状態では、既にコレクション要素間の関係を探るために、製品セットを知っています。
I.の同値関係
[定義\（3.1 \） ]
。設け\（A、B \）集合、積集合として\（A \倍B \）サブセット（R＆LT \）は、\と呼ばれる\（A \）に\（B \）、関係の特に、彼は言った\（\回\を）のサブセットです\（\）の関係。場合\（Rにおける（A、B）\ \）と呼ばれる（B \）\と\（R \）で表される関連する、\（ARB \） 。
[定義\（3.2 \） ]
。Bが配置（R＆LT \）\である\（A \） に関係する場合\（R＆LT \）以下の条件を満足します。
b.a.自反性：若 \(a\in A\)，有 \((a,a)\in R\).
b.b.对称性：若 \((a,b)\in R\)，有 \((b,a)\in R\).
性传递BC：若\（（a、b）は、（B、C）\ R \）で、有\（（C）\ R \で）。
我々は呼んで\（R \）です\（A \）上の同値関係、一般的に使用される\（\シム\） 、今後の言った\（ARBが\）で示さ\（A \ SIM bを\） 。
ヒント：\（R＆LT \）は、である（\ A \回B）\プラスように設けセットなどの制約の数、\（A、B \）、\ （A \ B =タイムズ\ {（X、Y）| X \ B \で、Y \}で\）、\ （R＆LT \）式のように書くことができる\（R = \ {（X \倍B、P（X、Y）で\、Y）\} \） 、ここで\（P（X、Y） \） の\（R＆LT \）制約。
実施例1に提供される\（D \）である\（デカルトである\）平面定義：\（D \）の二点\（\シムB \） 場合にのみ （B \）\原点からの距離が等しいです。\（P（B） \） 、すなわち\（B \）原点等しい距離に、これは同値関係を確認することは困難ではありません。
例えば2組\（H \） ：、すべての人間の集合で定義されている\（H \）二つの要素の\（\シムB \） 場合にのみ （B \）\同性の。\（P（B） \） 、すなわち\（B \）同性のも等価関係です。
ヒント：として、ifとのみなし分類（必要十分）の場合のみ、確認する必要が話し合うこの定義に\（R＆LTは、\）と同等の条件であることができます。
II。パーティション
。配置されている\（\ SIM \）設定されている（A \）\上の同値関係は、（A \）\の\（A \）要素内、および\（A \）に（\ SIM \ ）\すべての要素の等価\（\）サブセットと称する）\（\中で等価クラス）（[A] \ \図。
Bにおける実施例1 \（A \）等価クラスでの（A \）\例2における円の原点と同一中心上の全ての点からなる集合\（H \） 2つのみの他方を含みますそれぞれ、男性と女性のための価格カテゴリ。表現の違いに注意してください。
C。私は2つの等価クラス一致した場合、確かに交わらない、互いに異なる要素のセットの中に、注意してください。すなわち、それぞれ独立して各等価クラスの、等価クラス二十から二交差は空で、全体セットである\（A \） 。
。Eしたがって、私たちは以下を参照してください。
セットEAは上同値関係を定義した場合、セットは、互いに素のサブセットに分割してもよいです。
EBは、これらの芳香族セットのサブセットのためのパーティションと呼ばれる互いに素の集合と、のサブセット場合表現されます。
実際には、我々は次のような命題を導き出すことができます。
[命題\（3.1 \） ]
1セット\（R＆LT \）設定されている（A \）\上の同値関係、\（R＆LT \）を判断する\（A \）レチクルに\（P \） 、及びにより\（P \）同値関係を導出する\（R \） 。
与えられた2 \（A \）レチクルに\（P \） 、さらに導出することができる\（A \）上の同値関係を（R＆LT \）\、によって\（R＆LT \）決定パーティションであること、\（P \） 。
省略証明（すべての後に、これはただのノートです）。
III。商セット
。設け\（\ SIM \）セットである\（A \）上の同値関係、\（A \）グループセットのすべての同値クラスが呼び出される\（A \）で\（\ SIM \）呼ばれる商セット、（\ / \ SIM \）または\（\上線A \） 。
B。場合（A \でA \）\次に、\（[A] \）として\（\上線A \）要素は、通常と呼ばれる（\上線A \）\。