Wenxin Yiyan VS Xunfei Xinghuo VS chatgpt (43) -- アルゴリズム入門 5.4 7 つの質問

7. 署名シーケンスの長さの下限をより正確にするために、コインを公平に n 回投げた場合、Ign - 2lglgn より長い連続した先頭署名シーケンスが存在しない確率は 1/n 未満であると述べてください。

一言で言えば：

コインを n 回公平に投げた場合、各コインは表か裏が出る確率が 1/2 です。n 回のトスで連続 lgn よりも長い連続ヘッドのシーケンスがないことを表すイベント A を考えてみましょう。イベント A の反対側のイベント B は、連続する lgn よりも長く発生する一連の連続するポジティブな特徴で構成されます。

デ・ブルーインの下限によれば、コインを公平に投げる n 回で、連続 logn よりも長い表が連続する確率の下限は 1/2^logn です。したがって、イベント B の確率の下限は 1/2^logn です。したがって、イベント A の確率は 1 - 1/2^lgn です。

コインを公平に n 回投げたときに、連続 lgn よりも長い表が連続して発生しない確率が 1/n 未満になるようにしたいので、イベント A の確率が 1/n より大きいことを確認する必要があります。つまり、1 - 1/2 ^lgn > 1/n です。

上記の不等式を解くと、次のようになります。

1 - 1/n > 1/2^lgn

単純化すると、次のようになります。

2^lgn > n/(n-1)

両辺の対数を取ると次のようになります。

lgn > log(n/(n-1))

log(n/(n-1)) < log(1+1/n) であるため、n>1 の場合、log(1+1/n) の制限は ln2 となるため、次のようになります。

lgn < ln2

したがって、特徴シーケンスの長さの下限をより正確にするには、コインをフェアに投げる n 回の連続 lgn よりも小さい下限を定義する必要があり、次の不等式を使用できます。

2^(lgn - ln2) < n/(n-1)

この不等式の両辺の対数を取ると、次のようになります。

lgn - ln2 < log(n/(n-1))

したがって、新しい下限は lgn - ln2 となり、元の lgn よりも正確になります。

シュンフェイ・スパーク:

この問題の確率を求める方法は中レベルの問題です。問題を解くときは、問題を注意深く見直し、比例数列と事象 A が正確に k で発生する確率計算式の合理的な使用に注意を払う必要があります。 n 回の独立した反復実験で 1 回。

i 番目の特徴シーケンスの長さを${ある}_{}$,则${ある}_{}=2$、${ある}_{}=4$、${ある}_{}=8$ ,$\dots$、既知の$\left\{{\_}_{}\right\}$は公比 2 の等比数列であり、非出現率$私はn-2lg\_lg\_n\; 個$の長く連続する正の特徴シーケンスの確率は1 n \dfrac{1}{n}未満です$\frac{}{n}$。

解決策: i 番目の特徴シーケンスの長さを${ある}_{}$,则${ある}_{}=2$、${ある}_{}=4$、${ある}_{}=8$ ,$\dots$、

既知の$\left\{{\_}_{}\right\}$は公比 2 の等比数列です。

$\therefore {ある}_{}=2^{私}（私=1、2、3、\dots )$、

$\$コインを公平にn回投げた場合$、 Ign-2\lg\lg nも長い連続した表の特徴シーケンスが発生しない確率は、ポジティブな特徴がより長く連続する確率は\dfrac{1}{n}$$未満です。$

$\therefore は表示されません よりも表示されませんIgn-2\lg\lg n長い連続したポジティブな特徴シーケンス$が存在しない確率は、より長い連続したポジティブな特徴シーケンスが存在する確率よりも小さいです。$連続するポジティブな特徴のより長いシーケンスが存在する確率は\dfrac{1}{n}$$未満です。$

ファーウェイ盤古：

コインを公平に投げると、表の特徴シーケンスの長さの下限は$\left(lgn\right)ここ$で$lgn$はコインの質量、$g$はコインの直径です。

したがって、特徴シーケンスの長さの下限をより正確にしたい場合は、各コイントスの先頭の特徴シーケンスの長さを ( lgn ) (lgn) より長くする方法を見つける必要があります$\left(lgn\right)$小さい。

考えられる状況としては、次のことが考えられます。

1. より小さいコインの質量を使用します。質量が小さくなり、正面特徴シーケンスの長さが短くなるように、より小さいコインを設計できます。たとえば、$0.1$コインの場合、フロント フィーチャ シーケンスの長さは$0.1$ドル。

2. より小さいコイン直径を使用する: 正面特徴シーケンスの長さが短くなるように、より小さいコイン直径を設計できます。たとえば、$0.02$コインの場合、ヘッド フィーチャ シーケンスの長さは$0.02$ドル。

3. コインの重心の調整: コインの重心を調整して、投げる際の安定性を高め、ヘッド フィーチャ シーケンスの長さを短くすることができます。たとえば、コインの重心を下に設定すると、表の特徴シーケンスの長さは$0.02$ドル。

結論として、上記の方法では、より小さいコイン質量またはより小さいコイン直径を使用することによってのみ、表面特徴列の長さをより小さくすることが可能である。ただし、コインの質量や直径は決まっているため、この方法は絶対的に正確な方法ではありません。

要約すると、公平にコインを投げた場合、Ign - 2lglgn よりも長い表が連続しない確率は 1/n 未満です。

360 スマートブレイン:

まず、一連の連続的な肯定的な特徴に関連付けられた確率分布関数 (PDF) を決定する必要があります。コインを投げるたびに表が出る確率は p = 0.5 であると仮定します。したがって、PDF は線形結合、つまり f(x) = (1-p)^x * p として表すことができます。ここで、x は連続する正の特徴のシーケンスの長さを示します。この PDF は、考えられるすべての連続する正の特徴シーケンスの長さに対して等しく確率的です。

次に、連続する正の特徴のシーケンス長の最悪の場合の期待値を検討します。最悪の場合、連続する表のシーケンスの予想される長さは Ign - 2 log(n) に等しくなります。ここで、Ign は最初の n 枚のコインの表と裏の数の合計です。表と裏の合計はベルヌーイ分布に従うため、二項定理を使用して期待値を計算できます。具体的には、1 以上の任意の自然数 k について、E[X_k] = np^k * (1-p)^{nk} となります。ここで、X_k は、k 回目のコイン投げ頻度で出現した表の数を表します。 。上記の式を、連続する正の特徴シーケンスの長さの最悪の場合の期待式に代入すると、Ign - 2 log(n) = np^Ign * (1-p)^{n-Ign} + O(np^ となります。 2 * (1-p)^n)。np^Ign * (1-p)^{n-Ign} は n の多項式であり、その最大累乗は 2 log(n) であることに注意してください。したがって、連続する肯定的な特徴のシーケンスの長さの最悪の場合の期待値は、次のように近似できます。 Ign - 2 log(n) = 2*log(n) * (1-p)^n + O(np^2 * (1-p )^n)。

ここで、連続する肯定的な特徴のシーケンスの長さが Ign - 2 log(n)を超える確率を考えてみましょう。二項定理によれば、連続する正の特徴シーケンスの長さが Ign - 2 log(n) を超える確率はP(X_k > Ign - 2 log(n)) に等しくなります。ここで、X_k は出現するヘッドの数を表します。コインが k 回目に投げられたときの頻度。連続する陽性特徴のシーケンスの長さの期待値は Ign - 2 log(n) であるため、二項分布の特性を使用して、連続する陽性特徴のシーケンスの長さが Ign - 2 logを超える確率を計算できます。 (n)。具体的には、連続する正の特徴シーケンスの長さが Ign - 2 log(n) を超える確率はP(X_k > Ign - 2 log(n))に等しくなります。ここで、k は X_k > Ign - 2 log(n) を満たします。連続する陽性特徴のシーケンスの長さの期待値は Ign - 2 log(n) であるため、二項分布の特性を使用して、連続する陽性特徴のシーケンスの長さが Ign - 2 logを超える確率を計算できます。 (n)。具体的には、連続する正の特徴シーケンスの長さが Ign - 2 log(n) を超える確率はP(X_k > Ign - 2 log(n))に等しくなります。ここで、k は X_k > Ign - 2 log(n) を満たします。連続する陽性特徴のシーケンスの長さの期待値は Ign - 2 log(n) であるため、二項分布の特性を使用して、連続する陽性特徴のシーケンスの長さが Ign - 2 logを超える確率を計算できます。 (n)。具体的には、連続する正の特徴シーケンスの長さが Ign - 2 log(n) を超える確率はP(X_k > Ign - 2 log(n))に等しくなります。ここで、k は X_k > Ign - 2 を満たします。ログ(n)。

最後に、連続する肯定的な特徴のシーケンスが Ign - 2 log(n) よりも長い確率が 1/n 未満であることを示したいと思います。これを行うには、中心極限定理を使用して、Ign - 2 log(n) よりも長い連続するポジティブな特徴のシーケンスの確率をサンプル独立性の確率に変換できます。具体的には、中心極限定理を使用して、次の不等式が成り立つことを証明できます。

P(X_k > Ign - 2*log(n)) < 1/n

ここで、X_k は、k 回目のコイントスで発生する表の数です。

チャットグラム：

特徴的なシーケンスの長さの下限をより正確にするには、最大長シーケンスの安定性理論を使用できます。コインを公平に n 回投げる場合、連続する表のシーケンスの長さが k であると仮定すると、シーケンスの長さは n-k+1 を超えることはできません。したがって、下限シーケンスを定義できます。つまり、下限シーケンスよりも長い連続した正の特徴シーケンスは存在しません。下限シーケンスの長さは n-k+1 です。ここで、k は現在知られている最長の連続正の特徴シーケンスの長さです。

最大長シーケンスの安定性理論によれば、下限シーケンスの安定性は次のように計算できます。

• 下限シーケンスの長さが n-k+1 の場合、次のコイン投げで、下限シーケンスよりも長い表の特徴シーケンスが連続して出現しない確率は 1/n です。

• 下限シーケンスの長さが n-k+1 で、次のコイントスで下限シーケンスよりも長い連続ヘッド特徴シーケンスが出現した場合、下限シーケンスの長さは新しい最長連続ヘッドに更新されます。特徴シーケンスの長さ。

したがって、特徴シーケンスの長さの下限をより正確にするために、下限シーケンスの長さを継続的に更新し、最大長シーケンスの安定性理論を使用して、連続的な正の特徴が存在しない確率を計算できます。下限シーケンスよりも長いシーケンス。このようにして、より正確な下限を取得することができ、下限よりも長い連続した正の特徴シーケンスが存在しない確率が 1/n 未満であることを保証できます。

チャットポイント：

コインを公平に n 回トスすると、各トスの結果は同じ確率で表 (H、表) または裏 (T、裏) になります。

Ign - 2⌊lg(n)⌋ より長い肯定的な特徴の連続シーケンスが発生しないことを考慮します。ここで、Ign は、下から (lg(n)) 個の最下位ビットまで四捨五入された整数を示します。帰納法を使用して、確率が 1/n 未満であることを証明できます。

• n=1、つまりトスが 1 回だけの場合、確率 1、つまり 1/n より大きい (1/1=1) の連続した正の特徴シーケンスは存在しません。

• k 回のトスでは、Ign - 2⌊lg(k)⌋ よりも長く、1/k 未満の確率で連続するポジティブヘッドのシーケンスは存在しないと仮定します。

• k+1 回のトスを考えます。連続する表のフィーチャー シーケンスの長さが Ign - 2⌊lg(k+1)⌋ を超える状況 (最後のトスの結果が裏か、最後のトスの結果が表だが前のトスの長さのいずれか) を超える状況を避けてください。連続ヘッド特徴シーケンスは Ign - 2⌊lg(k)⌋ を超えません。帰納的仮説によれば、前者の場合の確率は 1/2 であり、後者の場合の確率は 1/k 未満です。

したがって、k+1 回のトスでは、Ign - 2⌊lg(k+1)⌋ よりも長い連続した正の特徴シーケンスが存在しない確率は、(1/2) + (1/k) 以下に等しい、または1/( k+1) に等しい。

帰納法によれば、任意の正の整数 n について、Ign - 2⌊lg(n)⌋ を超える長さの連続した正の特徴シーケンスが存在しない確率は 1/n 未満です。

この確率の上限は、帰納的な仮定にのみ基づいて導出されるため、比較的弱い上限であることに注意してください。実際のアプリケーションでは、特性シーケンス長の下限を決定するために、より強力な上限またはより正確な確率計算方法が必要になる場合があります。