Explicación detallada de la lógica de predicados.

Para resolver las deficiencias de la lógica proposicional , se introdujo la lógica de predicados.

La lógica de predicados analiza más a fondo proposiciones simples para descubrir la relación entre los objetos descritos y los objetos.
Por ejemplo: " $2$ es un número par" se puede generalizar a "$x$ es un número par”

predicado

Constantes individuales y variables individuales.

constante individual

Los símbolos utilizados para representar individuos específicos o específicos se denominan constantes individuales , comúnmente se usan letras minúsculas $un,segundo,c,\cdots$ significa

Por ejemplo: " 2 22 2en "$2\; es\; un\; número\; par"$$2$ es la constante individual

variables individuales

definición

Las variables utilizadas para representar a cualquier individuo se llaman variables individuales , comúnmente se usan letras minúsculas $x,y,z,\cdots$ significa

Por ejemplo: " xxxxen "$x\; es\; un\; número\; par"$$x$ es la variable individual

área de estudio

El rango de valores de una variable individual se denomina dominio del discurso o dominio individual de la variable.

dominio individual total

El conjunto de todos los individuos que pueden ser representados por todas las variables individuales se llama dominio individual total.

definición

Un patrón que describe las características de un solo individuo (predicado unario) o la relación entre múltiples individuos (múltiples predicados) se llama predicado
, como por ejemplo " $\cdots$ es un número par" es el predicado

1. Un predicado unario
   representa las características de un individuo, representado por una expresión que consta de una letra mayúscula que expresa las características individuales y una constante o variable individual, como $P\left(a\right)$、$P\left(x\right)$
2. El predicado binario
   representa la relación entre dos individuos, expresada por una expresión compuesta por una letra mayúscula que expresa la relación entre los dos individuos y dos constantes o variables individuales, como $P(x,y)$
3. $n-$ predicado ario
   expresannLa relación entre$n$ individuos se expresa como nLas letras mayúsculas y nn$de\; la\; relación\; entre\; n$ individuos$Una\; expresión\; compuesta\; de\; n$ constantes o variables individuales, como$P(x_{},X_{},\cdots ,X_{})$

El predicado puede considerarse como una función proposicional , asumiendo nnPredicado$n$$P(x_{},X_{},\cdots ,X_{})$，其中$X_{}\in D_{},X_{}\in D_{},\cdots ,X_{}\in D_{}$，则$P(x_{},X_{},\cdots ,X_{})$ se puede considerar que comienza desde el conjunto$D_{}\times D_{}\times \cdots \times D_{}$al conjunto $\{T,$El mapeo de$F$$\}$
es como se muestra a continuación:

Se puede ver en la definición de predicado que predicado $P(x_{},X_{},\cdots ,X_{})$ es solo una función, por lo que no tiene valores verdaderos o falsos. Sólo sustituyendo cada variable individual en la constante individual determinada en el dominio individual correspondiente podemos obtener una proposición con un valor verdadero o falso definido.

Las proposiciones pueden verse como formas especiales de predicados
cuando $norte=0$ , predicado$P$ degenera en una proposición

predicado característico

Antes de comprender los predicados característicos, es necesario comprender la cuantificación.

introducción

Por ejemplo, las proposiciones: "Todas las personas son mortales", "Algunas personas no temen a la muerte",
supongamos $H\left(x\right)$ significa "$x$ es una persona",$D\left(x\right)$ significa "$x$ es mortal",$F\left(x\right)$ significa "$x$ no le teme a la muerte"
se simbolizará a continuación

• Si el dominio de discusión son todos los seres humanos, el resultado simbólico es $\forall xD\left(x\right)$、$\exists xF\left(x\right)\_\_$
• Si el dominio de discusión es el dominio de todos los individuos, el resultado simbólico es
  (1) "Todos somos mortales", que puede expresarse de manera equivalente como "Para cualquier $x$ , si$x$ es una persona, entonces$x$ es mortal"
  , por lo que el resultado simbólico es$\forall x\left[H\right(x)\to D(x)]$
  (2) "Algunas personas no le temen a la muerte" se puede expresar de manera equivalente como "hay$x$ ,$x$ es una persona, y$x$ no le teme a la muerte"
  , por lo que el resultado simbólico es$\exists x\left[H\right(x)\wedge D(x)]$

Para el ejemplo anterior, $H\left(x\right)$ se llama predicado característico y se utiliza para calificar$x$ es una persona

definición

Los predicados característicos se utilizan para limitar el dominio del discurso a individuos que satisfacen el predicado.

regla

Al agregar predicados característicos a fórmulas, se deben cumplir las dos reglas siguientes:

• Para cuantificadores universales, el predicado característico se añade como antecedente del condicional.
• Para los cuantificadores existenciales, el predicado característico se agrega como la conjunción de la conjunción

cuantificador

Sólo los predicados no pueden expresar proposiciones como "todas las personas pueden respirar" y "algunos números racionales son números naturales". Es necesario introducir cuantificadores.

tipo

cuantificador universal

Expresión china "para cualquier $x$ ” se puede escribir como$\forall x$ , donde$\forall$ se llamacuantificador universal,$x$ se llama cuantificador$\forall$ variable deacciónovariable de guía

Por ejemplo: $\forall xP\left(x\right)$ significa “para todo$x$ tiene$P\left(x\right)$ ”

cuantificador existencial

Expresión china "hay un cierto $x$ ” se puede escribir como$\exists x$ , donde$\exists$ se llamacuantificador existencial,$x$ se llama cuantificador$\exists$ variable deacciónovariable de orientación

Ejemplo: $\exists xP\left(x\right)$ significa “hay un cierto$x$ satisface$P\left(x\right)$ ”

Cuantificar

definición

En el predicado $P\left(x\right)$ está precedido por el cuantificador universal$\forall x$ o cuantificador existencial$\exists x$ se llamavariable individual$x$ se cuantifica mediante un cuantificador universal o un cuantificador existencial, si es$P$ especifica el significado específico, que es$x$ especifica el dominio de discusión, entonces$\forall xP\left(x\right)$或$\exists xP\left(x\right)$ se convierte en una proposición con valor verdadero o falso

El valor de verdad de la proposición obtenido después de la cuantificación está relacionado con el dominio del discurso de las variables individuales, como $\exists x(x\_=3)$ ; verdadero si el dominio del discurso son los números naturales, falso si el dominio del discurso son los enteros negativos. Es
una expresión unificada. Si no se da ninguna explicación, por defecto se utiliza el dominio individual total.

Forma proposicional cuantificada

Si el dominio del discurso es un conjunto finito, entonces la cuantificación de una determinada variable individual puede expresarse en forma de proposición.

设论域$D=\{{un}_{},a_{},\cdots ,a_{}\}$ , entonces hay

• $\forall xP\left(x\right)\_\_\iff P\left({un}_{}\right)\wedge P\left({un}_{}\right)\wedge \cdots \wedge P\left({un}_{}\right)$
• $\exists xP\left(x\right)\_\_\iff P\left({un}_{}\right)\vee P\left({un}_{}\right)\vee \cdots \vee P\left({un}_{}\right)$

Jurisdicción

Antes de comprender el alcance de los cuantificadores, primero debe comprender la fórmula del predicado.

definición

En la fórmula de predicado, el alcance del cuantificador se denomina alcance del cuantificador , también conocido como alcance del cuantificador.

• Si al cuantificador le sigue solo una fórmula de predicado atómico, el alcance del cuantificador es la fórmula de predicado atómico,
  como por ejemplo: $\forall$ x en$\forall \; x$$P$$($$x$$)$$\forall$ El dominio de$x$$P\left(x\right)$
• Si el cuantificador va seguido de corchetes, el área representada por los corchetes es el alcance del cuantificador.
  Por ejemplo: $\exists x\left(P\right(x)\_\to$∃ x \existe xen$Q$$($$x$$))$El dominio de$\exists$$x$$\left(P\right(x)\to Q(x))$
• Si aparecen varios cuantificadores uno al lado del otro, el siguiente cuantificador y su alcance son el alcance del cuantificador anterior.
  Por ejemplo: $\forall x\exists yP(x,y)$中的$\exists$ El dominio de$y$$P(x,y)$；∀ x \forall xEl dominio de$\forall$$x$$\exists yP(x,y)$

aparece la restricción

definición

En el cuantificador $\forall x$或$\exists xx$ dentro de la jurisdicción dexTodas las ocurrencias de$x$ se llaman ocurrencias restringidas.

variables de restricción

Las variables individuales en las que se produce una restricción se denominan variables de restricción.

variable libre

Las variables individuales que no aparecen como restricciones se denominan variables libres.

Por ejemplo: fórmula de predicado $\forall xP(x,\_\_$xxen$y$$)$$x$ es la variable de restricción;$y$ variable libre

fórmula de predicado

fórmula atómica

Un predicado único sin conectivos ni cuantificadores se denomina fórmula atómica
del cálculo de predicados , como por ejemplo: $P(x_{},X_{},\cdots ,X_{})(n.\ge 0)$

Porque la proposición es el predicado $norte=Una\; forma\; especial\; de\; 0$ , de modo que las constantes proposicionales individuales y las variables proposicionales sean fórmulas atómicas del cálculo de predicados.

definición

Fórmula de predicado , también conocida como fórmula bien formada de lógica de predicados , la siguiente es su definición recursiva

1. Cláusula básica: las fórmulas atómicas son fórmulas de predicados
2. cláusula de inducción
   • AA joven$A$ es una fórmula predicada, entonces$\neg A$ es una fórmula predicada
   • Joven $un,B$ es una fórmula de predicado, entonces$A\wedge B$、$A\vee B$、$A\to B$、$A\leftrightarrow B$ es la fórmula del predicado
   • AA joven$A$ es una fórmula predicada yAAVariables individualesxx$en\; A$$x$ no está cuantificado por el cuantificador, entonces después de la cuantificación$\forall xA\left(x\right)$和$\exists xA\left(x\right)$ es una fórmula cuantificadora
3. Cláusula de minimalidad: solo las expresiones generadas al aplicar la cláusula 1 y la cláusula 2 un número limitado de veces son fórmulas de predicado.

Por definición, todas las fórmulas proposicionales son fórmulas de predicados.

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$B$ es la fórmula predicadaAALa subfórmulade$A$ se define de la siguiente manera

• $B$ esAASegmento continuo de$A$
• $B$ es la fórmula del predicado

Asignación

Asignar un valor a una fórmula de predicado requiere completar las siguientes operaciones:

1. Especificar dominio $mi$
2. Especificar el significado del símbolo del predicado.
3. Especificar proposiciones definidas para argumentos proposicionales.
4. Especifique individuos en el universo de discusión para variables gratuitas.

Nota : No es necesario especificar variables de restricción

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Generalización de fórmulas de equivalencia e implicación en lógica proposicional

Aplique la regla de sustitución a la equivalencia o implicación en lógica proposicional y sustitúyala con la fórmula de predicado en lógica de predicados. La fórmula resultante es la equivalencia o implicación de la fórmula de predicado.

Por ejemplo: equivalencia de fórmula de proposición $PAG\to q\iff \neg P\_\vee La\; generalización\; de\; Q$ en lógica de predicados es
$\forall xP\left(x\right)\_\_\to \exists xQ\left(x\right)\_\_\iff \neg \forall xP\left(x\right)\vee \exists xQ\left(x\right)\_\_$

Ley de negación de los cuantificadores.

• $\neg \forall xP\left(x\right)\iff \exists x\neg P\left(x\right)$
  significa “no todos$x$ todo satisface$P\left(x\right)$ ” se puede decir que es “hay$x$ satisface no$P\left(x\right)$ ”
• $\neg \exists xP\left(x\right)\iff \forall x\neg P\left(x\right)$ significa “ xx
  no existe$Se\; puede\; decir\; que\; "x$ satisface $P(x)" es "para todo$x$ todo satisface no$P\left(x\right)$ ”

Leyes de expansión y contracción del alcance del cuantificador

• $\forall x\left(P\right(x)\wedge P)\iff \forall xP\left(x\right)\_\_\wedge Q$
  $\exists x\left(P\right(x)\_\wedge P)\iff \exists xP\left(x\right)\_\_\wedge Q$
  $\forall x\left(P\right(x)\vee P)\iff \forall xP\left(x\right)\_\_\vee Q$
  $\exists x\left(P\right(x)\_\vee P)\iff \exists xP\left(x\right)\_\_\vee q$

• $\forall xP\left(x\right)\_\_\to q\iff \exists x\left(P\right(x)\_\to Q)$
  $\exists xP\left(x\right)\_\_\to q\iff \forall x\left(P\right(x)\to P)$

  proceso de prueba

  Demuestre a continuación que $\forall xP\left(x\right)\_\_\to q\iff \exists x\left(P\right(x)\_\to Q)$
  $$\begin{array}{rl}\forall xP\left(x\right)\_\_\to q& \iff \neg \forall xP\left(x\right)\vee q\\ & \iff \exists x\neg P\left(x\right)\vee q\\ & \iff \exists x(\neg P(x)\vee P)\\ & \iff \exists x\left(P\right(x)\_\to P\end{array}$$

• $q\to \forall xP\left(x\right)\_\_\iff \forall x(Q\to P(x))$
  $q\to \exists xP\left(x\right)\_\_\iff \exists x(Q\_\to P(x))$

ley distributiva de los cuantificadores

• $\forall x\left(P\right(x)\wedge Q(x))\iff \forall xP\left(x\right)\_\_\wedge \forall xQ\left(x\right)$
  $\exists x\left(P\right(x)\_\vee Q(x))\iff \exists xP\left(x\right)\_\_\vee \exists xQ\left(x\right)\_\_$

  proceso de prueba

  Demuestre a continuación que $\forall x\left(P\right(x)\wedge Q(x))\iff \forall xP\left(x\right)\_\_\wedge \forall xQ\left(x\right)$
  $\exists x\left(P\right(x)\_\vee Q(x))\iff \exists xP\left(x\right)\_\_\vee \exists xQ\left(x\right)$ se puede demostrar de la misma manera. Supongamos que
  el dominio de discusión es$D$
  当$\forall x\left(P\right(x)\wedge Cuando\; Q(x))$ es verdadera, es decir, para todo$a\in D$ tiene$P\left(una\right)\wedge Q\left(a\right)$ debajo∴
  $\therefore P\left(a\right)$、$Q\left(a\right)$ son todas verdaderas
  $\therefore \forall xP\left(x\right)$、$\forall xQ\left(x\right)$ son todas verdaderas
  $\therefore \forall xP\left(x\right)\_\_\wedge \forall xQ\left(x\right)$ es verdadero
  cuando$\forall x\left(P\right(x)\wedge Cuando\; Q(x))$ es falsa, existe$a\in D$使$P\left(una\right)\wedge Q\left(a\right)$ si∴
  $\therefore P\left(a\right)$、$Al\; menos\; uno\; de\; Q\left(a\right)$ es falso. Supongamos que$P\left(a\right)$ es falsa, entonces$\forall xP\left(x\right)$ es falso
  $\therefore xP\left(x\right)\_\wedge xQ\left(x\right)$ es falso
  entonces$\forall x\left(P\right(x)\wedge Q(x))$与$\forall xP\left(x\right)\_\_\wedge \forall xQ\left(x\right)$
  tiene el mismovalor verdadero,$\forall x\left(P\right(x)\wedge Q(x))\iff \forall xP\left(x\right)\_\_\wedge \forall xQ\left(x\right)\_\_$

• $\forall xP\left(x\right)\_\_\vee \forall xQ\left(x\right)\_\_\Rightarrow \forall x\left(P\right(x)\vee Q(x))$
  $\exists x\left(P\right(x)\_\wedge Q(x))\Rightarrow \exists xP\left(x\right)\_\_\wedge \exists xQ\left(x\right)\_\_$

  proceso de prueba

  Demuestre a continuación que $\forall xP\left(x\right)\_\_\vee \forall xQ\left(x\right)\_\_\Rightarrow \forall x\left(P\right(x)\vee Q(x))$
  $\exists x\left(P\right(x)\_\wedge Q(x))\Rightarrow \exists xP\left(x\right)\_\_\wedge \exists xQ\left(x\right)$ se puede demostrar de la misma manera
  , supongamos que el dominio de discusión es$D$
  当$\forall xP\left(x\right)\_\_\vee Cuando\; \forall xQ\left(x\right)$ es verdadero,$\forall xP\left(x\right)$、∀ x Q ( x ) \forall xQ(x)Al menos uno de$\forall$$x$$Q$$($$x$$)$
  es verdadero . Sea$\forall xP\left(x\right)$ es verdadera, es decir, para todo$a\in D$ , ambos tienenP ( a ) P(a)Sea$P$$($$a$$)$
  $\therefore P\left(una\right)\vee Q\left(x\right)$ es verdadero
  $\therefore \forall x\left(P\right(x)\vee Q(x))$ es verdadero.
  Delmétodo del antecedente afirmativo,obtenemos$\forall xP\left(x\right)\_\_\vee \forall xQ\left(x\right)\_\_\Rightarrow \forall x\left(P\right(x)\vee Q(x))$
  当$\forall x\left(P\right(x)\vee Q(x))$ es verdadera, es decir, para todo$a\in D$ , ambos tienen$P\left(una\right)\vee Q\left(a\right)$ es cierto
  pero no necesariamente tiene$\forall xP\left(x\right)\_\_\vee \forall xQ\left(x\right)$ es cierto
  porque$D=\{un,b\}$，$P\left(a\right)$ es verdadera,$Q\left(a\right)$ es falsa;$P\left(b\right)$ es falsa,Q ( b ) Q(b)Cuando$Q$$($$b$$)$$\forall x\left(P\right(x)\vee Q(x))$ es cierto, pero$\forall xP\left(x\right)\_\_\vee \forall xQ\left(x\right)$ es falso

• $\forall x\left(P\right(x)\to Q(x))\Rightarrow \forall xP\left(x\right)\_\_\to \forall xQ\left(x\right)$
  $\forall x\left(P\right(x)\leftrightarrow Q(x))\Rightarrow \forall xP\left(x\right)\_\_\leftrightarrow \forall xQ\left(x\right)\_\_$

  proceso de prueba

  对于$\forall x\left(P\right(x)\to Q(x))\Rightarrow \forall xP\left(x\right)\_\_\to \forall \_\_\_\_\_$
  ___
  _$D$
  当$\forall xP\left(x\right)\_\_\to Cuando\; \forall xQ\left(x\right)$ es falso,$\forall xP\left(x\right)$ es verdadero,$\forall xQ\left(x\right)$ es falsa,
  por lo tanto existe$a\in D$ hace$P\left(a\right)$ es verdadera,$Q\left(a\right)$ es falso,
  por lo tanto,$\forall x\left(P\right(x)\to Q(x))$ es falso

  对于$\forall x\left(P\right(x)\leftrightarrow Q(x))\Rightarrow \forall xP\left(x\right)\_\_\leftrightarrow \forall xQ\left(x\right)$
  $$\begin{array}{rl}\forall x\left(P\right(x)\leftrightarrow Q(x))& \iff \forall x[(P\left(x\right)\to Q(x))\wedge (Q\left(x\right)\to P(x))]\\ & \iff \forall x\left(P\right(x)\to Q(x))\wedge \forall x\left(Q\right(x)\to P(x))\\ & \Rightarrow (\forall xP(x)\to \forall xQ(x\left)\right)\_\wedge (\forall xQ(x)\to \forall xP(x\left)\right)\_\\ & \iff \forall xP\left(x\right)\_\_\leftrightarrow \forall xQ(x\end{array}$$

• $\exists x\left(P\right(x)\_\to Q(x))\iff \forall xP\left(x\right)\_\_\to \exists xQ\left(x\right)$
  $\exists xP\left(x\right)\_\_\to \forall xQ\left(x\right)\_\_\Rightarrow \forall x\left(P\right(x)\to Q(x))$

  proceso de prueba

  下面证明$\exists x\left(P\right(x)\_\to Q(x))\iff \forall xP\left(x\right)\_\_\to \exists xQ\left(x\right)$
  $$\begin{array}{rl}\exists x\left(P\right(x)\_\to Q(x))& \iff \exists x(\neg P(x)\vee Q(x))\\ & \iff \exists x\neg P\left(x\right)\vee \exists xQ\left(x\right)\_\_\\ & \iff \neg \forall xP\left(x\right)\vee \exists xQ\left(x\right)\_\_\\ & \iff \forall xP\left(x\right)\_\_\to \exists xQ(x\end{array}$$

  下面证明$\exists xP\left(x\right)\_\_\to \forall xQ\left(x\right)\_\_\Rightarrow \forall x\left(P\right(x)\to Q(x))$
  $$\begin{array}{rl}\exists xP\left(x\right)\_\_\to \forall xQ\left(x\right)\_\_& \iff \forall x\neg P\left(x\right)\vee \forall xQ\left(x\right)\_\_\\ & \Rightarrow \forall x(\neg P(x)\vee Q(x))\\ & \iff \forall x\left(P\right(x)\to Q(x)\end{array}$$

léxico multiponderado

• $\forall x\forall yP(x,y)\iff \forall y\forall xP(x,y)$
  $\exists x\exists yP(x,y)\iff \exists y\exists xP(x,y)$
• $\exists x\forall yP(x,y)\Rightarrow \forall y\exists xP(x,y)$
  $\forall x\exists yP(x,y)\Rightarrow \exists y\exists xP(x,y)$

Las dos variables se pueden demostrar visualmente en la siguiente figura:

Teoría de la inferencia de la lógica de predicados.

reglas de inferencia

Las reglas de inferencia de la lógica proposicional también se aplican a la lógica de predicados, pero en el proceso de razonamiento de la lógica de predicados, a veces es necesario eliminar o introducir cuantificadores.

Eliminar cuantificador

Al eliminar cuantificadores, primero aparece la designación de existencia y luego la designación del nombre completo.

Hay una regla especificada

Existe una especificación existencial , abreviada como ES, de la siguiente manera
$$\frac{\exists xP(x}{\therefore P\left(una\right)}$$
Entre ellos, $P$ es el predicado,$a$ está en el dominio del discurso tal queP ( a ) P(a)Individuos donde$P$$($$a$$)\; es\; verdadera$

El significado de esta regla es: si $\exists xP\left(x\right)$ es verdadera, entonces existe una constante individual$a$ ,de$P\left(a\right)$ es verdadera

Reglas de designación de nombre completo

La especificación del nombre completo (especificación universal) , abreviada como US, es la siguiente
$$\frac{\forall xP(x}{\therefore P(y)}$$
Entre ellos, $P$ es el predicado,$y$ es una variable libre

El significado de esta regla es: si $\forall xP\left(x\right)$ es verdadera, entonces para cualquier constante individual$a$ , ambos tienen$P\left(a\right)$ es verdadera

Introducir cuantificadores

Hay reglas de promoción.

Existe una regla de generalización existencial , abreviada como EG, de la siguiente manera
$$\frac{P(a}{\therefore \exists xP\left(x\right)\_\_}$$
Entre ellos, $P$ es el predicado,$a$ está en el dominio del discurso tal queP ( a ) P(a)Individuos donde$P$$($$a$$)\; es\; verdadera$

El significado de esta regla es: si hay una constante individual $a$ ,de$P\left(a\right)$ es verdadera, entonces$\exists xP\left(x\right)$ es verdadero

Reglas de promoción de nombre completo

El nombre completo es generalización universal , abreviado como UG, de la siguiente manera
$$\frac{C\Rightarrow P(y)}{\therefore C\Rightarrow \forall xP\left(x\right)\_\_}$$
Entre ellos, $\Gamma$ es la conjunción de axiomas y premisas conocidas,$P$ es el predicado,$y$ es una variable libre

El significado de esta regla es: si $\Gamma$ puede derivarse para cualquier individuo$y$ tiene$P\left(y\right)$ es verdadera, entonces$\forall xP\left(x\right)$ es verdadero

referencia

[1] Matemáticas discretas Prensa de la Universidad de Ciencia y Tecnología Electrónica de Xi'an Segunda edición
[2] Blog de CSDN