En supposant qu'il y a M antennes d'émission, on peut correspondre à un vecteur pour chaque angle d'émission :
[ ej 0 ψ ej 2 ψ . . . ej ( M − 1 ) ψ ] − − − Formule ( 3 ) [e^{j0 \psi }\;\;e^{j2\psi}\;\;...\;\;e^{j(M-1)\psi}]\;\;---Formule (3)[ ej 0 pej 2 ψ...ej ( M - 1 ) ψ ]−−−Officiel ( 3 )
Nous savons que ce qui précède est un vecteur de dimension M, qui peut être considéré comme un vecteur dans l'espace de dimension M. Puisqu'il y a une infinité d'angles à choisir, une infinité de vecteurs peuvent être générés. Puisqu'il s'agit d'un espace de dimension M , on devrait pouvoir trouver M vecteurs orthogonaux constituant une base, et tous les autres vecteurs peuvent être générés par combinaison linéaire de M vecteurs dans cette base.
Donc, la question est, sommes-nous assurés de trouver M vecteurs orthogonaux ? Bien sûr, s'il n'y a pas de restriction, il doit y avoir M vecteurs orthogonaux formant une base dans l'espace de dimension M. Cependant, si nous imposons des contraintes sur les vecteurs orthogonaux et ne pouvons pas les choisir arbitrairement, il peut ne pas être possible de les trouver.
La condition que nous ajoutons est que le vecteur de la forme (3), ψ \psiLorsque ψ prend des valeurs différentes, des vecteurs différents sont obtenus. Dans ces conditions, les deux vecteurs sont orthogonaux, nécessitant deuxψ \psiLa valeur de ψ diffère de 2 π / M 2\pi/Mqui est un multiple entier non nul2π / M. _ _ On peut montrer (voir annexe) que ces deux vecteurs sont orthogonaux.
Si le premier vecteur, on prend ψ = 0 \psi=0p=0
Le deuxième vecteur prend ψ = 2 π / M \psi=2\pi/Mp=2π / M _
Et ainsi de suite, le dernier vecteur prend
ψ = 2 π M ∗ ( M − 1 ) \psi=\frac{2\pi}{M} * (M-1)p=M14h _∗( M−1 )
Par conséquent, ψ \psiLa plage de valeurs de ψ doit être supérieure ou égale à2 π 2\pi2 π , sinon, M vecteurs orthogonaux ne peuvent pas être obtenus.
D'après la formule (2), nous pouvons voir queψ \psiLa largeur de plage de ψ
est 2 π d λ ∗ 2 \frac{2\pi d}{\lambda} * 2je2 π ré∗2
Soit :
2 π d λ ∗ 2 ≥ 2 π \frac{2\pi d}{\lambda}*2\geq 2\pije2 π ré∗2≥14h _
则 :
d λ ≥ 1 2 \frac{d}{\lambda}\geq \frac{1}{2}jeré≥21
Sur la base de la dérivation ci-dessus, alors :
d λ = 1 2 \frac{d}{\lambda}= \frac{1}{2}jeré=21
Et les M vecteurs orthogonaux sont :
Il en résulte une base constituée de M vecteurs orthogonaux.
如果
d λ < 1 2 \frac{d}{\lambda}< \frac{1}{2}jeré<21
Alors l'espace de dimension M ne peut pas être formé, et il deviendra un sous-espace de l'espace de dimension M (c'est un peu abstrait, et je ne sais pas comment le rendre plus clair). frapper", il ne peut pas Faire un "point où frapper" très précis.
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
N = 32 #天线数量
theta = np.arange(-np.pi,np.pi-0.0000001,0.01)
d_vs_lambda = 0.01 # 请修改这个值，即使用不同的 d/lambda
psi = 2 * np.pi * d_vs_lambda * np.cos(theta)
r = np.abs(np.sin(N * psi/2)/np.sin(psi/2))/N
plt.figure()
plt.polar(theta,r)
plt.show()
plt.figure()
plt.plot(theta/np.pi,r)
plt.ylim([0,1.1])
plt.show()
Modifiez la valeur de la variable d_vs_lambda dans le programme et diminuez progressivement de 0,5 pour voir l'effet :
Cela équivaut à une seule antenne, qui rayonne en effet des signaux vers l'environnement.
Dans l'espace à M dimensions, si M vecteurs orthogonaux satisfaisant aux conditions ci-dessus ne peuvent pas être trouvés pour former une base, alors c'est la perte de précision de "pointer où frapper" dans l'espace, qui est entièrement expliquée dans la vidéo.
Libre : Spécifiez l'infinitésimal∑
n = 0 M − 1 e − j ψ nej ( ψ + 2 π M k ) n = ∑ n = 0 M − 1 ej 2 π M kn \sum_{n=0}^{M - 1}e^{-j\psi n}e^{j(\psi+\frac{2\pi}{M}k)n}=\sum_{n=0}^{M-1}e^{ j \frac{2\pi}{M}kn}n = 0∑M − 1e− j ψ n ej ( ψ +M14h _k ) n=n = 0∑M − 1ejM14h _kn
Il peut être considéré comme sommant en un cycle, et le résultat est 0.
Remarque : les nombres complexes sont orthogonaux, <A prend le conjugué, B>=0, alors A et B sont orthogonaux.