最短路树 科普笔记

一个非常冷门的知识点（大概吧）

基础定义

定义：一个 $n$ 个点，$m$ 条边的无向图，最短路树是图上的一棵生成树，以一个节点 $x$ 为根，满足对于任意 $i(1\le i\le n,i\ne x)$，树上两点最短路的距离等于原图两点最短路距离。

性质：第一个即是其定义，第二个是我这个民科自己想的，不一定对：对于两个节点 $u,v$ 满足同属于最短路树上的一条链，那么二者原图上的最短路就是树上两点到根节点距离之差。（证明：考虑反证，若两点有更短的距离，那么肯定会用这个距离去更新深度更深的节点）。

如何求出：考虑 dijkstra 的过程，当使用一个节点 $u$ 更新另一个节点 $v$ 时，$(u,v)$ 显然目前来说在最短路树中，所以记录最后更新每个节点 $i$ 的 $f{a}_i$，则 $(f{a}_i,i)$ 是最短路树上一条边这很显然，不用证了。

如何求出边权和最小最短路径树：其实只需要把 dis[v]>dis[u]+e[i].w 改成 dis[v]>=dis[u]+e[i].w 即可。为什么？

证明：我们为了使得边权和最小，我们就想尽量使得不同路径的并集最大，即是想要 $di{s}_u$ 最大，从 dijkstra 的优先队列中取出的 $di{s}_u$ 必然单调递增，这个结论反证法自证不难。如果 dis[v]==dis[u]+e[i].w`，则后来者肯定更优。

例题

[USACO09JAN]Safe Travel G

题意简述：给定一张有 $n$ 个节点，$m$ 条边的无向图，对于任意的 $i$ （$2\le i\le n$），请求出在不经过原来 $1$ 节点到 $i$ 节点最短路上最后一条边的前提下，$1$ 节点到 $i$ 节点的最短路。

很容易想到最短路树，题目即是要对于每个节点 $u$ 和其父亲节点 $v$ ，找到 $u$ 子树内一点 $x$ 使得 $di{s}_v+w(v,x)+di{s}_u-di{s}_x$ 最小。

回想到不久前才做（咕掉）的 CF827D Best Edge Weight，会发现这两题竟是如此的相似，对于一条非最短路树边 $(u,v)$ 都可以整一个树上覆盖问题，唯一的问题是，这次我们要覆盖的东西变成了上文所述的 $di{s}_v+w(v,x)+di{s}_u-di{s}_x$，如果还是按边权排序会出大问题，那怎么办呢？就按 $di{s}_v+w(v,x)+di{s}_u$ 不就完了吗。