1. Teoría de números
1.1 números primos
Definición: Todos los números naturales mayores que 1 se llaman números primos (números primos) si solo contienen dos divisores de 1 y de sí mismo.
Sentencia de Números Primos: División de Primera Instancia
bool is_prime(int n)
{
if(n < 2) return false;
for(int i = 2;i <= n / i;i ++)
{
if(n % i == 0)
return false;
}
return true;
}
factor primo
Idea básica: enumerar todos los divisores de n de pequeño a grande.
void divide(int n)
{
for(int i = 2;i <= n;i ++)
{
if(n % i == 0)
{
int s = 0;
while(n % i == 0)
{
n /= i;
s ++;
}
printf("%d %d\n",i,s)
}
}
}
método de tamiz
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int primes[N],cnt;
bool st[N];
void get_prime(int n)
{
for(int i = 2;i <= n;i ++)
{
if(!st[i])
{
primes[cnt ++] = n;
for(int j = i + i;j <= n;j += i) st[j] = true;
}
}
}
tamiz lineal
Se garantiza que cada número sea excluido por su factor primo más pequeño.
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int primes[N],cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n)
{
for(int i = 2;i<= n;i ++)
{
if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;
for(int j = 0;primes[j] <= n / i;j ++)
{
st[primes[j] * i = true;
if(i % primes[j] == 0) break; //primes[j]一定是i的最小质因子
}
}
}
1.2 aproximación
método de división de prueba
vector<int> get_divisors(int n)
{
vector<int> res;
for(int i = 1;i <= n / i;i ++)
if(n % i == 0)
{
res.push_back(i);
if(i != n / i) res.push_back(n / i);
}
sort(res.begin(),res.end());
return res;
}
suma de divisores y divisores
Algoritmo euclidiano
//返回a与b的最大公约数
int gcd(int a,int b)
{
return b ? gcd(b,(a % b) : a);
}
2. Teorema de Euler
2.1 función de Euler
Definición: X (n) representa el número de 1 ~ n que es primo relativo con n
Pasos del algoritmo:
- Eliminar múltiplos de p1,p2,...,pk de 1~N
- más todos los múltiplos de Pi*Pj
- Resta todos los múltiplos de Pi*Pj*Pk
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n --)
{
int a;
cin>>a;
int res = a;
//分解质因数
for(int i = 2 ;i <= a;i ++)
{
if(a % i == 0)
{
res = res / i * (i - 1);
while (a % i == 0) a /= i;
}
}
if(a > 1) res = res / a * (a - 1);
cout<<res<<endl;
}
return 0;
}
poder rápido
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
//求a^k % p
int main(int a,int k,int p)
{
int res = 1;
while(k)
{
//如果当前k的末位为1,则
if( k & 1) res = (LL)res * a % p;
//删除k的末位
k >>= 1;
//把a平方
a = (LL) a * a % p;
}
return res;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
while(n --)
{
int a,k,p;
scanf("%d%d%d",&a,&k,&p);
printf("%d\n",qmi(a,k,p));
}
return 0;
}