Optimización de problemas cuaternarios que contienen restricciones de módulo unitario

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prefacio

El propósito de este artículo es organizar pensamientos.

La función objetivo es aproximadamente de la forma

$$\begin{array}{rl}& F_{}\left(yo\right)\\ =& \mathrm{tr}\{\sum _{yo=1}\sum _{j=1}\Theta T{\_}_{}xt{\_}_j^{}{el}^{RRHH}{\_}_j^{}YR{\_}_{}\\ & +\sum _{yo=1}(\Theta T{\_}_{}xt{\_}_1^{}{el}^{hs}{\_}^H{\Theta }^{RRHH}{\_}_2^{}YR{\_}_{}\\ & +\Theta S\Theta T_{}xt{\_}_i^{}{el}^{RRHH}{\_}_i^{}YR{\_}_{})\\ & +\Theta S\Theta T_{}xt{\_}_1^{}{el}^{hs}{\_}^H{\Theta }^{RRHH}{\_}_2^{}YR{\_}_{}\}\\ & -2\Re \left(\mathrm{tr}\left(\sum _{yo=1}GR{\_}_{}\Theta T{\_}_{}W.+GR{\_}_{}\Theta S\Theta T_{}W\right)\right)\end{array}$$

Definición $\mathrm{Tr}\left(XYZW\right)=\mathrm{cosa}\left(X^h{)}^{alto}\right({ancho}^t\otimes Y\left)\text{vec}\right(Z)$ y$\text{Tr}\left(\Theta P\right)=i^{HP}{\_}^{\ast }$
Deformado para conseguir

$$\begin{array}{l}{F}_{}\left(yo\right)\\ =\mathrm{vec}{\left(yo\right)}^{h}A\mathrm{vec}\left(yo\right)+\mathrm{vec}{\left(yo\right)}^{h}B\mathrm{vec}\left(\Theta S\Theta \right)\\ +\mathrm{vec}{\left(\Theta S\Theta \right)}^h{B}^h\mathrm{vec}\left(yo\right)+\mathrm{vec}{\left(\Theta S\Theta \right)}^{h}C\mathrm{vec}\left(\Theta S\Theta \right)\\ -2\; \Re \left({yo}^{HP}{\_}^{\ast }+\mathrm{vec}{\left({\_}^h\right)}^{h}D\mathrm{vec}\left(yo\right)\right)\end{array}$$

AA_ $A$ ,$B$ ,$C$ ,$D$

$$\begin{array}{rl}& A=\sum _{yo=1}\sum _{j=1}((t_{}xt{\_}_j^{}{)}^t\otimes R_j^{}YR{\_}_{})\\ & B=\sum _{yo=1}(t_{}xt{\_}_i^{}{)}^t\otimes R_i^{}YR{\_}_{}\\ & C=(t_{}xt{\_}_1^{}{)}^t\otimes R_2^{}YR{\_}_{},\\ & D=(t_{}Grupo\; de\; Trabajo{R}_{}{)}^t\otimes S,PAG=(\sum _{yo=1}{t}_{}Grupo\; de\; Trabajo{R}_{})\end{array}$$

Gracias a la escasa estructura de $\mathrm{vec}\left(\Theta \right)$ , la
función objetivo \eqref{yuan11} se puede simplificar aún más. Específicamente, sea$A_{}\in C^{L\times L}$ y$D_{}\in C^{L\times L}$ estará formado por todos los elementos en
las intersecciones de$[(m-1)yo+m]$ aésima fila y la
$[(n-1)yo+n]$ ésima columna de$A$ y$D$ para$metro,norte=1,\cdots ,L$ ,
respectivamente. $B_{}$se compone de todos los elementos de las filas
$[(q-1)yo+q]$ ,$q=1, \cdots,L $,de$B$ y$C_{}=C.$ _ Definimos
$v\triangleq \mathrm{vec}\left(\Theta S\Theta \right)=\left({\_}^t\otimes yo\right)\mathrm{vec}\left(S\right)$ . Entonces el subproblema en
términos del patrón de reflexión común del IRS se expresa como

Es decir, se puede expresar como

$$\begin{array}{rl}& A_{}=\sum _{yo=1}\sum _{j=1}((t_{}xt{\_}_j^{}{)}^t\odot R_j^{}YR{\_}_{})\\ & D_{}=(t_{}Grupo\; de\; Trabajo{R}_{}{)}^t\odot S.\end{array}$$

index_B0 = [];
for i = 1:M
    index_B0 = [index_B0,(i - 1)*M + i];
end
B0 = B(index_B0,:);
%M * M^2   % [(q−1)M + q], q=1, . . . ,M的行

$B_{}$se puede obtener mediante dicho código

Entonces hay tal pregunta.
$$\begin{array}{rl}\underset{i}{}& i^{ha}{\_}_{}i+i^{HB}{\_}_{}v+v^{HB}{\_}_0^{}i+v^{HC}{\_}_{}v-2\Re \left({yo}^{HP}{\_}^{\ast }+i^{HD}{\_}_0^{}{i}^{\ast }\right)\\ \text{ calle }& v=\left({\_}^t\otimes yo\right)\mathrm{cosa}\left(S\right),\\ & el=\mathrm{diagnóstico}\left\{{yo}_{},\cdots ,i_{}\right\},\\ & |\theta {\_}_{}|=1,i\in \{1,\cdots ,L\}\end{array}$$

Btilde = [];
for i = 1:M
     Btilde = [Btilde,B0(:,(i-1)*M+1:i*M)*diag(S(:,i))];
end
%M * M^2

El problema \eqref{DoubleIRSP3} todavía es difícil de encontrar solución debido al
acoplamiento de $\theta$ y$S$ en el vector$v$ . A continuación, intentamos
separarlos. Definir$B_{}\triangleq [B_{0,},\cdots ,B_{0,}]\in C^{Largo\times {Largo}^2}$ ,
donde$B_{0,}\in C^{Largo\times {Largo}^2}$ es la matriz de bloques que consta de
$[(pag.-1)yo+1]$ ésimo al$\left[pL\right]$ ésima columna de$B_{}$para $pag=1,\cdots ,l$ .

donde $s_{}$es el $i-$ ésima columna de$S$ ,
$\tilde{B}=\left[B_{0,}\mathrm{diagnóstico}\left(s_{}\right),\dots ,B_{0,}\mathrm{diagnóstico}\left(s_{}\right)\right]$ y
$\tilde{C}=\left[{\tilde{C}}_{}\mathrm{diagnóstico}\left(s_{}\right),\dots ,C_{}\mathrm{diagnóstico}\left(s_{}\right)\right]$
con
${\tilde{C}}_{}={\left[\mathrm{diagnóstico}\left(s_1^{}\right)C_{0,1,},\dots ,\mathrm{diagnóstico}\left(s_l^{}\right)C_{0,L,}\right]}^t$ _ Según
las definiciones anteriores, el problema \eqref{DoubleIRSP3} se convierte en

Ctilde = zeros(M^2,M^2);
%M = 100;
%C0 = ones(M^2,M^2);
%S = rand(M,M);
for i=1:M
    for j=1:M
        Ctilde((i-1)*M+1:(i)*M,(j-1)*M+1:(j)*M) = C0((i-1)*M+1:(i)*M,(j-1)*M+1:(j)*M)*diag(S(i,:)')*diag(S(:,j));
    end
end

% Ctilde  M^2 M^2

Empalme para obtener Wtilde

$$\begin{array}{l}{mín.}_{}{\tilde{i}}^h\widetilde{W.}\tilde{i}-2\Re \left({yo}^{HP}{\_}^{\ast }+i^{HD}{\_}_0^{}{i}^{\ast }\right)\\ \text{ calle }|\theta {\_}_{}|=1,i\in \{1,\cdots ,L\}\end{array}$$

donde, $\tilde{i}={\left[{yo}^T,{\left(yo\otimes yo\right)}^T\right]}^T$ ,
$\widetilde{W.}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{}& \tilde{B}\\ {\tilde{B}}^{}& C\end{array}\right]$

Se puede encontrar fácilmente
que
$\widetilde{W.}$
es la matriz hermitiana. Luego, para obtener la
solución de forma cerrada, se puede
construir una función sustituta más manejable mediante la técnica MM. Suponiendo el óptimo
$i_{}$en el $t$ ésima iteración, una función sustituta de${\tilde{i}}^h\widetilde{W.}\tilde{i}\text{ wrt }\tilde{i}$
se puede derivar como \cite{MMalgoritmo}

下一步用MM算法
$${\tilde{i}}^h\widetilde{W.}\tilde{i}\le {\tilde{i}}^{L\_}\_\tilde{i}+2\Re \left({\tilde{i}}^H(\widetilde{W.}-l){\tilde{i}}_{}\right)+{\tilde{i}}_t^{}(\widetilde{W.}-l){\tilde{i}}_{},$$

Luego se puede simplificar aún más:
donde $l={yo}_{ma}\left(\widetilde{W.}\right){yo}_{l^2+}$. Para evitar la alta complejidad inducida por la descomposición de valores propios de
$\widetilde{W.}$
, es decir,
$oh{\left(l^2+l\right)}^3$ , elegimos$l=\mathrm{tr}\left(\widetilde{W.}\right){yo}_{l^2+}$
como otro parámetro auxiliar eficiente. Además,
al emplear la propiedad del módulo unitario de los
coeficientes de reflexión del IRS, ${\tilde{i}}^{L\_}\_\tilde{i}$ se puede transformar como$\mathrm{tr}\left(\widetilde{W.}\right)\left(l+l^2\right)$,
que es un término constante irrelevante para la variable de optimización.
${\tilde{i}}_t^{}(\widetilde{W.}-l){\tilde{i}}_{}$también es una constante porque
${\tilde{i}}_{}$ya se
sabe en el $t$ aésima iteración. Por lo tanto, la función objetivo
en el problema \eqref{DoubleIRSP4} se simplifica como

$$\begin{array}{rl}& 2\Re \left({\tilde{i}}^H(\widetilde{W.}-l){\tilde{i}}_{}\right)-2\Re \left({yo}^{HP}{\_}^{\ast }-i^{HD}{\_}_0^{}{i}^{\ast }\right)\\ =& 2\Re \left({yo}^h{\widetilde{tu}}_{}+\left({yo}^h\otimes i^h\right)V_{}-i^{HD}{\_}_0^{}{i}^{\ast }\right)\\ & 2\Re \left({yo}^h{\widetilde{tu}}_{}+i^h{\tilde{V}}_{}{i}^{\ast }\right)\end{array}$$

donde ${\widetilde{tu}}_{}=\left({Un}_{}-{yo}_{ma}\left(\widetilde{W.}\right){yo}_{}\right){\tilde{i}}_{}+\tilde{B}\left({\tilde{i}}_{}\otimes {\tilde{i}}_{}\right)-{pag}^{\ast }$ ,
$V_{}={\tilde{B}}^h{\tilde{i}}_{}+\left(\tilde{C}-{yo}_{ma}\left(\widetilde{W.}\right){yo}_{l^{}}\right)\left({\tilde{i}}_{}\otimes {\tilde{i}}_{}\right)$ ,
${\tilde{V}}_{}={\hat{V}}_{}-D_0^{}$.
$V_{}$es la versión remodelada de $V_{}$, es decir, $V_{}=\mathrm{vec}\left({\hat{V}}_{}\right)$ , Entonces
el problema \eqref{DoubleIRSP4} se transforma de manera equivalente en

$$\begin{array}{rl}& \underset{i}{}2\Re \left({yo}^h{\widetilde{tu}}_{}+i^h{\tilde{V}}_{}{i}^{\ast }\right)\\ & \text{ calle }|\theta {\_}_{}|=1,i\in \{1,\cdots ,L\}\end{array}$$

Usando el algoritmo MM, hemos transformado el problema original de cuarto orden \eqref{DoubleIRSP4} en un problema de segundo orden \eqref{DoubleIRSP5}. Tal
procedimiento disminuye en gran medida la dificultad y complejidad para
resolver el problema. Sin embargo, el problema \eqref{DoubleIRSP5} todavía no es
convexo. Para obtener la solución, consideramos utilizar
nuevamente el algoritmo MM para encontrar una función sustituta más manejable.
Para ser específico, defina $\overline{i}\triangleq {\left[\Re \left\{{yo}^t\right\},\Im \left\{{yo}^T\right\}\right]}^T$ y${\bar{V}}_{}\triangleq \left[\begin{array}{cc}\Re \left\{{\tilde{V}}_{}\right\}& \Im \left\{{\tilde{V}}_{}\right\}\\ \Im \{{\tilde{V}}_{}& -\Re \{{\tilde{V}}_{}\end{array}\right]$. . . . La función real $\Re \left\{{yo}^h{\tilde{V}}_{}{i}^{\ast }\right\}$se puede
expresar como${\overline{i}}^t\overline{V\theta }$. Luego, basándose en la expansión de Taylor de segundo orden, se obtiene una función sustituta convexa de ${\overline{i}}^t\overline{V\theta }$(es decir, $\Re \left\{{yo}^h{\tilde{V}}_{}{i}^{\ast }\right\}$) se deriva como \cite{diedaituidao1}:

$$\begin{array}{rl}{\overline{i}}^t\overline{V\theta }& \le {\overline{i}}_t^{}{\overline{V}}_{}{\overline{i}}_{}+{\overline{i}}_t^{}\left({\overline{V}}_{}+{\overline{V}}_t^{}\right)\left(\overline{i}-{\overline{i}}_{}\right)\\ & +\frac{}{2}{\left(\overline{i}-{\overline{i}}_{}\right)}^t\left(\overline{i}-{\overline{i}}_{}\right)\\ & =\Re \left\{{yo}^{HU}\_{\overline{v}}_{}\right\}+c\end{array}$$

donde ${\overline{i}}_{}\triangleq {\left[\Re \left\{{yo}_t^{}\right\},\Im \left\{{yo}_t^{}\right\}\right]}^T$ ,
$yo\triangleq {yo}_{ma}\left({\overline{V}}_{}+{\overline{V}}_t^{}\right)$
y${\overline{v}}_{}\triangleq \left({\overline{V}}_{}+{\overline{V}}_t^{}-yo\_{\_}_2\right){\overline{i}}_{}$,
$c$ es una constante irrelevante para$\theta$ . $Ud.\triangleq \left[{yo}_{},ȷ{yo}_{}\right]$ se define para convertir la función de valor real nuevamente a la función de valor complejo original. Entonces el problema \ref{DoubleIRSP5}
es equivalente a

$$\begin{array}{c}\underset{i}{}2\Re \left({yo}^h{f}_{}\right),\text{ calle }|\theta {\_}_{}|=1,\forall yo\end{array}$$

donde $F_{}={\widetilde{tu}}_{}+Ud.{\overline{v}}_{}$. Los
coeficientes de reflexión óptimos del IRS común se obtienen como

$$\begin{array}{c}{i}^{optar}=-{mi}^{jarg\left(f_{}\right)}\end{array}$$

En resumen, para el subproblema de optimización del patrón de reflexión común de doble IRS, esta sección extiende el subproblema cuártico original a una dimensión de matriz superior y utiliza el algoritmo MM dos veces para encontrar la función sustituta. Derivamos la expresión en forma cerrada de la solución subóptima.

todos los codigos

function  thet_next = optimingThetaDoubleIRS(Theta,M,W,G,ks,kd,T1,T2,R1,R2,S)

thet = diag(Theta);

%Hadamard积就是同维度矩阵逐一元素相乘

A0 = transpose(T1 * W * W' * T1') .* (R1' * G'* G * R1) + transpose(T1 * W * W' * T2') .* (R2' * G'* G * R1) + ...
     transpose(T2 * W * W' * T1') .* (R1' * G'* G * R2) +  transpose(T2 * W * W' * T2') .* (R2' * G'* G * R2)+ ...
     ks * transpose(T1 * diag(diag(W * W')) * T1') .* (R1' * G'* G * R1) + ks * transpose(T1 * diag(diag(W * W')) * T2') .* (R2' * G'* G * R1) + ...
     ks * transpose(T2 * diag(diag(W * W')) * T1') .* (R1' * G'* G * R2) +  ks * transpose(T2 * diag(diag(W * W')) * T2') .* (R2' * G'* G * R2)+ ...
     kd * transpose(T1 * W * W' * T1') .* (R1' * diag(diag(G'* G)) * R1) + kd * transpose(T1 * W * W' * T2') .* (R2' * diag(diag( G'* G)) * R1) + ...
     kd * transpose(T2 * W * W' * T1') .* (R1' * diag(diag(G'* G)) * R2) + kd * transpose(T2 * W * W' * T2') .* (R2' * diag(diag(G'* G)) * R2)+ ...
     ks * kd * transpose(T1 * diag(diag(W * W')) * T1') .* (R1' * diag(diag(G'* G)) * R1) + ks * kd * transpose(T1 * diag(diag(W * W')) * T2') .* (R2' * diag(diag( G'* G)) * R1) + ...
     ks * kd * transpose(T2 * diag(diag(W * W')) * T1') .* (R1' * diag(diag(G'* G)) * R2) + ks * kd * transpose(T2 * diag(diag(W * W')) * T2') .* (R2' * diag(diag(G'* G)) * R2) ;
     % M *M



D0  =  transpose(T1 * W * G * R2) .* S ;

B =  kron( transpose(T1 * W * W' * T1') , (R1' * G'* G * R2) ) + kron( transpose(T1 * W * W' * T2') , (R2' * G'* G * R2) ) + ...
     ks * kron( transpose(T1 * diag(diag(W * W')) * T1') , (R1' * G'* G * R2) ) + ks * kron( transpose(T1 * diag(diag(W * W')) * T2') , (R2' * G'* G * R2) ) + ...
     kd * kron( transpose(T1 * W * W' * T1') , (R1' * diag(diag(G'* G)) * R2) ) + kd * kron( transpose(T1 * W * W' * T2') , (R2' * diag(diag(G'* G)) * R2) ) + ...
     ks * kd * kron( transpose(T1 * diag(diag(W * W')) * T1') , (R1' * diag(diag(G'* G)) * R2) ) + ks * kd * kron( transpose(T1 * diag(diag(W * W')) * T2') , (R2' * diag(diag(G'* G)) * R2) ) ;
     % M^2 * M^2
C =  kron( transpose(T1 * W * W' * T1') , (R2' * G'* G * R2) ) + ...
      ks * kron( transpose(T1 * diag(diag(W * W')) * T1') , (R2' * G'* G * R2) ) + ...
      kd * kron( transpose(T1 * W * W' * T1') , (R2' * diag(diag(G'* G)) * R2) ) + ...
      ks * kd * kron( transpose(T1 * diag(diag(W * W')) * T1') , (R2' * diag(diag(G'* G)) * R2) ) ;
       % M^2 * M^2
C0 = C;  

%D = kron( transpose(T1 * W * G * R2 ), S  );

P = T1 * W *G * R1 + T2 * W *G *R2; % M *M
p = diag(P);

index_B0 = [];
for i = 1:M
    index_B0 = [index_B0,(i - 1)*M + i];
end
B0 = B(index_B0,:);
%M * M^2   % [(q−1)M + q], q=1, . . . ,M的行
Btilde = [];
for i = 1:M
     Btilde = [Btilde,B0(:,(i-1)*M+1:i*M)*diag(S(:,i))];
end
%M * M^2

Ctilde = zeros(M^2,M^2);
%M = 100;
%C0 = ones(M^2,M^2);
%S = rand(M,M);
for i=1:M
    for j=1:M
        Ctilde((i-1)*M+1:(i)*M,(j-1)*M+1:(j)*M) = C0((i-1)*M+1:(i)*M,(j-1)*M+1:(j)*M)*diag(S(i,:)')*diag(S(:,j));
    end
end

% Ctilde  M^2 M^2

Wtilde = cat(1, cat(2,A0,Btilde), cat(2,Btilde',Ctilde));
%maxeigWtilde = max(eig(Wtilde));
maxeigWtilde = trace(Wtilde);
 utilde = (A0 - maxeigWtilde.*eye(M))*thet + Btilde * kron(thet,thet) - conj(p);  % M 1

 U = [eye(M) , 1j * eye(M)];

 V = Btilde' * thet + (Ctilde - maxeigWtilde * eye(M^2)) * kron(thet,thet); % M^2 * 1
 Vhat = transpose(reshape(V,[M,M])); % M * M
 Vtilde = Vhat - conj( D0 );  % M * M
 Vbar = cat(1, cat(2,real(Vtilde),imag(Vtilde)), cat(2,imag(Vtilde),- real(Vtilde)));  % 2M * 2M
maxeigVbar = max(eig(Vbar));
%thet = ones(10,1);
thetbar = transpose([real(transpose(thet)),imag(transpose(thet))]);   %   2M  * 1
vbar = (Vbar + transpose(Vbar) - maxeigVbar * eye(2*M)) * thetbar;    %   2M  * 1

f = utilde + U * vbar;



% 单位阵记得用eye而不是ones啦
%thet是M*1的列向量
thet_next = - exp(1j*phase(f));

end