Aproximado
Coprime: el divisor común de dos números es solo 1
Para un entero positivo n mayor que 1, los factores primos se pueden descomponer: n = p1 ^ a1 * p2 ^ a2 * p3 ^ a3 *… * pk ^ ak
Halla el número de divisores de un número:
Los divisores positivos de n son (a₁ + 1) (a₂ + 1) (a₃ + 1) ... (ak + 1)
Halla la suma de todos los divisores de un número: La
suma de los divisores positivos de n es (p1 ^ 0 + p1 ^ 1 + p1 ^ 2 +… + p1 ^ a1) * (p2 ^ 0 + p2 ^ 1 + p2 ^ 2 +… + P2 ^ a2) *… * (pk ^ 0 + pk ^ 1 + pk ^ 2 +… + pk ^ ak)
// 分解约数
void divide(int n)
{
for (int i = 2; i <= n/i; i++)
{
int cnt = 0;
if (n % i == 0)
{
while (n % i == 0) n /= i, cnt++ ;
cout << i << " " << cnt << endl;
}
}
if (n > 1) cout << n << " 1" << endl;
}
Tamiz Euler
int primes[100010], cnt;
bool st[100010];
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
for (int j = 0; j < cnt; j++)
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
Función de Euler
Función de Euler φ (n): el número de enteros positivos (incluido 1) que son menores que n y relativamente primos an.
Fórmula: φ (n) = n * (1-1 / p1) (1-1 / p2) (1 -1 / p3) * (1-1 / p4) …… (1-1 / pn) (Se puede probar el principio de tolerancia y exclusión)
int phi(int x)
{
int ans = x;
for (int i = 2; i <= x/i; i++)
{
if (x % i == 0)
{
ans = ans - ans/i;
while (x % i == 0) x /= i;
}
}
if (x > 1) ans = ans - ans/x;
return ans;
}
// 求 1-n 的欧拉函数之和
int primes[100010], phis[100010] cnt;
bool st[100010];
void get_phis(int x)
{
phis[1] = 1;
for (int i = 2; i <= x; i++)
{
if (!st[i])
{
primes[cnt ++] = i;
phis[i] = i - 1; // 质数的欧拉函数为其本身减1
}
for (int j = 0; j < cnt; j++)
{
st[i * primes[j]] = true;
if (i % primes[j] == 0)
{
phis[i * primes[j]] = primes[j] * phis[i]; // 当primes[j]为i的约数时，由欧拉函数公式， p1...pk均不变，n增加primes[j]倍
break;
}
phis[i * primes[j]] = (primes[j] - 1) * phis[i]; // 当primes[j]为该项的最小质数时，i中不含primes[j]， 故在i的基础上多了(1-1/primes[j]), 而n增加primes[j]倍
}
}
}
Poder rápido
int qmi(int a, int k, int p)
{
int res = 1;
while(k)
{
if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
a = (LL)a * a % p;
k >>= 1;
}
return res % p;
}
Elemento inverso
Definición: Para a * b≡1 (mod m), entonces b es el elemento inverso multiplicativo módulo m de a.
Teorema de Euler: cuando a y n son primos relativos, existe un ^ φ (n) ≡ 1 (mod n)
El pequeño teorema de Fermat: en particular, cuando n es un número primo, a ^ (n-1) ≡ 1 (mod norte)
/********
快速幂求乘法逆元
设逆元为x
t/a ≡ t * x (mod p) =>
t ≡ a * t * x (mod p) =>
a * x ≡ 1 (mod p)
当p均为质数， 由费马小定理 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
故x = a^(p-2) (mod p) => qmi(a, p-2, p);
*********/
Extensión Euclid
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x); // 若未将x, y交换顺序，则需写成:
y -= (a/b)*x; // int t = x;
// x = y, y = t - (a/b)*y;
return d;
}