算法时间复杂度
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算法时间复杂度的定义：
（1）时间频度: 一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
（2）时间复杂度: 在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
一般情况下，随着输入规模n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。显然，利用时间复杂度，可以算出我们的两个求和算法的时间复杂度分别为O(1),O(n)。
推导方法
- 用常数1取代运行中的所有加法函数
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数
- 得到的最后结果就是O的阶数
- 常数阶
这里举一个例子
int sum=0,n=100;
System.out.println("Hello World!");
System.out.println("Hello World!");
System.out.println("Hello World!");
System.out.println("Hello World!");
System.out.println("Hello World!");
System.out.println("Hello World!");
System.out.println("Hello World!");
printf("Hello World!");
sum = (1+n)*n/2;
复制代码这里的时间复杂度并不是O(8),而是O(1)，因为printf的次数并不随着时间规模的增大而增大。
线性阶
一般含有非嵌套循环涉及线性阶，随着n的增大，对应计算次数呈直线增长。例如
int i,sum=0,n=100;
for(i=1;i<=n;i++){
sum=sum+i;
}
复制代码时间复杂度为O(n)。
平方阶
对于嵌套的循环，例如：
int i,j,n=100;
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=0;j<n;j++){
System.out.println("Hello World!");
}
}
复制代码时间复杂度为O(n)。
对数阶
我们看下这个程序:
nt i=1,n=100;
while(i<n){
i=i*2;
}
复制代码每次循环，i*2，离n更近一步，假设有x个2相乘后大于等于n，就会退出循环
于是由2^x=n得到x=Log2n，所以这个程序的时间复杂的为O(logn)。
n++;
function(n);
for(i=0;i<n;i++){
function(n);
}
for(i=0;i<n;i++){
for(j=i;j<n;j++){
System.out.println(j);
}
}
复制代码上述代码的时间复杂度为O(n^2)；
常见的时间复杂度
常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)
< O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(n^n)
所以说，算法分析中，我们查找一个有n个随机数数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么时间复杂度就是O(1)，但也有可能在这最后一个位置，就是O(n)。
平均运行时间是期望的运行时间,最坏运行时间是一种保证。在应用中，这是一种最重要的需求，通常除非特别指定，我们提到的运行时间都是指最坏情况的运行时间