¡Una introducción rápida y brutal a Linnear Alfebra!

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1 vectores vectores

1.1 Normalización vectorial de la normalización vectorial

$\hat{a} = \vec{a}/|a|$

1.2 Suma de vectores Suma de vectores

Comprensión de la geometría grométricamente
- Ley del paralelogramo y ley del triángulo
algebraicamente
- 各坐标相加 Simplemente suma las coordenadas
  $\boldsymbol{A}=4x+3y,\; \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\; \boldsymbol{A}^T=(x,y),\; |\boldsymbol{A}|=\sqrt{x^2+y^2} \quad$

1.3 Producto punto vectorial Producto punto (escalar)

1.3.1 Definición y uso

$\vec{a}\cdot\ vec{b} =|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta,\; \cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta}$
$\quad cos\theta=\hat{a}\cdot\hat{b}$

1.3.2 Propiedades

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$
$(k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(k\ vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$

1.3.3 Producto escalar en coordenadas cartesianas

En 2D
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ \end{pmatrix}=x_ax_b+y_ay_b$
En 3D
$\vec{a}\cdot\vec{b}\cdot\vec{c}=\begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b\end{pmatrix}=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b$

1.3.4 Producto escalar para gráficos

Encuentra el ángulo entre dos vectores (por ejemplo, el coseno del ángulo entre la fuente de luz y la superficie)
Encontrar la proyección de un vector sobre otro

$\vec{b}_\bot=k\hat{a},\;k=|\vec{b}_\ bot|=|\vec{b}|\cos\theta$
Medir qué tan cerca están dos direcciones
Descomponer un vector Descomponer un vector
Juicio hacia Determinar adelante / atrás

1.4 Producto cruzado de vector Producto cruzado (vector)

1.4.1 Definición y uso

El resultado del producto vectorial es un vector, perpendicular a los dos vectores iniciales. El producto vectorial es ortogonal a dos vectores iniciales.
El resultado del producto vectorial está determinado por la regla de la mano derecha Dirección determinada por la regla de la mano derecha
Útil en la construcción de sistemas de coordenadas
El módulo del resultado del producto vectorial es igual en tamaño al área del triángulo formado por los dos vectores
$|\vec{a}\ veces\vec{b}| =|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$

1.4.2 Propiedades

$\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$
$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$
$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$
$\vec{a}\times(k\vec{b})=k(\vec{a}\times\vec{b})$

1.4.3 Producto cruzado: fórmula cartesiana en el sistema de coordenadas cartesianas

$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} y_az_b-y_bz_a \\ z_ax_b-x_az_b \\x_ay_b-y_ax_b \end{pmatrix }$

1.4.4 Producto cruzado en gráficos

determinar izquierda y derecha
- Como se muestra en la siguiente figura, en el sistema de coordenadas de la mano derecha, el resultado de la multiplicación cruzada del vector b por un vector es positivo, luego b está en el lado izquierdo de a
juzgar por dentro y por fuera
- Como se muestra en la siguiente figura, si el resultado de multiplicar tres veces en orden es positivo o negativo, es interno, de lo contrario es externo.

1.5 Bases Ortonormales / Marcos de Coordenadas

$\quad|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=1,\;\vec{u}\cdot\vec{v}+ \vec {v}\cdot\vec{w}+\vec{u}\cdot\vec{w}=0,\;\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}$
$刪\quad \vec{p}=(\vec{p}\cdot \vec{u})\vec{u}+(\vec{p}\cdot\vec{v})\vec{v}+(\vec{p}\cdot\vec{w})\vec{w }$

2 Matriz Matriz

En gráficos,
se utiliza de forma generalizada para representar transformaciones.

2.1 Qué es una matriz Qué es una matriz

Matriz de números (m × n = m filas, n columnas)
La suma y la multiplicación por un escalar son triviales: elemento
por elemento

2.2 Multiplicación matriz-matriz

El número de columnas en A debe ser igual al número de filas en B
$(M\times N )(N\times P)=(M\times P)$
El elemento (i, j) en el producto es el resultado del producto escalar de la fila i en A y la columna j en B
$\ Begin {pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \ \ \ 0 & 4 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 3 & 6 & 9 & 4 \ 8 & 8 & end {pmatrix} = \ be = \ be gin {pmatrix} 9 & 27 & 33 & 13 \\ 19 & 44 & 61 & 26 \\ 8 & 28 & 32 &? \ end {pmatrix}$
$?=(0,4)\cdot(4,3)=0+12=12$

2.3 Propiedades de la matriz

No conmutativo (AB y BA son diferentes en general)
Asociativo y distributivo
$(AB)C=A(BC),\;A(B+C)=AB+ AC$

2.4 Multiplicación matriz-vector

Tratar el vector como una matriz de columna (m×1)
Es el núcleo de la transformación Clave para transformar puntos
$y:\quad\begin{pmatrix} -1&0 \\0&1\ \ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x \\ y \\ \end{pmatrix}$

2.5 Transposición de una matriz

Intercambiar filas y columnas de la matriz Cambiar filas y columnas (ij -> ji)
$\begin{pmatrix} 1&2\\3&4\\5&6 \end {pmatrix}^T=\begin{pmatrix} 1&3&5\\2&4&6\\ \end{pmatrix}$
La naturaleza de la propiedad de transposición
$AB)^T=B^TA^T$

2.6 Matriz identidad e inversas

Matriz de identidad
- Las diagonales de la matriz identidad son todas 1
  $I_{3×3}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}$
Inversos de matriz inversa
- El producto de dos matrices es una matriz identidad, entonces las dos matrices son inversas
  $AA^{-1}=A^{-1}A=I$
- Propiedades de la matriz inversa
  $AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

3 Multiplicación de vectores en forma de matriz

3.1 Producto punto

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}^T\vec{b}=\begin {pmatrix} x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_b\\y_b\\z_b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_ax_b&y_ay_b&z_az_b\end{pmatrix}$

3.2 Producto cruzado

$\vec{a}\times\vec{b}=A^ * \vec{b}=\underbrace{\begin{pmatrix} 0&-z_a&y_a\\z_a&0&-x_a\\-y_a&x_a&0 \end{pmatrix}}_{\rm{una matriz adjunta vectorial (doble\,matriz)} }\ comenzar{pmatrix} x_b\\y_b\\z_b \end{pmatrix}$

GAMES101 Notes_Lec02_Review of Linear Algebraphics