このフィルムでは、比較のために 3 つの例、つまり、正則化なし、L2 正則化、およびドロップアウト正則化を示します。
1 つ目は、順方向および逆方向の伝播、データのロード、および描画に必要な関連関数の reg_utils.py です。
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.io as sio
def sigmoid(x):
"""
Compute the sigmoid of x
Arguments:
x -- A scalar or numpy array of any size.
Return:
s -- sigmoid(x)
"""
s = 1/(1+np.exp(-x))
return s
def relu(x):
"""
Compute the relu of x
Arguments:
x -- A scalar or numpy array of any size.
Return:
s -- relu(x)
"""
s = np.maximum(0,x)
return s
def initialize_parameters(layer_dims):
"""
Arguments:
layer_dims -- python array (list) containing the dimensions of each layer in our network
Returns:
parameters -- python dictionary containing your parameters "W1", "b1", ..., "WL", "bL":
W1 -- weight matrix of shape (layer_dims[l], layer_dims[l-1])
b1 -- bias vector of shape (layer_dims[l], 1)
Wl -- weight matrix of shape (layer_dims[l-1], layer_dims[l])
bl -- bias vector of shape (1, layer_dims[l])
Tips:
- For example: the layer_dims for the "Planar Data classification model" would have been [2,2,1].
This means W1's shape was (2,2), b1 was (1,2), W2 was (2,1) and b2 was (1,1). Now you have to generalize it!
- In the for loop, use parameters['W' + str(l)] to access Wl, where l is the iterative integer.
"""
np.random.seed(3)
parameters = {
}
L = len(layer_dims) # number of layers in the network
for l in range(1, L):
parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layer_dims[l], layer_dims[l-1]) / np.sqrt(layer_dims[l-1])
parameters['b' + str(l)] = np.zeros((layer_dims[l], 1))
assert(parameters['W' + str(l)].shape == layer_dims[l], layer_dims[l-1])
assert(parameters['W' + str(l)].shape == layer_dims[l], 1)
return parameters
def forward_propagation(X, parameters):
"""
Implements the forward propagation (and computes the loss) presented in Figure 2.
Arguments:
X -- input dataset, of shape (input size, number of examples)
Y -- true "label" vector (containing 0 if cat, 1 if non-cat)
parameters -- python dictionary containing your parameters "W1", "b1", "W2", "b2", "W3", "b3":
W1 -- weight matrix of shape ()
b1 -- bias vector of shape ()
W2 -- weight matrix of shape ()
b2 -- bias vector of shape ()
W3 -- weight matrix of shape ()
b3 -- bias vector of shape ()
Returns:
loss -- the loss function (vanilla logistic loss)
"""
# retrieve parameters
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
W3 = parameters["W3"]
b3 = parameters["b3"]
# LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
z1 = np.dot(W1, X) + b1
a1 = relu(z1)
z2 = np.dot(W2, a1) + b2
a2 = relu(z2)
z3 = np.dot(W3, a2) + b3
a3 = sigmoid(z3)
cache = (z1, a1, W1, b1, z2, a2, W2, b2, z3, a3, W3, b3)
return a3, cache
def compute_cost(a3, Y):
"""
Implement the cost function
Arguments:
a3 -- post-activation, output of forward propagation
Y -- "true" labels vector, same shape as a3
Returns:
cost - value of the cost function
"""
m = Y.shape[1]
logprobs = np.multiply(-np.log(a3),Y) + np.multiply(-np.log(1 - a3), 1 - Y)
cost = 1./m * np.nansum(logprobs)
return cost
def backward_propagation(X, Y, cache):
"""
Implement the backward propagation presented in figure 2.
Arguments:
X -- input dataset, of shape (input size, number of examples)
Y -- true "label" vector (containing 0 if cat, 1 if non-cat)
cache -- cache output from forward_propagation()
Returns:
gradients -- A dictionary with the gradients with respect to each parameter, activation and pre-activation variables
"""
m = X.shape[1]
(z1, a1, W1, b1, z2, a2, W2, b2, z3, a3, W3, b3) = cache
dz3 = 1./m * (a3 - Y)
dW3 = np.dot(dz3, a2.T)
db3 = np.sum(dz3, axis=1, keepdims = True)
da2 = np.dot(W3.T, dz3)
dz2 = np.multiply(da2, np.int64(a2 > 0))
dW2 = np.dot(dz2, a1.T)
db2 = np.sum(dz2, axis=1, keepdims = True)
da1 = np.dot(W2.T, dz2)
dz1 = np.multiply(da1, np.int64(a1 > 0))
dW1 = np.dot(dz1, X.T)
db1 = np.sum(dz1, axis=1, keepdims = True)
gradients = {
"dz3": dz3, "dW3": dW3, "db3": db3,
"da2": da2, "dz2": dz2, "dW2": dW2, "db2": db2,
"da1": da1, "dz1": dz1, "dW1": dW1, "db1": db1}
return gradients
def update_parameters(parameters, grads, learning_rate):
"""
Update parameters using gradient descent
Arguments:
parameters -- python dictionary containing your parameters
grads -- python dictionary containing your gradients, output of n_model_backward
Returns:
parameters -- python dictionary containing your updated parameters
parameters['W' + str(i)] = ...
parameters['b' + str(i)] = ...
"""
L = len(parameters) // 2 # number of layers in the neural networks
# Update rule for each parameter
for k in range(L):
parameters["W" + str(k+1)] = parameters["W" + str(k+1)] - learning_rate * grads["dW" + str(k+1)]
parameters["b" + str(k+1)] = parameters["b" + str(k+1)] - learning_rate * grads["db" + str(k+1)]
return parameters
def load_2D_dataset(is_plot=True):
data = sio.loadmat('datasets/data.mat')
train_X = data['X'].T
train_Y = data['y'].T
test_X = data['Xval'].T
test_Y = data['yval'].T
if is_plot:
plt.scatter(train_X[0, :], train_X[1, :], c=train_Y, s=40, cmap=plt.cm.Spectral)
plt.show()
return train_X, train_Y, test_X, test_Y
def predict(X, y, parameters):
"""
This function is used to predict the results of a n-layer neural network.
Arguments:
X -- data set of examples you would like to label
parameters -- parameters of the trained model
Returns:
p -- predictions for the given dataset X
"""
m = X.shape[1]
p = np.zeros((1,m), dtype = np.int)
# Forward propagation
a3, caches = forward_propagation(X, parameters)
# convert probas to 0/1 predictions
for i in range(0, a3.shape[1]):
if a3[0,i] > 0.5:
p[0,i] = 1
else:
p[0,i] = 0
# print results
print("Accuracy: " + str(np.mean((p[0,:] == y[0,:]))))
return p
def plot_decision_boundary(model, X, y):
# Set min and max values and give it some padding
x_min, x_max = X[0, :].min() - 1, X[0, :].max() + 1
y_min, y_max = X[1, :].min() - 1, X[1, :].max() + 1
h = 0.01
# Generate a grid of points with distance h between them
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))
# Predict the function value for the whole grid
Z = model(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
# Plot the contour and training examples
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Spectral)
plt.ylabel('x2')
plt.xlabel('x1')
plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=y, cmap=plt.cm.Spectral)
plt.show()
def predict_dec(parameters, X):
"""
Used for plotting decision boundary.
Arguments:
parameters -- python dictionary containing your parameters
X -- input data of size (m, K)
Returns
predictions -- vector of predictions of our model (red: 0 / blue: 1)
"""
# Predict using forward propagation and a classification threshold of 0.5
a3, cache = forward_propagation(X, parameters)
predictions = (a3>0.5)
return predictions
まずデータを描画して、それがどのようなものであるかを確認できます。
train_X, train_Y, test_X, test_Y = reg_utils.load_2D_dataset(is_plot=True)
次に、コードのテストを開始します。
正則化なし
まず、正則化を使用せず、lambd パラメータ(python キーワードと重ならないように a を削除)と keep_prob をデフォルト値の 0 と 1 とし、これら 2 つの正則化が使用されていないことを示します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sklearn
import sklearn.datasets
import reg_utils
plt.rcParams['figure.figsize'] = (7.0, 4.0) # set default size of plots
plt.rcParams['image.interpolation'] = 'nearest'
plt.rcParams['image.cmap'] = 'gray'
# 加载数据集
train_X, train_Y, test_X, test_Y = reg_utils.load_2D_dataset(is_plot=False)
def model(X, Y, learning_rate=0.3, num_iterations=30000, print_cost=True, is_plot=True, lambd=0, keep_prob=1):
"""
实现一个三层的神经网络:LINEAR ->RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
参数:
X - 输入的数据,维度为(2, 要训练/测试的数量)
Y - 标签,【0(蓝色) | 1(红色)】,维度为(1,对应的是输入的数据的标签)
learning_rate - 学习速率
num_iterations - 迭代的次数
print_cost - 是否打印成本值,每迭代10000次打印一次,但是每1000次记录一个成本值
is_polt - 是否绘制梯度下降的曲线图
lambd - 正则化的超参数,实数
keep_prob - 随机删除节点的概率
返回
parameters - 学习后的参数
"""
grads = {
}
costs = []
m = X.shape[1]
layers_dims = [X.shape[0], 20, 3, 1]
# 初始化参数
parameters = reg_utils.initialize_parameters(layers_dims)
# 开始学习
for i in range(0, num_iterations):
# 前向传播
## 是否随机删除节点
if keep_prob == 1:
### 不随机删除节点
a3, cache = reg_utils.forward_propagation(X, parameters)
elif keep_prob < 1:
### 随机删除节点
a3, cache = forward_propagation_with_dropout(X, parameters, keep_prob)
else:
print("keep_prob参数错误!程序退出。")
exit
# 计算成本
## 是否使用二范数
if lambd == 0:
### 不使用L2正则化
cost = reg_utils.compute_cost(a3, Y)
else:
### 使用L2正则化
cost = compute_cost_with_regularization(a3, Y, parameters, lambd)
# 反向传播
## 可以同时使用L2正则化和随机删除节点,但是本次实验不同时使用。
assert (lambd == 0 or keep_prob == 1)
## 两个参数的使用情况
if (lambd == 0 and keep_prob == 1):
### 不使用L2正则化和不使用随机删除节点
grads = reg_utils.backward_propagation(X, Y, cache)
elif lambd != 0:
### 使用L2正则化,不使用随机删除节点
grads = backward_propagation_with_regularization(X, Y, cache, lambd)
elif keep_prob < 1:
### 使用随机删除节点,不使用L2正则化
grads = backward_propagation_with_dropout(X, Y, cache, keep_prob)
# 更新参数
parameters = reg_utils.update_parameters(parameters, grads, learning_rate)
# 记录并打印成本
if i % 1000 == 0:
## 记录成本
costs.append(cost)
if (print_cost and i % 10000 == 0):
# 打印成本
print("第" + str(i) + "次迭代,成本值为:" + str(cost))
# 是否绘制成本曲线图
if is_plot:
plt.plot(costs)
plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('iterations (x1,000)')
plt.title("Learning rate =" + str(learning_rate))
plt.show()
# 返回学习后的参数
return parameters
# 进行模型学习,得到最终的参数
parameters = model(train_X, train_Y, is_plot=True)
print("训练集:")
predictions_train = reg_utils.predict(train_X, train_Y, parameters)
print("测试集:")
predictions_test = reg_utils.predict(test_X, test_Y, parameters)
実行後の結果は次のようになります。
第0次迭代,成本值为:0.6557412523481002
第10000次迭代,成本值为:0.16329987525724213
第20000次迭代,成本值为:0.13851642423265018
训练集:
Accuracy: 0.9478672985781991
测试集:
Accuracy: 0.915
このような結果は正常に見えます (データ セットの問題により、過剰適合特徴が明らかではないことがわかります)。その後、決定境界セグメンテーション カーブを描画することがより明白になります。
plt.title("Model without regularization")
axes = plt.gca()
axes.set_xlim([-0.75, 0.40])
axes.set_ylim([-0.75, 0.65])
reg_utils.plot_decision_boundary(lambda x: reg_utils.predict_dec(parameters, x.T), train_X, train_Y)
操作の結果は次のとおりです。
過学習が過学習であり、いくつかの局所特徴が過学習されていることが明らかにわかります。
次に、正則化の導入による効果を実験します。
L2 正規化を使用する
L2 正則化の式は次のとおりです (L2 正則化は主に損失の式に反映されます)。 L2 正則化の
コストは、実際には各層の重みの二乗の合計であり、np.sum(np.square(Wl))
コードによって計算されます。
d W [ l ] = ( frombackprop ) + λ m W [ l ] 、frombackprop は d W [ l ] dW^{[l]} =(frombackprop)+ \frac{\lambda}{m}W ^{[l] ]}、frombackprop は dW^{[l]}dW _[ l ]=(フロムバックプロップ) _ _ _ _ _+メートル私W[ l ]、フロントプロップはdW______[ l ]
パラメータ更新時 W [ l ] = W [ l ] − α d W [ l ] パラメータ更新時 W^{[l]} =W^{[l]} - \alpha dW ^{[l]}パラメータを更新する場合、W[ l ]=W[ l ]−α d W[ l ]
類似項目の最終的な組み合わせは次のとおりです: W [ l ] = ( 1 − λ m ) W [ l ] − α d W [ l ] 類似項目の最終的な組み合わせは次のとおりです: W^{[l]}=( 1-\frac {\lambda}{m} )W^{[l]}-\alpha dW^{[l]}最終的にマージされた類似アイテムは次のとおりです: W[ l ]=( 1−メートル私) W[ l ]−α d W[ l ]更新パラメータの式から、正則化パラメータλ {\lambda}
を追加することで L2 正則化が達成されることがわかります。λ はネットワークの重みを小さくし (重みの減衰)、それによって過学習問題を解決するために多くのニューロンの影響を弱めます。
次のコードを追加して、L2 正則化の損失と逆勾配を計算します。
def compute_cost_with_regularization(A3, Y, parameters, lambd):
"""
实现公式2的L2正则化计算成本
参数:
A3 - 正向传播的输出结果,维度为(输出节点数量,训练/测试的数量)
Y - 标签向量,与数据一一对应,维度为(输出节点数量,训练/测试的数量)
parameters - 包含模型学习后的参数的字典
返回:
cost - 使用公式2计算出来的正则化损失的值
"""
m = Y.shape[1]
W1 = parameters["W1"]
W2 = parameters["W2"]
W3 = parameters["W3"]
# 无正则化loss
cross_entropy_cost = reg_utils.compute_cost(A3, Y)
# L2正则化loss,lambd*每层权重的平方和的和/(2*m)
L2_regularization_cost = lambd * (np.sum(np.square(W1)) + np.sum(np.square(W2)) + np.sum(np.square(W3))) / (2 * m)
cost = cross_entropy_cost + L2_regularization_cost
return cost
# 当然,因为改变了成本函数,我们也必须改变向后传播的函数, 所有的梯度都必须根据这个新的成本值来计算。
def backward_propagation_with_regularization(X, Y, cache, lambd):
"""
实现我们添加了L2正则化的模型的后向传播。
参数:
X - 输入数据集,维度为(输入节点数量,数据集里面的数量)
Y - 标签,维度为(输出节点数量,数据集里面的数量)
cache - 来自forward_propagation()的cache输出
lambda - regularization超参数,实数
返回:
gradients - 一个包含了每个参数、激活值和预激活值变量的梯度的字典
"""
m = X.shape[1]
(Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache
dZ3 = A3 - Y
dW3 = (1 / m) * np.dot(dZ3, A2.T) + ((lambd * W3) / m) # 前一项为frombackprop,即原来的dW3
db3 = (1 / m) * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims=True)
dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)
dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))
dW2 = (1 / m) * np.dot(dZ2, A1.T) + ((lambd * W2) / m)
db2 = (1 / m) * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)
dA1 = np.dot(W2.T, dZ2)
dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0))
dW1 = (1 / m) * np.dot(dZ1, X.T) + ((lambd * W1) / m)
db1 = (1 / m) * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)
gradients = {
"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3, "dA2": dA2,
"dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2, "dA1": dA1,
"dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}
return gradients
モデル関数を呼び出すときに lambd パラメーターを追加します。
parameters = model(train_X, train_Y, lambd=0.7,is_plot=True)
コードを実行した結果は次のようになります。
第0次迭代,成本值为:0.6974484493131264
第10000次迭代,成本值为:0.2684918873282239
第20000次迭代,成本值为:0.2680916337127301
训练集:
Accuracy: 0.9383886255924171
测试集:
Accuracy: 0.93
損失傾向曲線:
決定境界線の描画:
ここのタイトルは変更できます:
plt.title("Model with L2-regularization")
トレーニングセットとテストセットの精度にはほとんど差がないか、正則化なしの場合と比べて差が小さいことがわかります。描画境界からは過学習特徴がないことがわかります。 。
L2 正則化により、決定境界がより滑らかになります。ただし、λ が大きすぎる場合は「過度に平滑化」される可能性があり、その結果、モデルに高いバイアスが生じ、アンダーフィッティング状態になることに注意してください。
ドロップアウトで正規化する
原理は、特定の層内の特定のニューロンの確率キープ確率を設定し、この層で 1 - キープ確率確率を持つノードをランダムに非アクティブ化することです。この層の非アクティブ化されたノードは、現在の反復ラウンドでは順伝播と逆伝播に参加しません。つまり、非アクティブ化されたノードのパラメータは現在のトレーニング ラウンドでは更新されず、起動されていないノードのパラメータは更新されません。更新されます。
ランダムな非アクティブ化が 3 番目の層で実行されると仮定すると、順伝播中に次の 3 つの手順を実行する必要があります (3 番目の層で非アクティブ化すると仮定)。
- d3 = np.random.rand(a3.shape[0], a3.shape[1]) < keep-prob. この文の意味は、a3と同じ形のランダムな行列を作成し、それぞれの値をkeep-probと比較し、keep-probより小さければTrueになります(Pythonの計算時に自動的に1になります)。であり、keep-prob より大きい場合は要件を満たしません。False は 0 です。
- a3 = np.multiply(a3, d3) . d3 を乗算することで、1-keep-prob ノードが計算に参加しなくなります (0 を乗算すると 0 になります)。
- a3 /= キーププロブ。スケーリングによっても、コストを計算するときにほぼ同じ期待値が得られます。これを逆ドロップアウトと呼びます。
バックプロパゲーションには次の 2 つの手順が必要です (3 番目の層で非アクティブ化すると仮定)。 - dA3 = dA3 * D3 。順伝播で破棄されたノードは破棄され、勾配は計算または更新されません。
- dA2 /= keep_prob. ズームを実行し、おおよその期待値を維持します。
ドロップアウトの順方向および逆方向の伝播のために次のコードを追加します。
def forward_propagation_with_dropout(X, parameters, keep_prob=0.5):
"""
实现具有随机舍弃节点的前向传播。
LINEAR -> RELU + DROPOUT -> LINEAR -> RELU + DROPOUT -> LINEAR -> SIGMOID.
参数:
X - 输入数据集,维度为(2,示例数)
parameters - 包含参数“W1”,“b1”,“W2”,“b2”,“W3”,“b3”的python字典:
W1 - 权重矩阵,维度为(20,2)
b1 - 偏向量,维度为(20,1)
W2 - 权重矩阵,维度为(3,20)
b2 - 偏向量,维度为(3,1)
W3 - 权重矩阵,维度为(1,3)
b3 - 偏向量,维度为(1,1)
keep_prob - 随机删除的概率,实数
返回:
A3 - 最后的激活值,维度为(1,1),正向传播的输出
cache - 存储了一些用于计算反向传播的数值的元组
"""
np.random.seed(1)
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
W3 = parameters["W3"]
b3 = parameters["b3"]
# LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
Z1 = np.dot(W1, X) + b1
A1 = reg_utils.relu(Z1)
D1 = np.random.rand(A1.shape[0], A1.shape[1])
D1 = D1 < keep_prob # 步骤1
A1 = A1 * D1 # 步骤2
A1 = A1 / keep_prob # 步骤3
Z2 = np.dot(W2, A1) + b2
A2 = reg_utils.relu(Z2)
D2 = np.random.rand(A2.shape[0], A2.shape[1])
D2 = D2 < keep_prob # 步骤1
A2 = A2 * D2 # 步骤2
A2 = A2 / keep_prob # 步骤3
Z3 = np.dot(W3, A2) + b3
A3 = reg_utils.sigmoid(Z3)
cache = (Z1, D1, A1, W1, b1, Z2, D2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3)
return A3, cache
def backward_propagation_with_dropout(X, Y, cache, keep_prob):
"""
实现我们随机删除的模型的后向传播。
参数:
X - 输入数据集,维度为(2,示例数)
Y - 标签,维度为(输出节点数量,示例数量)
cache - 来自forward_propagation_with_dropout()的cache输出
keep_prob - 随机删除的概率,实数
返回:
gradients - 一个关于每个参数、激活值和预激活变量的梯度值的字典
"""
m = X.shape[1]
(Z1, D1, A1, W1, b1, Z2, D2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache
dZ3 = A3 - Y
dW3 = (1 / m) * np.dot(dZ3, A2.T)
db3 = 1. / m * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims=True)
dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)
dA2 = dA2 * D2 # 步骤1
dA2 = dA2 / keep_prob # 步骤2
dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))
dW2 = 1. / m * np.dot(dZ2, A1.T)
db2 = 1. / m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)
dA1 = np.dot(W2.T, dZ2)
dA1 = dA1 * D1 # 步骤1
dA1 = dA1 / keep_prob # 步骤2
dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0))
dW1 = 1. / m * np.dot(dZ1, X.T)
db1 = 1. / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)
gradients = {
"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3, "dA2": dA2,
"dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2, "dA1": dA1,
"dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}
return gradients
モデル関数を呼び出すときに、keep_prob パラメーターを追加して 0.86 に設定します。つまり、最初と 2 番目の層のノードの 14% は各反復の計算に参加しません。
parameters = model(train_X, train_Y, keep_prob=0.86, learning_rate=0.3,is_plot=True)
コードを実行した結果は次のようになります。
第10000次迭代,成本值为:0.061016986574905605
第20000次迭代,成本值为:0.060582435798513114
训练集:
Accuracy: 0.9289099526066351
测试集:
Accuracy: 0.95
タイトルはここで変更できます。
plt.title("Model with dropout")
ドロップアウトを使用すると、トレーニング セットの精度がわずかに低下しますが、テスト セットの精度が向上し、汎化能力が向上し、依然として非常に成功していることがわかります。
ドロップアウトが過学習を防ぐ理由: どの特徴もクリアされる可能性があるため、各ニューロンはどの特徴にも依存しません。
ドロップアウトはテスト結果の安定性を確保する必要があるため、テスト段階では使用されないことに注意してください。