Discusión sobre la Ecuación del Error v=Bx-l en el Ajuste

Parte I Introducción

Cuando leemos literatura u organizamos notas, a menudo vemos varias expresiones sobre ecuaciones de error. Debido a que diferentes eruditos tienen diferentes hábitos, puede causar cierta confusión. Está bien cuando leo, pero cuando escribo, a menudo me confundo porque soy demasiado exigente con la corrección. Para evitar confundirte la próxima vez, tómate un momento para ordenar tus pensamientos. Espero que esta publicación de blog capture la "esencia" de la ecuación de error tanto como sea posible.

Este es el entendimiento personal del autor, solo como referencia. Debido al nivel limitado del autor, no dude en aclararme si soy inapropiado.

Parte II Discusión de la ecuación de error

Notación Cap.I

Las siguientes notaciones se usan comúnmente

• $L$ : valor observado
• $X$ : parámetro a estimar
• $X^0$ : estimación del parámetro a estimar
• $B$ : matriz de diseño
• $\Delta$ : ruido de observación,error verdadero
• $x$ : El número de corrección del parámetro a estimar$X-X^0$
• $l$ : la diferencia entre el valor observado y el término de orden 0 de la expansión de Taylor$L-f\left(X^0\right)$
• $v$ : Número de corrección del valor observado, utilizado para compensar el error de observación$D$
• $P$ : matriz de potencia

Cap.II Significado de la Ecuación del Error

Partiendo de la ecuación de observación original, se deriva la expresión de la ecuación de error.
Sea el valor observado $L$ y el parámetro a estimar$X$ tiene la siguiente relación:

$$L=f\left(X\right)$$
suponga primero que el valor inicial del parámetro a estimar es$X^0$ , linealice la función en base a esto, ignorando los términos más que cuadráticos, y teniendo en cuenta el ruido de observación$\Delta$ , entonces tenemos

$$L=f\left(X^0\right)+B(X-X^0)+\Delta En\; realidad$$
, aquí$\Delta$ no solo incluye el ruido de observación, sino que también incluye los errores introducidos por la expansión de Taylor ignorando los términos cuadráticos y anteriores. Recuerda$yo=L-f\left(X^0\right)$, el número de corrección del parámetro a estimar es$X=X-X^0$ , e introducir el número de corrección$v$ se usa para compensar el error verdadero$\Delta$（即$v=-\Delta$），于是
$$-re=B(X-X^0)-(L-f(X^0))$$
se puede escribir como:
$$v=Bx-l$$
Esta es la famosaecuación del error.

Cap.III Otras Formas de Ecuación de Error

Nota : De acuerdo con la ecuación de error anterior, la solución que obtuvimos en base al criterio de mínimos cuadrados

$$v=\left(B^{TPB}\right)\_{}^{-1}{segundo}^{T}Pl$$
no es el parámetro a estimar, sinoel número de corrección del parámetro a estimar. Es decir, lo que buscamos directamente no es el parámetro a estimar, sino el número de corrección del parámetro a estimar.

---

Además, en base a la fórmula

$$(L-f(X^0))-D=B(X-X^0)$$
Suposición general$\Delta$ obedece a una distribución normal, es decir, su expectativa es 0, por lo que la ecuación del error también se puede escribir de la siguiente forma.
$$mi\left(l\right)=segundox$$
en$mi(\cdot )$ representa el operador de expectativa Esta forma, creo, es relativamente concisa, y también es la forma que prefiero usar en este momento.

---

Porque nuestro propósito es encontrar el parámetro $X$ no es el número de corrección$x$ , si usa$Si\; se\; expresa\; x$ , es un poco complicado de describir; y$X=X^0+x$ ,$x$ y$x$ solo difiere por una constante$X^0$ _ Por tanto, aparece la siguiente expresión de la ecuación de error:
$$mi\left(l\right)=BX$$
$$v=BX-l$$
Tenga en cuentaque estas dos representaciones no son estrictas en teoría, pero para facilitar la escritura, si las encuentra, debe comprender$X$ en realidad se refiere a$x$ _

Proceso aproximado de ajuste Cap.IV

El ajuste en la impresión del autor es el siguiente proceso, acerca de obtener xxNo actualizarBB$después\; de\; x$$Matriz\; B$ , esta es una pregunta en la que vale la pena pensar.

Parte.III Representación de la Ecuación del Error

Con base en lo anterior, el siguiente es un resumen de la representación de la ecuación de error
$$v=Bx-l$$
$$mi\left(l\right)=Bx$$
$$mi\left(l\right)=BX$$

$$v=BX-l$$
Las dos anteriores son expresiones teóricas, y las dos siguientes están ajustadas para facilitar la descripción.