CT 재구성 개념 및 알고리즘의 상세 분석

CT 영상 재구성의 역사

라돈 변환과 역변환의 제안은 CT 영상 재구성을 위한 수학적 토대를 마련함(1917)
컨벌루션 역투영 알고리즘/필터 역투영 알고리즘의 제안은 정확한 영상 재구성의 문을 열었습니다(1971-1974) FDK 알고리즘
은 Feldkamp et al.은 3D 이미지 재구성의 새로운 시대(
1980 )의 문을 열었습니다
. 데이터 횡절단 문제(2004)
Zhang 등 인공지능 기술/딥러닝 기술 기반 지능형 재구성 방법 도입 및 CT 재구성 알고리즘 혁신(2019)

라돈 변환

라돈 변환은 함수와 투영 사이의 관계를 나타냅니다. 함수가 f(x, y)인 경우 다른 각도에서의 투영은 다음과 같습니다.

$$피(티,나)={\int }_{-\infty }^{}{\int }_{-\infty }^{}에프(엑스,y)d(xcos\theta +\theta 의y-t)dxdy$$

무한히 얇은 슬라이스 내의 상대적인 선형 감쇠 계수의 분포는 모든 라인 적분 세트에 의해 고유하게 결정됩니다.

투사

물질에 의한 X-선 흡수는 Lambert-Beer의 법칙으로 설명할 수 있습니다.
방출된 X-선 강도가 $N_{}$, 입사 X선 강도는 $N_{}$
$N_{}=N_{}{이자형}^{-\mu d}$
는 아래의 중첩 형식입니다.

코드 다이어그램

코드 다이어그램은 투영을 기술하는 방법으로 코드 공간의 세로축은 검출기 단위를 나타내고 가로축은 투영 각도를 나타내며 단위 투영은 가로축에 평행한 선에 설정된 샘플로 표시됩니다.
이러한 방식으로 서로 다른 스캐닝 각도에서 수집된 모든 데이터는 2차원 이미지를 형성합니다. p ( s , θ ) p(s,\theta)를

투영합니다.$피(초,\theta )는$ s − θ s-\theta로 표시됩니다.$에스-\theta$ 좌표계에서 공간 영역의 한 점은 코드 공간의 사인 곡선입니다.
문자열 공간에서 정현파의 일련의 겹치는 이미지인 많은 점의 조합으로 객체를 생각하십시오.

코드 다이어그램을 생성하는 MATLAB 코드

I=phantom(256);
theta=0:179;
P=radon(I,theta);
figure;
imshow(I,[]),title('256*256头模型图像');
figure;
imagesc(P),colormap(gray),colorbar,title('180°平行束投影图像');

샘플링 기하학

이미지 재구성

알려진 코드 다이어그램에서 CT 이미지를 해결하는
데 사용할 수 있는 알고리즘은 다음과 같습니다.
직접 매트릭스 반전,
반복,
푸리에 재구성,
역투영 및
필터링된 역투영( 필터링된 역투영)

다이렉트 매트릭스

재구성할 이미지 크기가 다음과 같다고 가정합니다. $2^8\ast 2^8=256\ast 256이면$
행렬 F의 크기는$2^{16}\ast 2^{16}=2^{32},$
실용적이지 않음

반복 방법

주어진 초기행렬
초기행렬을 이용하여 투영을 형성
재구성할 대상의 투영과 시뮬레이션 투영을 비교
오류가 요구사항을 충족하면 반복을 중지

더 정확하지만 느림, 주로 핵의학 장비의 영상 재구성에 사용 저선량 CT

푸리에 재구성

1. CT 스캐닝의 다양한 각도에서 투영을 수집
2. 각 투영에 대한 1D FT 계산
3. 2D 좌표 FT 평면을 정규화
4. 2D 역 FT를 통해 특정 방향으로 원본 이미지의 투영을 계산
라인
\qquad 2D 푸리에 변환 평면의qquad
투영이 많을수록 샘플이 많아 MRI 재구성의 K 공간과 유사합니다. 다음
그림은 1차원 및 2차원 주파수 공간을 이해하는 데 도움이 됩니다. 다음 그림은

세 공간의 변환을 보여줍니다.

푸리에 재구성의 한계

1. 2D 주파수 영역의 점들이 행렬로 배열되어 있지 않은 경우 역 푸리에 변환을 수행하기 전에 샘플 보간을 데카르트 좌표 표현으로 변환해야 합니다. 고주파수 영역의 포인트는 상대적으로 희박하며 보간 결과에 영향을 미칩니다. 실제 영역의 보간 오류는 픽셀 주변의 작은 영역에만 영향을 주지만 주파수
영역의 보간 오류는 전체 이미지의 품질에 영향을 미치며 명백한 그림자 아티팩트
(F(0, 1)는 dc 구성 요소를 나타냅니다. 이미지 f(x, y)는 수평 방향으로, 첫 번째 고조파는 수직 방향으로, 추정된 오차는 이미지 강도와 수직 방향의 변화로 이어질 것입니다. 수직 방향으로 단일 주기 정현파 그림자) 3.
그것은 역 푸리에 변환의 크기는 ROI의 크기에 반비례 작은 ROI의 경우 매트릭스가 너무 커서 처리할 수 없음 4. 결함의 투영이 1차원
적임 객체 이미지의 역변환은 2차원이므로 모든 데이터를 저장해야 하고 2차원 역변환은 모든 데이터가 완료된 후에야 수행할 수 있으므로 많은 하드웨어 메모리와 긴 대기 시간이 필요합니다. , 실시간 이미지 구현이 어렵습니다. 재구축이 필요합니다.

배경 영사

원리: 결함면의 특정 지점의 밀도 값은 이 평면의 지점을 통과하는 모든 광선 투영의 합(평균값)으로 간주할 수 있습니다

.
별 유물에 취약합니다.
원인: 역투영 방식은 원래 픽셀 값이 0인 지점을 포함하여 광선이 닿는 무한 공간의 각 픽셀에 제한된 오브젝트 공간에서 가져온 투영을 균일하게 역투영(역투영)합니다.
별 모양의 아티팩트 형성이 용이함
개선 방법: 필터 기능으로 이미지 처리(전처리 및 후처리 포함) 전처리
: 역투영 전 필터 이론적 근거: 선형 시스템에서 필터는 후 처리
: 사용 2D 필터 기능은 역투사 방식으로 얻은 영상을 가공하여 재구성을 변경하지 않고 화질을 향상시킵니다.

필터링된 역투영(FBP)

필터링 연산과 컨볼루션 연산을 주로 소개하고 역투영 전에

$P(\omega ,\theta )는$ θ \theta에 해당하는 것을 의미합니다.$\theta$ 각도의 단위 투영의 푸리에 변환, 내부 레이어의 적분은$P(\omega ,\theta )|\omega |$ 푸리에 역변환,$지(티,\theta )$ , 공간 영역에서 주파수 영역 응답에 의한 단위 투영을$|\omega |$ 의 함수가 필터링 연산을 하므로 필터링 역투영(filtered back projection)이라고 한다.

필터가 제대로 설계되면 필터링된 역투영 신호가 중첩될 때 "복사"의 양수 값과 음수 값이 서로 상쇄되어 원래 대상을 정확하게 반사할 수 있습니다.
$지(티,나)=g(xcos\theta ,\theta 의ys)={\int }_{-\infty }^{}P(\omega ,i)|\omega |{전자}^{j2say(xcos\theta +ysin\theta )}d\omega$
filter波 function：
$z\left(티\right)={\int }_{-\infty }^{}|\omega |{전자}^{위의\; j2\pi \omega t}d\omega$matlab으로 실현할 수 있는
다른 필터를 얻기 위해 창 함수를 사용해야 합니다.

I=phantom(256);
theta=0:1:179;
P=radon(I,theta);
rec=iradon(P,theta,'linear','None');
rec_RL=iradon(P,theta,'Ram-Lak');
rec_SL=iradon(P,theta,'linear','Shepp-Logan');
figure;
subplot(2,2,1);imshow(I,[]),title('原始图像');
subplot(2,2,2);imshow(rec,[]),title('直接反投影图像');
subplot(2,2,3);imshow(rec_RL,[]),title('RL滤波反投影图像');
subplot(2,2,4);imshow(rec_SL,[]),title('SL滤波反投影图像');

Shepp-logan 필터: 이미지를 매끄럽게 하고 일부 고주파 정보를 잃습니다.
Hamming 필터: 고주파 노이즈 감소
Bone 필터 및 연조직 필터: 진단 요구 사항에 따라 다른 필터 기능 선택 가능
1) Smoothing은 연조직을 관찰하는 데 사용됩니다.
2) Sharpness는 고해상도 이미지를 관찰하는 데 사용됩니다.
FBP Complement 0 Operation
The 원래 필터링 작업에는 비주기적 컨볼루션 작업이 포함되며, 이는 주파수 영역으로 변경된 후 주기적으로 컨볼루션됩니다.직접 계산하면 소위 워프 어라운드 효과라는 간섭 아티팩트가 생성됩니다. 따라서 아티팩트를 피하기 위해 푸리에 변환 및 필터링 작업 전에 각 투영에 0을 추가해야 합니다.

요약하다

왼쪽에서 오른쪽으로 역투영 방식, 필터 역투영 방식, 푸리에 변환

배경 영사

1. 역투영법(합계법) : 투사값을 이용하여 흡수계수의 2차원 분포를 근사화하는 것이다. 기본 원리는 측정된 투영값을 원래 경로에 따라 각 지점에 균등하게 분배하고 각 방향의 투영값을 역투영한 후 이미지에 중첩하여 원본 이미지를 유추하는 것입니다.
2. 정방형 물체의 역투영 방식으로 재구성한 물체의 영상은 사각형이 아닌 "별" 물체가 된다 흡수계수 값은 중앙에서 가장 크고 멀어질수록 값이 낮아진다 이미지의 가장자리가 선명해집니다.
3. 백 프로젝션 방식을 사용하면 이미지의 가장자리가 선명하지 않습니다. 균일한 조직 밀도 내에 극히 불균일한 흡수 계수를 가진 부분이 있는 경우 역투영 이미지에 이미지 아티팩트가 나타납니다.

필터링된 역투영

1. 필터링된 역투영 재구성 방법: 먼저 보정한 다음 역투영하여 원래 밀도 함수를 얻습니다. 필터링된 역투영으로 영상을 재구성하는 기본적인 방법은 일정한 투사각도에서 투사함수(1차원함수)를 구한 후 이를 필터링하여 보정된 투사함수를 구하는 것이다. 그런 다음 수정된 프로젝션 함수를 역투영하여 필요한 밀도 함수를 얻습니다.
2. 필터링된 역투영 방식이 이미지 재구성을 실현할 때 1차원 푸리에 변환만 수행하면 됩니다. 시간이 많이 걸리는 2차원 푸리에 변환을 피할 수 있기 때문에 필터링된 역투영 방법을 사용하면 이미지 재구성 시간이 크게 단축됩니다.

푸리에

1. 푸리에 변환 재구성 방법: 측정된 각 프로젝션 데이터에 대해 먼저 1차원 푸리에 변환을 수행하며, 중심 슬라이스 정리에 따르면 이 변환 결과는 원점을 같은 각도로 지나는 직선으로 볼 수 있다. 값에 대한 2차원 주파수 영역. 서로 다른 투영 각도에서 얻은 1차원 변환 함수는 주파수 영역에서 완전한 2차원 푸리에 변환 함수를 형성할 수 있으며, 2차원 변환 함수는 공간 영역에서 필요한 밀도 함수를 얻기 위해 역변환됩니다.
2. 푸리에 변환 방법을 이용하여 영상을 재구성할 때 프로젝션 함수의 1차원 푸리에 변환은 주파수 영역에서 극좌표 형태로 표현되며 극좌표 형태의 데이터를 보간 연산을 통해 직각 좌표 형태의 데이터를 계산하기 때문에 상대적으로 계산 작업량이 많습니다. 또한, 극좌표 형태의 주파수 영역 데이터에서 원점에서 멀어질수록 주파수가 높은 부분의 데이터는 상대적으로 희박하게 나타나며, 이들 위치의 데이터를 직교좌표로 변환할 때 보간해야 하는데, 어느 정도의 오류가 발생합니다. 즉, 재구성된 영상에서 고주파 성분이 확연히 왜곡될 수 있다.