時間的頻度と時間の複雑さ＆空間の複雑さ
計算アルゴリズムの実行時間
- 時間的頻度：アルゴリズムによって費やされる時間は、アルゴリズム内の文の実行数に比例します。アルゴリズム内の文の実行数は、文頻度または時間頻度と呼ばれます。時間頻度は、T（n）で表されます。
- 2つのアルゴリズムによって計算された、1から100までのすべての数値の合計を計算します。
int total = 0;
int end = 100;
# 使用 for循环计算
for (i = 1; i <= end; i++) {
total += i;
}
- 以上算法的时间频度是 T(n)=n+1
# 不通过循环, 而直接计算
total = (1 + end) * end / 2;
- 以上算法的时间频度是 T(n)=1
- nが大きくなると、次の3つの特性があります（無視できる3つの項目）。
- 一定期間
（1）nが増加すると、2n + 20と2nの実行時間間隔は無限に近いため、20は無視できます。
（2）nが増加すると、実行時間間隔は無限に近くなるため、10は無視できます。
- 下位用語
（1）2n 2 + 3n +10と2n2は、nが大きくなると無限に近づくため、3n + 10は無視できます。
（2）n 2 + 5n +20とn2は、nが大きくなると大きくなります。実行時間間隔は無限に近く、5n +20は無視できます
- 係数
（1）nが大きくなると、5n ^ 2 + 7nと3n ^ 2 + 2nの実行時間間隔は無限に近くなり、この時点では5と3は無視できます。
（2）ただし、n ^ 3 + 5nと6n ^ 3 + 4n実行時間間隔が分離され、いくつのパワーを見つけることができるかが重要です
時間の複雑さ
- アルゴリズムの実行速度は、主に時間の複雑さに依存します
- 一般に、アルゴリズムの基本操作ステートメントの繰り返し実行の数は、補助関数f（n）がある場合、T（n）で表される問題スケールnの関数であるため、nが無限大に近づくと、 T（n）/ f（n）の限界値はゼロに等しくない定数であり、f（n）はT（n）と同じオーダーの大きさの関数です。T（n）= O（f（n））、Oとして示されます。 （f（n））は、アルゴリズムの漸進的な時間の複雑さであり、時間の複雑さと呼ばれます
- 例：T（n）= n2 + 7n + 6およびT（n）= 3n2 + 2n + 2、それらのT（n）は異なりますが、時間の複雑さは同じです。どちらもO（n2）です。
- 計算方法：
（1）実行時間内のすべての加法定数を定数1に置き換えますT（n）= n2 + 7n + 6→T（n）= n2 + 7n + 1
（2）変更された実行周波数関数では、最上位項を維持するT（n）= n2 + 7n + 1→T（n）= n2
（3）最上位項の係数を削除するT（n）= n2→T（n）= n2→O（n2）
- 小さいものから大きいものまで、8つの一般的な時間の複雑さ：
- 一定次数O（1）
- 対数次数O（log2n）
- 線形次数O（n）
- 線形対数次数O（nlog2n）
- 二乗次数O（n ^ 2）
- キュービックオーダーO（n ^ 3）
- k次O（n ^ k）
- 指数次数O（2 ^ n）
- nの連続的な増加に伴い、上記の時間の複雑さは増加し続け、アルゴリズムの実行効率はますます低くなります。
一定次数O（1）
- コードの行数に関係なく、ループなどの複雑な構造がある限り、このコードの時間の複雑さはO（1）です。
int a = 1;
int b = 2;
++a;
b++;
int c = a + b;
- 上記のコードを実行すると、特定の変数の増加に伴って消費時間が増加しないため、このタイプのコードの行数に関係なく、O（1）を使用して時間の複雑さを表すことができます。
対数次数O（log2n）
int a = 1;
while (a < n) {
a = a * 2;
}
- 上記のコードのwhileは、ループするたびにaを2倍し、その結果をaに割り当てます。したがって、nのサイズにますます近づきます。ループがx回行われた後、aがn以上であるとすると、ループはこの時点で終了します。 2のx乗はn（x = log2n）に等しくなります。つまり、log2n回ループした後にループが終了します。
- O（log2n）では、2が底辺、nが真の数であり、底辺を変更できます。2を3 a = a * 3に変更すると、O（log3n）としてマークできます。
線形次数O（n）
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
i++;
}
- 上記のコードのforループ内のコードはn回実行されるため、消費する時間はnの変化に応じて変化するため、このタイプのコードはO（n）で表すことができます。
線形対数次数O（nlog2n）
- 線形対数次数O（nlogN）は、O（logn）の時間の複雑さでコードをN回ループするアルゴリズムです。つまり、線形次数と対数次数のネストされたn * O（logN）です。
for (int m =1; m < n; m++) {
i = 1;
while (i < n) {
i = i * 2;
}
}
二乗次数O（n2）
- 二乗次数は、2レベルのnサイクル、つまり2レベルの線形次数、つまりO（n²）でネストされます。いずれかのサイクルのnをmに変更すると、その時間の複雑さはO（mn）になります。
int m = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j =1; j <= n; j++) {
m++;
}
}
キュービックオーダーO（n ^ 3）
- 3次順序は、3レベルのnループでネストされます
k次O（n ^ k）
- k次はnサイクルのネストされたkレベルです
指数次数O（2 ^ n）
public int abc(int n) {
if (n <= 1) {
return 1;
} else {
return abc(n - 1) + abc(n - 2);
}
}
- T（n）= T（n-1）+ T（n-2）+1、ここで1を追加すると1回の実行を意味します
- T（n）= T（n-1）+ T（n-2）はFibonacciシーケンス（Fibonacciシーケンス、ゴールデンセクションシーケンス）であり、Mathematical Induction（MI）によって証明できます。マークを付けることができます。 O（（5/3）^ n）、O（2 ^ n）に簡略化
スペースの複雑さ
- スペースの複雑さは、アルゴリズムが操作中に一時的に占有するストレージスペースの量の尺度です。クイックソート、マージソートなど、nが大きくなると、一部のアルゴリズムはより多くのストレージスペースを占有します。
* 目前趋势上, 算法主要关注的是时间复杂度. 还有市面上的 如 缓存系统, 基数排序算法等也都是空间换了时间, 提升了程序的执行速度
役に立ったら気に入ってください〜ありがとうございます!!