ボックスとボールの問題の8つの状況（Pythonで実装）

import math
#考虑每个小球有m个盒子可以选择放入，而一共又有n个小球，所以方案数为m^n
def different_ball_different_box_empty(ball,box):
    return(box**ball)

#考虑插板法：将n个小球排成一排，将m−1块板子插在小球之间的空隙中，由于一共有n−1个缝隙，所以答案为Cm−1n−1。
def same_ball_different_box_no_empty(ball,box):
    return(math.factorial(ball-1)//(math.factorial(box-1)*math.factorial(ball-box)))

#考虑插板后的结果，是m−1块板子和n个小球一共n+m−1个物体排成一排，考虑这些物体中有m−1个板子即是一种方案，所以答案为Cm−1n+m−1。
def same_ball_different_box_empty(ball,box):
    return(math.factorial(ball+box-1)//(math.factorial(box-1)*math.factorial(ball)))

#考虑递推，设F[n][m]表示将n个小球放入m个盒子中的方案数。由于小球互不相同，考虑第i个小球的方法，可以是放到前i−1个小球已经放过的盒子中，也可以放到一个新盒子中。
#假设前i−1个小球已经占用了j个盒子，由于小球互不相同，故放了小球的盒子也应该被视为互不相同的，所以将第i个小球放入这些盒子共有j种不同方案。如果将第i个小球放入一个新盒子，由于盒子都是相同的，所以只有一种方案。
#综上所述，最后的递推式为F[i][j]=j⋅F[i−1][j]+F[i−1][j−1]。
def different_ball_same_box_no_empty(ball,box):
    if(box==1):
        return(1)#所有球只能放在一个盒子里
    elif(ball==box):
        return(1)#注意到盒子不能为空，所以只能一个盒子放一个球
    else:
        return(different_ball_same_box_no_empty(ball-1,box-1)+box*different_ball_same_box_no_empty(ball-1,box))

#我们只需要在前一种情况的基础上，对盒子做一个全排列即可
def different_ball_different_box_no_empty(ball,box):
    return(math.factorial(box)*different_ball_same_box_no_empty(ball,box))

#我们只需要在different_ball_same_box_no_empty的基础上，枚举一下使用了多少个盒子即可
def different_ball_same_box_empty(ball,box):
    s=0
    for m in range(1,box+1):
        s+=different_ball_same_box_no_empty(ball,m)
    return s

#由于这种情况下小球都是相同的，所以我们不能再用放“第几个”小球这样的顺序和思路来考虑问题了。换一个思路，假设初始时我们既没有盒子也没有小球，考虑用如下两个操作来构造出所有方案：增加一个全新的盒子，或给所有已有的盒子中各放入一个小球。
#容易知道，任意一种合法的方案都可以通过上述两种操作构造出来，且构造方式是唯一的。设G[n][m]表示将n个小球放入m个盒子中的方案数，由两种操作的描述即可得递推式G[i][j]=G[i][j−1]+G[i−j][j]。
def same_ball_same_box_empty(ball,box):
    if(ball==0 or box==1):
        return(1)
    elif(ball<box):
        return(same_ball_same_box_empty(ball,ball))
    else:
        return(same_ball_same_box_empty(ball,box-1)+same_ball_same_box_empty(ball-box,box))
    
#参考上一种情况，只需事先给每个盒子放入一个球即可，总方案数为G[n−m][m]。
def same_ball_same_box_no_empty(ball,box):
    return same_ball_same_box_empty(ball-box,box)

def main():
    print('请选择模式：')
    print('输入小球状态——“相同：1”\“不相同：0”')
    str1=input()
    if(str1=='1'):
        a=True
    elif(str1=='0'):
        a=False
    print('输入盒子状态——“相同：1”\“不相同：0”')
    str2=input()
    if(str2=='1'):
        b=True
    elif(str2=='0'):
        b=False
    print('输入盒子状态——“允许为空：1”\“不允许为空：0”')
    str3=input()
    if(str3=='1'):
        c=True
    elif(str3=='0'):
        c=False
    ball=int(input('请输入小球的个数：'))
    box=int(input('请输入盒子的个数：'))
    print('方案数：')
    if((not a) and (not b) and c ):
        print('%d'%different_ball_different_box_empty(ball,box))
    elif(a and (not b) and (not c)):
        print('%d'%same_ball_different_box_no_empty(ball,box))
    elif(a and (not b) and c):
        print('%d'%same_ball_different_box_empty(ball,box))
    elif((not a) and b and (not c)):
        print('%d'%different_ball_same_box_no_empty(ball,box))
    elif((not a) and (not b) and (not c)):
        print('%d'%different_ball_different_box_no_empty(ball,box))
    elif((not a) and b and c):
        print('%d'%different_ball_same_box_empty(ball,box))
    elif(a and b and c):
        print('%d'%same_ball_same_box_empty(ball,box))
    else:
        print('%d'%same_ball_same_box_no_empty(ball,box))

if __name__ =='__main__':
    main()
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ボックスとボールの問題の8つの状況（Pythonで実装）

ボックスとボールの問題の8つの状況（Pythonで実装）

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