一連の興味深いオプション アービトラージ トピック

一連の興味深いオプション アービトラージ トピック – パン デンによる金融経済ノート

ソース

数日前に動画を見ていたら、こんな質問を見つけました

著者が提供する解決策

オプションのキャッシュフローは凸関数なので、

$$\begin{gathered} K=40、50、70 \\ V\left(K\right)=10,20,30 \\ 50=\frac{}{3}40+\frac{}{3}70 \\ 20=ヴ\left(50\right)\ge \frac{}{3}ヴ\left(40\right)+\frac{}{3}ヴ\left(70\right)=16.67 \\ 裁定スペースあり350売り240買い170\_ \end{gathered}$$

しかし、質問者は勝手に$\frac{}{3}$と$\frac{}{3}$このアプローチは必ずしも説得力のあるものではありませんが、基本的に線形部分のキャッシュ フローの合計が等しくなるようにすることをお勧めします (つまり、売買される 2 つの資産ポートフォリオのキャッシュ フローが等しくなり、互いに相殺されます)。 )

3 つのオプションのキャッシュ フローと組み合わせのキャッシュ フローをグラフに描画します。

価格が 40 以下の場合、結合されたキャッシュ フローは安定していることがわかります。これは、線形部分キャッシュ フロー オフセットの考え方です。

私の解決策

厳密な金融学者として、$\frac{}{3}$と$\frac{}{3}$割合;

無裁定プライシングの考え方によれば、資産ポートフォリオを構築する裁定機会がある場合、
$$\begin{array}{rl}円周率& =a{f}_{}+b{f}_{}+c{f}_{}\\ & =a\left(\mathrm{最大}\right(40-\times 、0)-10)+b\left(\mathrm{最大}\right(50-\times 、0)-20）+c(\mathrm{最大}(70-\times 、0)-30）\ge \end{array}$$
このうち、等号は必ずしも真ではないので、上式を区分関数
{ a ( 30 − x ) + b ( 30 − x ) + c ( 40 − x ) ≥ 0 , x ≤ 40 − 10 a + b ( 30 − x ) + c ( 40 − x ) ≥ 0 , 40 < x ≤ 50 − 10 a + − 20 b + c ( 40 − x ) ≥ 0 , 50 < x ≤ 70 − 10 a + − 20 b − 30 c ≥ 0 , 70 < x ⇒ { ( a + b + c ) x ≤ 30 a + 30 b + 40 c , x ≤ 40 ( a + b ) x ≤ − 10 a + 30 b + 40 c , 40 < x ≤ 50 cx ≤ − 10 a − 20 b + 40 c , 50 < x ≤ 70 a + 2 b + c ≤ 0 , 70 < x \begin{cases} a(30-x) + b(30-x ) + c( 40-x) \geq 0, & x\leq 40 \\ -10a + b(30-x) + c(40-x) \geq 0, & 40 < x\leq 50 \\ -10a + -20b + c(40-x) \geq 0, & 50< x\leq 70 \\ -10a + -20b - 30c \geq 0, & 70< x \\ \end{cases} \\ \Rightarrow \ begin{cases} (a+b+c) x \leq 30 a + 30 b + 40 c, & x\leq 40 \\ (a+b) x \leq -10 a + 30 b + 40 c, & 40 < x\leq 50 \\ cx \leq -10 a - 20 b + 40 c, & 50<x\leq 70 \\ a + 2b + c \leq 0, & 70< x \end{cases}⎩ ⎨ ⎧( 30 _−× )+b ( 30−× )+c ( 40−× )≥0 、− 10a _+b ( 30−× )+c ( 40−× )≥0 、− 10a _+− 20日+c ( 40−× )≥0 、− 10a _+− 20日−30世紀≥0 ,バツ≤4040<バツ≤5050<バツ≤7070<×⇒⎩ ⎨ ⎧( _+b+c ) ×≤30a _+30日+40世紀、( _+b ) ×≤− 10a _+30日+40世紀、c ×≤− 10a _−20日+40世紀、a+2b _+c≤0 ,バツ≤4040<バツ≤5050<バツ≤7070<×
上記の式を観察すると、不等式の右側がすべてのパラメーターであり、不等式の左側が線形関数であることがわかります (最後の不等式を除く); a 、 b 、 ca,b,c が与えられたとします$、\_b、c$の場合、不等式の右辺の値が決定され、不等式の左辺の単調性も決定されます; 不等式の左辺は単調増加または単調減少のいずれかであるため、境界が導入されます。 、境界値が満たされる場合、すべての値が満たされ、{
0 ≤ 30 a + 30 b + 40 c 0 ≤ − 10 a − 10 b 0 ≤ − 50 a − 10 b + 40 c 0 ≤ − 60 a − 20 b + 40 c 0 ≤ − 10 a − 20 b − 10 c 0 ≤ − 10 a − 20 b − 30 c \begin{cases} 0 \leq 30 a + 30 b + 40 c \\ 0 \leq -10 a - 10 b \\ 0 \leq -50 a -10 b + 40 c \\ 0 \leq -60 a - 20 b + 40 c \\ 0 \leq -10 a - 20 b - 10 c \\ 0 \leq -10 a - 20 b - 30 c \\ \end{cases }⎩ ⎨ ⎧0≤30a _+30日+40世紀0≤− 10a _−10日0≤− 50a _−10日+40世紀0≤− 60a _−20日+40世紀0≤− 10a _−20日−10世紀0≤− 10a _−20日−30世紀
明らかに、これは解くのが難しい 3 次元線形計画法ですが、なぜなら$、\_b、c$は比率であり、特定の数値ではありません。a$a=1$、問題を 2 次元線形計画法
{ 0 ≤ 3 + 3 b + 4 c 0 ≤ − 5 − b + 4 c 0 ≤ − 3 − b + 2 c 0 ≤ − 1 − 2 b − c 0 に変換します。 ≤ − 1 − 2 b − 3 cb ≤ 0 \begin{cases} 0 \leq 3 + 3b + 4c \\ 0 \leq -5 - b + 4c \\ 0 \leq -3 - b + 2c \\ 0 \ leq -1 - 2b - c \\ 0 \leq -1 - 2b - 3c \\ b \leq 0 \\ \end{cases}⎩ ⎨ ⎧0≤3+3b _+4c _0≤− 5−b+4c _0≤− 3−b+2c _0≤− 1−2b _−c0≤− 1−2b _−3c _b≤0
不等号を等号に変えて絵に描いてみよう

各線と 0 の間の関係に従って、解空間は図で見つけることができます。この解空間は裁定取引の比例選択です。裁定比例選択の種類は 1 つだけではないことに注意してください。

数式で書くと
{ 0 ≤ − 1 − 2 b − 3 c 0 ≤ − 5 − b + 4 c 0 ≤ 3 + 3 b + 4 c \begin{cases} 0 \leq -1 - 2b - 3c \ \ 0 \leq -5 - b + 4c \\ 0 \leq 3 + 3b + 4c \\ \end{cases}⎩ ⎨ ⎧0≤− 1−2b _−3c _0≤− 5−b+4c _0≤3+3b _+4c _

この解セットで、比率$a=1、b=-3,c=1.6$、結合されたキャッシュフローを描く

つまり、私の解決策がより厳密になったからでしょうか。アービトラージはもはや魔法のようなものではなく、数学の本質から外れたベールにすぎません! ! !