Matlab での fmincon 関数の使用

1 はじめに
2. 文法
3. 例

最近、記事を書くときに最適化のために fmincon 関数を使用する必要があるので、時間をかけて学習しました; いつものように、学習プロセスを記録するためにブログ記事を開き続けます

参考文献:
[制約付き非線形多変量関数の最小値を求める - MathWorks]
[Matlab で非線形計画法を解く、fmincon 関数の使い方まとめ - Blog Park]
[Matlab 非線形計画法 - Blog Park]

1 はじめに

Matlab では、fminconこの関数は制約付き非線形多変数関数 (制約付き非線形多変数関数) の最小値を解くことができます。つまり、非線形計画問題を解くために使用できます。

Matlab では、非線形計画モデルは次のように記述されます。

$\; f(x) \\ st \begin{cases} A·x ≤b \\ Aeq·x = beq \\ c(x)≤0\\ ceq(x) = 0\\ lb≤x≤ub \end{場合}$

A. Aeq は線形制約に対応する行列です。

b. beq は線形制約に対応するベクトルです

C(x)、Ceq(x) は非線形制約 (ベクトルを返す関数) です。

f(x) は目的関数 (スカラーを返す関数) です。

2. 文法

Matlab 要求解読コマンド:
$バツ = f min con (f un,__\times 0 、あ、 b 、 A e q 、ベク___l b 、うｂ、いいえ、_____オプション)_____$

x の戻り値は決定ベクトル x の値、fval の戻り値は目的関数 f(x) の値です。

fun は、M ファイルで定義された関数 f(x) であり、(非) 線形目的関数を表します。

x0 は x の初期値です

A、b、Aeq、beq は線形制約を定義します。線形制約がない場合は、A=[]、b=[]、Aeq=[]、beq=[] となります。

lb と ub は、変数 x の下限と上限です。下限と上限に制約がない場合は、lb=[]、ub=[]、lb の各成分が -inf であると書くこともできます。、ub の各コンポーネントは inf です

nonlcon は、M ファイルで定義された非線形ベクトル関数制約です。

オプションは最適化パラメータを定義します。入力されていない場合は、Matlab のデフォルトのパラメータ設定を使用することを意味します。

3. 例

次の非線形計画問題を解きます:
$\; f(x) = x_{1}^ 2 + x_{2}^2+x_{3}^2+8 \\ st \begin{件} x_{1}^2-x_{2} +x_{3}^2≥0 \\ x_{1 }^2+x_{2}^2 +x_{3}^2≤20 \\ -x_{1}^2-x_{2}^2 +2=0\\ x_{2} +2x_{3} ^2=3\\ x_{1}, x_{2} ,x_{3}≥0 \end{件}$

3.1 M 関数 fun1.m を記述し、目的関数を定義する

function f = fun1(x)
f = x(1).^2 + x(2).^2 + x(3).^2 + 8;
end

3.2 M 関数 fun2.m を作成し、非線形制約を定義する

function [g,h] = fun2(x)
g(1) = - x(1).^2 + x(2) - x(3).^2;
g(2) = x(1) + x(2).^2 + x(3).^3 - 20;
% g代表不等式约束，Matlab中默认g<=0，所以这里取相反数
h(1) = - x(1).^2 - x(2).^2 + 2;
h(2) = x(2) + 2 * x(3).^2 - 3;
% h代表等式约束        
end

3.3 メインプログラム関数の作成

options = optimset;
[x, y] = fmincon('fun1', rand(3, 1), [], [], [], [], zeros(3, 1), [], 'fun2', options)
% 'fun1'代表目标函数，rand(3, 1)随机给了x初值，zeros(3, 1)代表下限为0，即x1, x2, x3>=0, 'fun2'即刚才写的约束条件

得られた結果、x は最適解、y は最適値:
$x_{1}=0.6312,x_{2}=1.2656,x_{3 } =0.9312\\ y=10.8672$

Matlab は非線形計画法を解きます (fmincon 関数の使用)