更の例を示します。19 世紀以前、数学者は、 
このような公式が、任意の数値から 
新しい数値を取得できるよう な関数を与えるという事実に慣れていました
。そして革命家ディリクレが登場した。それらの式は忘れて、入出力動作の観点から関数が何を行うかだけに集中してください、と彼は言いました。ディリクレによれば、関数とは古い数値から新しい数値を生成するあらゆる規則です。この規則は必ずしも代数式で表現できるわけではありません。実際、数字だけに注目する必要はありません。関数には、オブジェクトから開始して新しいオブジェクトを取得する任意のルールを指定できます。
この定義により、実数に対する関数は次のルールによって正当化されます。
有理数の 場合は let 、 無理数の 
場合は let です。
このモンスター関数をプロットしてみてください。
数学者はこの抽象関数の特性を研究し始めました。このような関数は、何らかの公式によって与えられるのではなく、その動作によって与えられます。たとえば、関数には、異なる初期値を与えると常に異なる答えが返されるような特性がありますか? (この性質は単射性と呼ばれます。)
この抽象的で概念的なアプローチは、実際の分析として知られる新しい分野の開発に実を結びました。数学者はそれ自体、関数の連続性や微分可能性などの抽象的な概念を研究してきました。フランスとドイツの数学者は、連続性と微分可能性の定義を発明しました 
。今日に至るまで、微積分ベースの数学コースを受講する学生は、どの世代もそれを習得するのに苦労しています。
また、1850 年代にリーマンは微分可能性を利用して複素関数を定義し、公式によって与えられる関数の定義は彼によって 2 番目の定義とみなされていました。
有名なドイツの数学者ガウス (1777-1855) は、現在標準と考えられているものの先駆けとなる留数クラス (代数の授業で遭遇する可能性が高い) を考案しました。このアプローチでは、数学的構造を、その動作が公理によって指定される特定の演算を含むセットとして定義します。
ガウスに続いて、デデキントはリング、フィールド、イデアルなどの新しい概念を研究し、それぞれが特定の操作を行うオブジェクトのファミリーとして定義されました。(繰り返しますが、微積分を受講すると、おそらくすぐにこれらの概念に遭遇するでしょう。)
さらに多くの変化が続きます。
ほとんどの革命と同様、19 世紀に起こった変化は非常に早くから芽を出しました。古代ギリシャ人は間違いなく、単なる計算ではなく、概念的な探求として数学に興味を持っていました。17 世紀の微積分の共同発明者であるライプニッツも、これら 2 つのアプローチについて深く考えました。しかし、19 世紀までは、数学は主に問題を解決するための一連のアルゴリズムとみなされていました。
しかし、革命的な数学的概念を学んで育った今日の数学者にとって、数学は 19 世紀の革命の産物にすぎません。この革命は華々しいものではなく、ほとんど忘れ去られていたかもしれないが、実際に行われ、広範囲に影響を及ぼした。さらに、この本の主な目的は、結局のところ、現代数学の新しい世界に参入する (少なくとも、数学的に考えることを学ぶ) ために必要な基本的な精神的ツールを提供することです。
現在、19 世紀以降の数学的概念は微分積分に次いで大学の数学の授業の定番となっていますが、中学校の数学にはあまり影響を与えていないため、今回の学習を完了するにはこのような本が必要です。トランジション。この新しい方法を中学校の教室に導入する試みがありましたが、大失敗に終わり、すぐに中止されました。
これは 1960 年代のいわゆる「新しい数学」運動でした。そのときうまくいかなかったのは、イノベーションのメッセージが名門大学から中等学校に伝えられる際に、重大な誤解を受けてしまったことです。
19 世紀半ば頃の数学者にとって、計算と理解は常に重要でした。19 世紀の革命は、数学の本質である計算と理解という数学の見方の変化にすぎず、それは派生的または補助的な役割を果たすだけでした。
残念なことに、1960 年代、全国の中学校教師へのメッセージは、「微積分のトリックは忘れて、概念だけに集中してください」というものでした。このような不条理でひどく悪い戦略のために、風刺家 (兼数学者) のトム・レーラーは、自身の歌「新しい数学」に次のように書きました。「重要なのは方法だ、正解が得られたかどうかは気にしない。」数学」（念のため言っておきますが、実際には 100 年以上前のものです）は中学校のカリキュラムから削除されました。
自由社会における教育政策決定の性質上、たとえ2回目はうまくいくかもしれないとしても、予見可能な将来にそのような変化が再び起こる可能性は低い。また、そのような変化自体が望ましいかどうかも（少なくとも私には）明らかではありません。人間の心は、抽象的な数学的オブジェクトの特性について考える前に、それらの計算について一定レベルの習熟が必要であるという教育的な議論がいくつかあります (これについては決定的な証拠がないため議論されていますが)。
043
なぜこれを学ぶ必要があるのですか？
19 世紀のこの変化は、数学者が数学を計算的なものとして見ることから概念的なものとして見るようになった、専門的な数学界の変化であったことを理解する必要があります。専門家として、彼らは数学の性質により興味を持っています。しかし、日々の仕事で数学を使用するほとんどの科学者、エンジニア、その他の人々にとって、状況はほぼ同じであり、今日も同様です。コンピューティング (そしてそれを適切に活用すること) はこれまでと同様に重要であり、その使用は歴史上のどの時期よりも広く普及しています。
したがって、数学コミュニティに属していない人にとっては、この変化は焦点の変更というよりも数学的活動の拡大のように見えます。今日数学を勉強している大学生は、問題解決のルーチンを教えられるだけでなく、（さらに）問題の背後にある概念を理解し、使用する方法を正当化できることも求められています。
そのような要求は合理的でしょうか? プロの数学者は、新しい数学を開発し、その妥当性をテストすることが仕事であるため、この概念的な理解が必要です。しかし、将来のキャリア（エンジニアなど）で数学をツールとしてのみ使用する学生に、なぜこれが求められるのでしょうか?
答えは 2 つありますが、どちらも非常に合理的です。(ネタバレ: 表面的には答えが 2 つしかありませんが、深く掘り下げると、実際には同じです。)
まず、教育とは、将来のキャリアのための特定のツールを習得することがすべてではありません。人類文明の最も偉大な創造物の一つである数学は、私たちの文化的宝を世代から世代へと伝えるために、科学、文学、歴史、芸術と並行して教えられるべきです。生きるということは仕事やキャリアだけではありません。教育は人生の準備であり、仕事に特化したスキルはその一部にすぎません。
最初の答えについては、これ以上説明する必要はありません。2番目の回答は、「仕事に必要なツールとして」という問題に向けたものです。
言うまでもなく、多くの仕事では数学的スキルが必要です。多くの人は、仕事を探しているときに、自分には数学的知識が欠けていることに気づきます。実際、ほとんどの業界では、ほぼすべてのレベルで数学の需要が通常の予測よりも実際に高くなります。
長年にわたり、私たちは工業社会の進歩には数学的スキルを備えた労働力が必要であるという事実に慣れてきました。しかし、さらに詳しく見てみると、これらの人々は 2 つのカテゴリーに分類されます。1 つのクラスは、与えられた数学的問題 (つまり、数学的用語で表現された問題) に対する数学的解決策を見つけることができる人々で構成されます。もう 1 つのカテゴリーは、製造業などの新しい問題に直面した後、数学的手法を使用して問題の主要な特徴を特定および記述し、数学的記述を使用して問題を正確に分析できる人々で構成されます。
以前は、タイプ 1 のスキルを持つ従業員の需要は多く、タイプ 2 のスキルを持つ従業員の需要はほとんどありませんでした。私たちの数学教育プロセスは、主にこれら 2 つのニーズを満たすことができます。数学教育は前者のタイプの労働者を生み出すことに重点を置いてきましたが、彼らの中には後者のタイプの活動も得意とする人もいるはずです。それで、すべては大丈夫です。
しかし、企業がビジネスでの競争力を維持するために常に革新を続ける必要がある今日の世界では、ニーズは第 2 のタイプの人材、つまり、固定観念の内側ではなく枠の外で考えることができる数学的思考ができる人材に移行しています。さて、突然問題が発生しました。
特定の数学的問題に深く焦点を当てながら、長期間一人で取り組むことができる、さまざまな数学的スキルを備えた人材のニーズは常に存在しており、私たちの教育システムは彼らの発達を支援する必要があります。しかし 21 世紀には、2 番目のタイプの人材のニーズが高まっています。私たちはそのような個人に名前を持っていないので（一般の認識では「数学的能力のある人々」、さらには「数学者」ですら、通常は最初のカテゴリーの人々を指します）、私は彼らに名前を提案します：革新的な数学的思考それら（革新的な数学的思考者） ）。
このタイプの新しい人 (まあ、実際には新しいことではありません。これまで誰もそれに気づいていないと思います) は、まず数学を概念的によく理解し、数学の力、範囲、いつ、どのように適用されるかを知る必要があります。その限界。また、いくつかの基本的な数学スキルをしっかりと理解している必要がありますが、特に高度である必要はありません。さらに重要なのは、彼らはチームワーク（多くの場合、学際的）で機能し、新しい方法で物事を捉え、必要とされる新しいスキルを迅速に学習して習得し、新しい状況で古い方法を適用できることです。
そのような人たちをどのように教育すればよいでしょうか？概念的思考の教育に取り組んでいきたいと考えています。この種の考え方は、あらゆる具体的な数学的スキルの背後に隠されています。古いことわざを覚えていますか? 「人に魚を与えるよりも、魚の釣り方を教えるほうが良い。」 21世紀の数学教育にも同じことが当てはまります。
世の中には非常に多くの異なる数学スキルがあり、新しいスキルが常に開発されているため、幼稚園から高校までの教育にそれらを完全に組み込むことは不可能です。大学の新入生が卒業して働く頃には、大学で学んだ特定のスキルの多くはもはや意味がなくなっている可能性が高く、新しいスキルが大流行しています。教育の焦点は学び方を学ぶことになければなりません。
数学の複雑さの増大により、19 世紀の数学者は計算スキルの焦点を、根底にある基本的で概念的な思考能力に移しました (または、必要に応じて拡張しました)。
150 年後、社会はより複雑な数学の助けを借りて再び変化しました。この焦点の変化は、もはや数学者だけでなく、数学を現実に適用したいという考え方を持って数学に取り組むすべての人にとって重要です。
これで、19 世紀の数学者が数学研究の焦点を移した理由だけでなく、1950 年代以降、大学の数学学生も概念的な数学的思考を習得する必要があった理由もわかりました。
言い換えれば、大学があなたにこのブリッジングコースの受講を望んでいる理由がわかりました。大学の数学の授業に合格するためだけではなく、なぜこれがあなたの人生にとってそれほど重要なのかも理解していただけたでしょうか。
推奨読書
著者: キース・デブリン
翻訳者: リン
高校生、大学生、および分析的思考スキルを向上させたい人のための数学的思考の入門書
