コンピュータグラフィックスとアニメーション

平面上のグラフは、コンピューター上に頂点のセットとして保存できます。グラフは、頂点を描画し、頂点を直線で接続することによって取得できます（GPUパイプラインでの三角形のフラグメントとラスタライズ操作）。n個の頂点がある場合。、それらは $2 \ times n$ マトリックスに格納され $バツ$ 、頂点の $Y$ 座標はマトリックスの最初の行に格納され、座標は2番目の行に格納され、連続する頂点の各ペアは直線で接続されます。

たとえば、頂点の座標をに格納するには

$（0,0）、（1,1）、（1、-1）$

の三角形の場合、各頂点に対応する数のペアを行列の列として格納します。

$T = \ begin {bmatrix} 0＆1＆1＆0 \\ 0＆1＆-1＆0 \ end {bmatrix}$

追加の頂点の $（0,0）$ コピーが $T$ 最後の列に格納されるため、前の頂点 $（1、-1）$ を引き戻すことができます $（0,0）$ 。

次の図に沿っています

$\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix} \ rightarrow \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} \ rightarrow \ begin {bmatrix} 1 \\ -1 \ end {bmatrix} \ rightarrow \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}$

次の図に示すように、軌道が描画されます。

頂点の位置を変更してグラフを再描画することにより、グラフを変換できます。変換が線形の場合、次の2つの原則を満たす変換です。

原点を変更した後も原点のままです
直線変換後も直線です

これは行列の乗算によって実現でき、そのような一連の変換でアニメーションを取得できます。

たとえば、最初の

ズームインおよびズームアウト（スケーリング）

形は

$L（\ vec {x}）= c \ vec {x}$

線形演算子は $c> 1$ 、時間が拡大されると $0 <c <1$ 、時間が短縮されると、演算子行列Lは次のように表すことができます。

$cE = \ begin {bmatrix} c＆0 \\ 0＆c \ end {bmatrix}$

以下に示すように：

二番目

反射

それがあれば $L_x$ ベクトルの変換で $\ vec {x}$ 約 $バツ$ 軸対称性は、 $L_x$ 2つの原則上記満たし、それが線形変換であり、 $L_x$ 線形演算子、及びのように表すことができる $2 \ times 2$ マトリックスA.

なぜなら

$\\ L_x（e_1）= e_1 \\ L_x（e_2）= --e_2$

など

$A = \ begin {bmatrix} 1＆0 \\ 0＆-1 \ end {bmatrix}$

同様に、y軸上の鏡像の変換 $L_y$ は次のとおりです。

$A = \ begin {bmatrix} -1＆0 \\ 0＆1 \ end {bmatrix}$

以下に示すように：

3番目のタイプ、回転

回転

Lを初期位置からベクトル $\ theta$ を回転させる変換とします。これは線形変換でもあり、上記の2つの原則を満たします。変換行列は次のとおりです。

$A = \ begin {bmatrix} cos（\ theta）＆-sin（\ theta）\\ sin（\ theta）＆cos（\ theta）\ end {bmatrix}$

最後の1つ、翻訳

翻訳

ベクトル $\ vec {x}$ の並進変換は次のようになります

$L（\ vec {x}）= \ vec {x} + \ vec {\ alpha}$

$\ vec {\ alpha}$ 定数ベクトルです。

の場合 $\ vec {\ alpha} \ neq \ vec {0}$ 、原点が移動するため、線形変換ではありません。そして $2 \ times 2$ 、行列として表現することはできません。ただし、コンピュータグラフィックスでは、すべての変換を行列の乗算として表現する必要があります。この問題を回避するために、同次座標となる新しい座標系が導入され、この新しい座標で変換を線形変換として表現できます。

同次座標系は $R ^ 2$ 、中央のベクトルを $R ^ 3$ 、最初の2つの座標が中央のベクトルと同じで、3番目の座標が1であるベクトルと等しくすることによって構築されます。

$\ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} \ rightarrow \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \ end {bmatrix}$

同次座標ベクトル $（x_1、x_2、1）^ T$ で表される点を描画する必要がある場合は、その3番目の座標を無視して、順序対を描画し $（x_1、x_2）$ ます。

上で説明した現在の変換は $3 \ times 3$ 、行列として表現する必要があります。この目的のために、単位行列の3番目の行と3番目の列に要素（拡大鏡など）を $2 \ times 2$ 追加することで、行列を $3 \ times 3$ 拡張できます。 $2 \ times 2$

$\ begin {bmatrix} 3＆0 \\ 0＆3 \ end {bmatrix}$

$3 \ times 3$ マトリックスはに置き換えられました

$\ begin {bmatrix} 3＆0＆0 \\ 0＆3＆0 \\ 0＆0＆1 \ end {bmatrix}$

注意：

$\ begin {bmatrix} 3＆0＆0 \\ 0＆3＆0 \\ 0＆0＆1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 3x_1 \\ 3x_2 \\ 1 \ end {bmatrix}$

変換が $R ^ 2$ ベクトル内のベクトルを変換する場合

$\ vec {a} = \ begin {bmatrix} 6 \\ 2 \ end {bmatrix}$

次に、行列の2つの行の3番目の列の $\ vec {\ alpha}$ 要素を要素 $3 \ times 3$ に置き換えるだけで、同次座標系で変換の行列表現を取得できます。あれは

$A \ vec {x} = \ begin {bmatrix} 1＆0＆6 \\ 0＆1＆2 \\ 0＆0＆1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} x_1 + 6 \\ x_2 + 2 \\ 1 \ end {bmatrix}$

これが包括的なレンダリングです。G2D設計のせん断変換は、実際には線形空間変換です。

終わり

コンピュータグラフィックスとアニメーション

ズームインおよびズームアウト（スケーリング）

反射

回転

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