【中国科学技術大学-形式化】パートB：述語論理

このセクションでは、Coqを使用して述語論理の定理を証明する方法を学習します。Coqでは、命題変数のような集合変数を宣言できます。

変数AB：セット

。AとBがセット変数であることを宣言する前に。次に、セットAでいくつかの述語変数PとQを宣言します。

Variables P Q: A -> Prop.

PとQは、Aから要素を取得してPropを返す関数と考えることができます。a：Aなどの要素のセットがある場合、P（a）を使用し
て、命題Pが満たされていることを示すことができます。同じメソッドを使用して、いくつかの要素に関連する属性を宣言できます。たとえば、次の方法で関係Rを導入して、AとBを接続できます。

Variable R : A -> B -> Prop.

ここで、R abはaとbの関係を表します。Rは、2つのパラメーターを持つ関数と考えることができます。

全称記号（全称記号）

Coqでは、キーワードforallは全称記号を表すために使用されます。forall x：A、P xと書くと、Aのすべての要素が命題Pを満たすことを示し、forall x：A、P x-> Q xは、Aの任意の要素が命題Pを満たし、命題Qを満たすことを意味します。

Variables A: Set.
Variables P Q: A -> Prop.
Theorem example4 :
        (forall x: A, P x -> Q x) -> (forall x: A, P x) -> forall x: A, Q x.
    Proof.
        intros H1 H2 a.
        apply H1.
        apply H2.
    Qed.

この例は、「すべてのAがプロパティPを満たし、Qも満たす」という大前提、「すべてのAがプロパティPを満たしている」、結論は「すべてのAがQを満たしている」という三段論法と見なすことができます。

これを証明するためにいくつかの手順を使用します。最初のステップでは、戦略の紹介を使用します。このステップの後、前提「a：A」と2つの仮説H1およびH2を取得します。戦略の導入により、仮説aが導入されます。A。この仮説では、すべてのターゲットでxが出現するたびにaに置き換えられるため、ターゲットはQになります。

仮説H1があります：すべてのx：A、P x-> Q xについて、Q aを証明したいので、アプリケーションH1を使用して仮説H1をP a-> Q aにインスタンス化できます。これにより、含意がなくなります。 Prove Paが必要です。

最後のステップで除去を行います。H：forall x：A、Pがわかっていて、Pを証明したい場合（xはAに置き換えられます）、H2を使用してPを証明します。

演習3： 次の述語論理命題を証明してみてください。

       ∀x.(~P(x) /\ Q(x)) -> ∀x.(P(x) -> Q(x))

演習4： 次の述語論理命題を証明してみてください。

       ∀x.(P(x) -> Q(x)) -> ∀x.~Q(x) -> ∀x.~P(x)

演習5： 次の述語論理命題を証明してみてください。

       ∀x.(P(x) /\ Q(x)) <-> (∀x.P(x) /\ ∀x.Q(x))

存在記号

Coqでは、キーワードexistsは、存在の数量化を示すために使用されます。Aの要素xが命題Pを満たすことを示すためにexistsx：A、Pxと 書くことができます。

Theorem example5 :
        (exists x: A, P x) -> (forall x: A, P x -> Q x) -> exists x: A, Q x.
    Proof.
        intros H1 H2.
        destruct H1 as [a p].
        exists a.
        apply H2.
        apply p.
    Qed.

2つの仮説H1とH2をコンテキストに導入した後、仮説と目標に存在するシンボルを処理する必要があります。存在の定量化の戦略は、接続の定量化の戦略に似ています。存在を証明する式x：Q x、xの値が存在を満たし、Qのすべてのxを置き換えると仮定できます。この定理では、H1：が存在するx：A、P xであると仮定します。これは、a：AとP：aの2つの仮説に分解できます。

戦略の存在は、ターゲット内のすべての「x」を「a」に置き換えます。これは、存在の排除です。

最後のアプリケーション操作は例4と同じです。

演習6： 次の述語論理命題を証明してみてください。

       ∃x.(~P(x) \/ Q(x)) -> ∃x.(~(P(x) /\ ~Q(x)))

演習7： 次の述語論理命題を証明してみてください。

       ∃x.(~P(x) /\ ~Q(x)) -> ∃x.~(P(x) /\ Q(x))

演習8： 次の述語論理命題を証明してみてください。

       ∃x.(P(x) \/ Q(x)) <-> (∃x.P(x) \/ ∃x.Q(x))

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