归并排序，快速排序为什么快

对于一个$n$个元素的数组，必须要确定两两之间的相对顺序，假设每次都抓取不同的二元组，需要${\log }_{2}n!$次比较，由于${\log }_{2}n!\approx n{\log }_{2}n$，$O(n{\log }_{2}n)$就是排序算法的下界。

前面几周写过一篇散文：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/429710417
但紧接着问题就来了，到底为什么归并排序，快速排序快呢？

这里有必要澄清一下两个问题的区别：

• 归并排序，快速排序节省了哪些比较操作？
• 归并排序，快速排序为什么能节省这些操作？

上面那篇文章里，似乎回答了第一个问题，但仔细一想，发现还差点(我已经做了批注)。

虽然可以看出具体省略了哪些比较操作，但背后的原因是什么？或者换一个问题，冒泡排序到底为什么慢？

冒泡排序实际上将数组中任意两个数字都进行了一次比较，问题在于，这些比较中，有一些是没有必要的。比如：

• 比较1：$a_2<a_8$
• 比较2：$a_8<a_{19}$
• 比较3：$a_2<a_{19}$

比较3还有意义吗？毫无意义！然而冒泡排序无法识别，它只是逐数字顺序比较。

对于${\log }_{2}n!$的分析，比较3是隐含在比较1和比较2两个比较中的，事实上当完成比较1和比较2后，在上面的比较结果下，比较3就没有必要了，除非比较1得出$a_2>a_8$或者比较2得出$a_8>a_{19}$的结论，才需要比较3。

按照排列组合分析，可天然剔除掉可传递的关联比较，${\log }_{2}n!\approx n{\log }_{2}n$次比较是不包括可传递的关联比较的。

接下来只要说明归并排序和快速排序的每次比较都是无关联即可，这个是显然的：

• 归并排序：实际合并之前，两个子数组从没遇见过，不可能有任何关联。
• 快速排序：左右两个子数组均按原始相对顺序和锚点比较，内部彼此无关联。

无论如何，归并排序均可达$O(n{\log }_{2}n)$的时间复杂度，对于快速排序，在最理想情况下，也可达到，即便是平均情况，离最理想情况也不远。

冒泡排序的算法本身就如此定义，随排序进行，未排序序列趋于有序，但排序过程无法识别哪些比较是不必要的，从信息论的角度，大概率的非必要比较依然要进行，这些比较带来的信息量无疑很小，这就是低效的根源，反过来，归并排序和快速排序依偎着比较排序的下界，这就是它们快的根源。

$\log n!\approx n\log n$事实上就是排序的最大熵，自然就是排序操作的下界。在没有预假设的情况下，$n$个数组的序列一共有$n!$种，升序(或者降序)只是其中一种，它的概率为$\frac{1}{n!}$，排序信息熵为：

$H=-\sum _{i-1}^{n!}\frac{1}{n!}{\log }_2\frac{1}{n!}={\log }_{2}n!\approx n\log n$

时间复杂度就是信息熵的度量，引入新的预设，信息熵必然减小，冒泡排序随着排序的进行，将引入新的预设，而归并排序和快速排序在排序过程中一直保持最开始的预设，保持比较操作的无关联性。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。