[ACWing] 7。混合ナップサック問題

件名アドレス：

https://www.acwing.com/problem/content/7/

持って$N$アイテムと1容量は$V$のバックパック。アイテムの3つのタイプがあります：最初の項目にのみ使用することができます$1$回（$0-1つの$バックパック）; 2番目のタイプのアイテムは無制限に使用できます（フルバックパック）; 3番目のタイプのアイテムは最大でsis_iしか使用できません$s_{私}$時間（複数のバックパック）;各ボリュームは$v_{私}$、値は$w_{私}$。アイテムの総量がバックパックの容量を超えないように、どのアイテムがバックパックにロードされているかを解決し、合計値が最大になります。最大値を出力します。

入力形式：
最初の行の2つの整数、$N$、VVスペースで区切られた$V$は、それぞれオブジェクトの数とバックパックの体積を示します。次は$N$行、1行あたり3つの整数$v_{私}、w_{私}、s_{私}$、スペースで区切って、それぞれiiを示しますアイテムの量、価値、数量$i$。$s_{私}=-1つの$手段$タイプiの$アイテムのみ使用できます$1$次；$s_{私}=0$はiiを意味しますタイプ$iの$アイテムは無制限に使用できます;$s_{私}>>0$はiiを意味します$i$タイプのアイテムはsis_iを使用できます$s_{私}$タイムズ

出力形式：
最大値を表す整数を出力します。

データ範囲：
$0<N、V\le 1000$
$0<v_{私}、w_{私}\le 1000$
$-1\le si\le 1000$

アイデアはまだ動的計画法であり、状態表現は$f\left[i\right]\left[j\right]$、これは前者iiを意味します$i$個のアイテムから選択してください。ボリュームはjjを超えません。$j$最大値、セクションiiに準拠$i$アイテムのカテゴリを選択するかどうかを選択します。以下のための$s_{私}=-1$は、使用することができます$0-1$バックパック再帰;$s_{私}=0$、完全なバックパックで再帰的に使用できます$s_{私}>>0$、複数のバックパックを再帰的に使用できますが、タイムアウトを防ぐために、ここにバイナリ最適化を追加する必要があります。参考：
1、$0-1$バックパック：https：//blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113668186;
2.完全なバックパック：https：//blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113834289;
3。複数のバイナリ最適化バックパックバージョン：https：//blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113840962。

コードは次のように表示されます。

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
int f[N];

int main() {
    
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        if (s == 0) 
            for (int j = v; j <= m; j++)
                f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        else {
    
    
        	// 0-1背包问题可以看成是物品只有1个的多重背包问题
            if (s == -1) s = 1;
            // 二进制优化
            for (int k = 1; k <= s; k *= 2) {
    
    
                for (int j = m; j >= k * v; j--) 
                    f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);
                s -= k;
            }

            if (s)
                for (int j = m; j >= s * v; j--)
                    f[j] = max(f[j], f[j - s * v] + s * w);
        }
    }    

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

時間計算量$O（V（（N-k）+{\sum }_{i=1}^{K}log{s}_{私}））$、ここで$k$はsis_iを使用できます$s_{私}$アイテムタイプの数（つまり、バイナリで最適化されるアイテムタイプの数）、スペース$O（V）$。