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題名
石の山がn個あり、それぞれの石の山li {l_i}l私現在、2人が交代でゲームをプレイしています。ゲームのルールは次のとおりです。
- 現在のラウンドで、石の山がすべて1の場合、プレイヤーはゲームに負けます。
- 番号Lの石の山があると仮定すると、競技者は、2以上のLの係数Kを新しい山の数として選択し、山をKの山に分割することができます。各山はLK {\ frac {L} {K}}KL石。
ゲームの終わりに、石の各山はすべて1であり、1人が失敗する必要があります。
最初のプレイヤーが勝つかどうかを尋ねます。「W」を出力する場合は「L」を出力します。
回答
この質問は明らかにNimゲームの修正版です。この種の問題の解決策はSG関数にすぎないので、最初に後続の状態のセットを分析してから、SG関数を試して法則を見つけることができます。
明らかに、数Lの後続の状態の数は、2以上の因子の数であり、解は分割Nimに似ています。
係数をkとすると、各州にはLK {\ frac {L} {K}}がありますKLK、状態の値はLK {\ frac {L} {K}}KLSG（K）はXORされます。
各状態にはSG値があり、SGの定理は、SG（L）は後続の状態のNim和であると結論付けています。
SG機能をメモして、テーブルにヒットするだけです。
コードを見る
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<vector>
#include<unordered_set>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=4e4+10;
const int maxm=1e4+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
int n,m;
int f[maxm];
int sg(int x){
if(f[x]!=-1) return f[x];
unordered_set<int> S;
vector<int> q;
for(ll i=2;i<=sqrt(x);++i){
if(x%i==0){
q.push_back(i);
if(i*i!=x) q.push_back(x/i);
}
}
q.push_back(x);
for(int i=0;i<q.size();++i)
{
if(q[i]%2==0) S.insert(0);
else S.insert(sg(x/q[i]));
}
for(int i=0;;++i){
if(!S.count(i)) return f[x] = i;
}
}
int main(void)
{
memset(f, -1, sizeof(f));
f[1]=0;
for(int i=1;i<=30;i++) cout << i << ' ' << sg(i) << " ";
}
この質問の難しさはパターンを見つけることにあると思います
。ゲームでパターンを見つけられなかったからです。不快〜
今回の法則は一意分解によって得られます。LのSG値は、Lの一意分解後の2を除く素因数の累乗の合計です。偶数+1の場合、奇数は追加されません。
Lの上限は1e9なので、1 e 9 {\ sqrt {1e9}}を前処理できます1 e 9内の素数、そして一意に分解して答えを得ます。
コード
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<iomanip>
#include<list>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#include<unordered_set>
#include<unordered_map>
using namespace std;
//extern "C"{void *__dso_handle=0;}
typedef long long ll;
typedef long double ld;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define lowbit(x) x&-x
const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const ll mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=4e4+10;
const int maxm=1e4+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
int n,m;
int prime[maxn+10];
void getprime()
{
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
if(!prime[i]) prime[++prime[0]]=i;
for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=maxn;j++)
{
prime[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
}
int SG(int x)
{
int res=0;
if(x%2==0) res=1;
int tmp=x,cnt=0;
for(int i=1;i<=prime[0];i++)
{
if(tmp%prime[i]==0)
{
while(tmp%prime[i]==0)
{
tmp/=prime[i];
if(prime[i]!=2) cnt++;
}
}
if(tmp==1) break;
}
if(tmp!=1 && tmp!=2) cnt++;
return cnt+res;
}
int main(void)
{
getprime();
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
int res = 0;
for(int i=0;i<n;++i){
int x;
cin>>x;
res ^= SG(x);
}
if(res) printf("W\n");
else printf("L\n");
}
}