組み合わせの数を計算しますΣ（i = 0、n）i * C（n、i）

トピック：

組み合わせ論における同一性の証明：1.Σ（i = 0、n）i ^ 2 * C（n、i）= n *（n + 1）* 2 ^（n-2）;
別のものがあり：Σ（ i = 0、n）（1 /（i + 1）（i + 2））C（n、i）=（2 ^（n + 2）-n-3）/（（n + 1）（n + 2））トラブルの詳細説明、

回答：

1つ目は、（1 + x）^ n =Σ（i = 0、n）C（n、i）* x ^ iを使用して両側のxを導出し、次を取得します：
n *（1 + x）^（n -1）=Σ（i = 1、n）i * C（n、i）* x ^（i-1）。両側にxを掛けて、
n * x *（1 + x）^（n- 1）=Σ（i = 1、n）i * C（n、i）* x ^ i。両側のxの導関数を取り、次を取得します：
n *（1 + x）^（n-1）+ n * x *（n-1）*（1 + x）^（n-2）=Σ（i = 1、n）i ^ 2 * C（n、i）* x ^（i-1）。x = 1とします、並べ替え、証明を取得します
。2つ目は、Aを使用します：Σ（i = 0、n）C（n、i）= 2 ^ nおよびB：Σ（i = 1、n）i * C（n、i） = n * 2 ^（n-1）。
左式=Σ（i = 0、n）（1 /（i + 1）-1 /（i + 2））* C（n、i）
=（1- 1/2）* C（n、0）+（1 / 2-1 / 3）* C（n、1）+（1 / 3-1 / 4）* C（n、2）+ ... + （1 / n-1 /（n + 1））* C（n、n-1）+（1 /（n + 1）-1 /（n + 2））* C（n、n）
= C（ n、0）-（1 /（n + 2））* C（n、n）+（1/2）*（C（n、1）-C（n、0））+（1/3）* （C（n、2）-C（n、1））+ ... +（1 /（n + 1））*（C（n、n）-（n、n-1））
= 1-1 /（n + 2）+Σ（i = 1、n）（1 /（i + 1））*（C（n、i）-C（n、i-1））
=（n + 1）/（ n + 2）+Σ（1 /（i + 1））*（n！/（i！*（ni）！）-n！/（（i-1）！*（n-i + 1）！） ）
=（n + 1）/（n + 2）+Σ（1 /（i + 1））*（（ni-1-i）* n！）/（i！*（n-i + 1）！ ）
=（n + 1）/（n + 2）+Σ（（n-2 * i + 1）/（n + 1）*（n + 2））*（（n + 2）！/（（i + 1）！*（n-i + 1）！））
=（n + 1）/（n + 2）+1 /（（n + 1）（n + 2））Σ（n + 3-2 * i -2）* C（n + 2、i + 1）
=（n + 1）/（n + 2）+（n + 3）/（（n + 1）*（n + 2））ΣC（n + 2、i + 1）-2 /（（n + 1）*（n + 2））Σ（i + 1）* C（n + 2、i + 1）
Aを使用して2番目の項を簡略化
=（n +1）/（n + 2）+（（n + 3）*（2 ^（n + 2）-n-4））/（（n + 1）*（n + 2））-2 /（（ n + 1）*（n + 2））Σ（i = 2、n + 1）i * C（n + 2、i）
Bを使用して、3番目の項を簡略化します
=（n + 1）/（n + 2） +（（n + 3）*（2 ^（n + 2）-n-4））/（（n + 1）*（n + 2））-（2 *（（n + 2）* 2 ^（ n + 1）-2 * n-4））/（（n + 1）*（n + 2））
次に少し単純化すると、証明されます。

この質問では、図のボックスの場合、x = 1を設定できます。これは、係数i ^ 2を取得する必要がないためです。

Σ（i = 0、n）i * C（n、i）= n * 2 ^（n-1）を取得するのは簡単です。それがアルゴリズムの問​​題である場合は、2 ^（n-1）の高速パワーを使用できます

#include<iostream>

using namespace std;
int mm=1000000007;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    int m=n-1;
    long long a=2,res=1;
    while(m)
    {
        if (m&1) res=res*a%mm;
        a=a*a%mm;
        m=m>>1;
    }
    res=res*n%mm;
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}