Tesis de Church-Turing

La tesis de Church-Turing (inglés: , también conocida como conjetura de Church-Turing , tesis de Church , conjetura de Church , tesis de Turing ) es una hipótesis sobre la teoría de la computabilidad . Esta suposición establece que el valor de una función es eficientemente computable (en términos más modernos, algorítmicamente computable) con respecto a las propiedades de la función. En pocas palabras, la tesis de Church-Turing sostiene que "cualquier problema que sea computacionalmente computable también es computable por una máquina de Turing".

Los intentos de formular la computabilidad en la primera mitad del siglo XX fueron:

• El matemático estadounidense Alonzo Church creó un método llamado cálculo lambda para definir funciones.
• El matemático británico Alan Turing creó modelos teóricos de máquinas que podían operar con entradas, ahora conocidas como Universal Turing Machines.
• Junto con el matemático Stephen Cole Klenny y el lógico J. Barkley Rosser, Church definió una clase de funciones cuyos valores podían calcularse mediante métodos recursivos.

Las tres teorías parecen intuitivamente equivalentes: todas definen la misma clase de funciones. Por lo tanto, los informáticos y los matemáticos creen que ha surgido una definición precisa de computabilidad. La formulación informal de la tesis de Church-Turing establece que si un algoritmo es factible, también puede ser implementado por una máquina de Turing, al igual que las otras dos teorías.

Aunque se ha demostrado que las tres teorías son equivalentes, la premisa detrás de ellas, "capaz de calcular de manera eficiente", está vagamente definida. Por lo tanto, aunque esta hipótesis está casi completa, aún no puede probarse mediante la fórmula.

Premisa hipotética

Los tres procedimientos computacionales conocidos (recursión, cálculo lambda y máquinas de Turing) son todos equivalentes; estos tres métodos definen la misma clase de funciones. Esto ha llevado a matemáticos e informáticos a creer que el concepto de computabilidad puede describirse mediante los tres procesos computacionales equivalentes descritos anteriormente. En pocas palabras, la tesis de Church-Turing sostiene que si cierto método ( algoritmo ) puede realizar una operación, entonces la operación también puede ser realizada por una máquina de Turing (y también puede ser realizada por una función definida recursivamente o función lambda).

La tesis de Church-Turing es una declaración que describe las propiedades de la computación y, por lo tanto, no puede probarse rigurosamente. Aunque se puede demostrar que los tres procesos computacionales mencionados anteriormente son equivalentes, la premisa más fundamental de la tesis de Church-Turing, lo que significa afirmar que una función es "eficientemente computable", es en cierto sentido. Lo anterior es un intuitivo menos claro. resultado. Por lo tanto, el tema sigue siendo una hipótesis.

Aunque la tesis de Church-Turing no puede probarse, todavía disfruta de una aceptación casi universal hasta el momento.

elaboración formal

Rosser en 1939 leyó "Efectivamente computable" de la siguiente manera: "Está claro que CC y RC (argumento de Church y Rosser) dependen de una definición estricta de 'validez'. 'Métodos efectivos' principalmente significa que cada paso del método puede ser determinado de antemano, y el método puede producir un resultado dentro de un número limitado de pasos". Por lo tanto, 'validez' en realidad tiene dos significados:

1. producir un efecto definido o deseado
2. capaz de producir resultados de cálculo

A continuación, el término "eficientemente calculable" significa "producido por cualquier método intuitivamente eficiente", y el término "eficientemente computable" significa "producido por una máquina de Turing o cualquier dispositivo mecánico equivalente". La propia definición de Turing de esto se da en una nota al pie de su tesis doctoral de 1939 "Sistemas lógicos basados ​​​​en números ordinales":

"†Deberíamos usar 'función computable' para denotar una función que puede ser calculada por una máquina, y 'calculable eficientemente' para denotar ideas intuitivas que no se especifican de otra manera".

Esto se puede parafrasear de la siguiente manera:

Cualquier función que sea eficientemente calculable es una función computable.

Turing lo describió así:

"Una función es calculable eficientemente cuando su valor puede obtenerse mediante algún procedimiento de cálculo puramente mecánico... Debe entenderse que existe una diferencia entre computabilidad y calculabilidad eficiente".

forma equivalente

Otra forma de decir este tema es que los métodos eficientes o mecánicos en lógica y matemáticas pueden ser representados por máquinas de Turing. Por lo general, asumimos que estos métodos deben cumplir con los siguientes requisitos:

1. Un método consiste en un número finito de instrucciones simples y precisas que pueden describirse mediante un número finito de símbolos.
2. El método siempre produce un resultado en un número finito de pasos.
3. Básicamente se puede realizar con sólo papel y lápiz.
4. La ejecución del método no requiere inteligencia humana para comprender y ejecutar estas instrucciones.

Un ejemplo de tal método es el algoritmo de Euclides para determinar el máximo común divisor de dos números naturales.

La idea de un "método efectivo" es intuitivamente clara pero no definida formalmente, ya que las cuestiones de qué constituye "una instrucción simple y precisa" y cuál es "la inteligencia requerida para llevar a cabo esas instrucciones" no están claras. respuesta. (Para ver ejemplos distintos al algoritmo de Euclides, consulte Resultados eficientes en la teoría de números).

origen

En su artículo de 1936 "Sobre números computables, con aplicaciones a problemas deterministas (alemán:)", Alan Turing intentó demostrar esta idea formalmente al presentar las máquinas de Turing. En este artículo, demostró que el "problema de decisión" no tiene solución. Hace unos meses, Alonzo Church probó una tesis similar en "A Note on the Entscheidungsproblem", pero usó funciones recursivas y funciones definibles de Lambda para formalizar Las funciones definibles lambda fueron propuestas por Alonzo Church y Stephen Kleene (Church 1932, 1936a, 1941, Kleene 1935), mientras que las funciones recursivas fueron propuestas por Kurt Gödel y Jacques Herbrand (Jacques Herbrand, Gödel 1934, Herbrand 1932). Estos dos mecanismos describen funciones del mismo conjunto, como mostraron Church y Kleene (1936a, Kleene 1936) para funciones de enteros positivos. Después de escuchar la propuesta de Church, Turing pronto demostró que su máquina de Turing en realidad describía funciones del mismo conjunto (Turing 1936, 263ff).

Influencia

Desde entonces, se han propuesto muchos otros mecanismos para describir la computación eficiente, como las máquinas de registro, el sistema Post de Emill Post, la lógica combinatoria y los algoritmos de Markov (Markov 1960). Se ha demostrado que todos estos sistemas son computacionalmente equivalentes a las máquinas de Turing; los sistemas similares se denominan Turing-completo. Debido a que todos estos diferentes intentos de describir algoritmos conducen a resultados equivalentes, ahora se acepta generalmente que la tesis de Church-Turing es correcta. Sin embargo, la tesis no tiene el estatus general de un teorema matemático, ni puede ser probado, un teorema es más bien una propuesta para equiparar la computabilidad con una máquina de Turing. La tesis también es refutable si existe un método generalmente aceptado como un algoritmo eficiente pero no admisible en las máquinas de Turing.

A principios del siglo XX, los matemáticos solían utilizar un término informal para los cálculos eficientes , por lo que también era muy importante encontrar una buena descripción formal para este concepto. Los matemáticos contemporáneos utilizan la noción bien definida de computabilidad de Turing (o computabilidad para abreviar). Dado que el uso de este término indefinido se ha desvanecido, la cuestión de cómo definirlo no es tan importante.

connotación filosófica

La tesis de Church-Turing tiene muchas implicaciones para la filosofía de la mente, pero muchas interpretaciones filosóficas de la tesis la malinterpretan. El filósofo B. Jack Copeland cree que la pregunta de si las máquinas de Turing pueden simular ciertos procesos físicos sigue sin respuesta. Además, afirma que la cuestión de si estos procesos físicos juegan un papel en el mecanismo de la inteligencia humana también está abierta. También hay muchas preguntas importantes sin respuesta que cubren la relación entre la tesis de Church-Turing y la física y la posibilidad de la hipercomputación. Aplicado a la física, el tema tiene muchos significados posibles:

1. El universo es una máquina de Turing (por lo tanto, el cálculo de funciones no recursivas es físicamente imposible). Esta disertación se define como la tesis Daqiu Qi-Turing .
2. El universo no es una máquina de Turing (es decir, las leyes de la física no son computables por Turing), pero los eventos físicos no computables no impiden la posibilidad de crear una hipercomputadora. Por ejemplo, un universo que contiene físicamente números reales en lugar de números reales computables podría clasificarse como tal.
3. El universo es una supercomputadora y es posible construir dispositivos físicos que implementen esta propiedad y la utilicen para calcular funciones no recursivas. Por ejemplo, un problema abierto es que no podemos estar seguros de que los eventos mecánicos cuánticos sean computables por Turing, aunque los modelos estrictos como las máquinas cuánticas de Turing son en realidad equivalentes a las máquinas deterministas de Turing (pero no necesariamente equivalentes en eficiencia). John Lucas y el más famoso Roger Penrose han sugerido que la mente humana puede ser el resultado de la mecánica cuántica y la computación no algorítmica , aunque no hay evidencia científica que respalde esta sugerencia.

En realidad, existen muchas otras posibilidades técnicas fuera o dentro de estas tres categorías, pero estas tres categorías son solo para ilustrar el concepto.

función no computable

Podemos definir formalmente funciones no computables. Un ejemplo bien conocido es la función castor ocupado. Esta función toma una entrada n y devuelve el número máximo de símbolos que una máquina de Turing con n estados puede imprimir antes de detenerse. Encontrar el límite superior de la función del castor ocupado equivale a resolver el problema de detención, que se ha determinado que no se puede resolver con una máquina de Turing. Dado que el castor está tan ocupado que una máquina de Turing no puede calcular la función, la tesis de Church-Turing afirma que la función no se puede calcular de manera eficiente utilizando ningún método.

Existen modelos para computar (Church-Turing) funciones no computables: las llamadas supercomputadoras. Mark Burgin cree que los algoritmos súper recursivos (algoritmos súper recursivos) similares a las máquinas de Turing inductivas pueden usarse para refutar la tesis de Church-Turing. Su argumento se basa en una definición más amplia de algoritmo , una extensión de la definición que hace que algunas máquinas inductivas de Turing sean funciones computables que no son computables. Esta interpretación de la tesis de Church-Turing es diferente de la interpretación convencional de la informática, y la opinión de que los algoritmos súper recursivos se atribuyen a algoritmos en el sentido de Church-Turing no ha sido ampliamente aceptada por campos relacionados.

referencias

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