¡Estas tres transformaciones son muy importantes! Cualquier disciplina de ciencia e ingeniería necesita inevitablemente estas transformaciones.
La esencia de estas tres transformaciones es convertir la señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La aparición de la transformada de Fourier subvierte la percepción humana del mundo: el mundo no solo puede verse como cambios en el tiempo, sino también como una combinación de varias frecuencias y diferentes pesos. Para dar un ejemplo inadecuado: la forma de onda del sonido de una música de piano se expresa en el dominio del tiempo, mientras que su partitura de piano se expresa en el dominio de frecuencia.
Dado que las tres transformaciones pueden convertir ecuaciones diferenciales o ecuaciones diferenciales en ecuaciones polinómicas, el costo de cálculo de las ecuaciones diferenciales (diferenciales) se reduce considerablemente.
Además, en el campo de la comunicación, sin un análisis en el dominio de la frecuencia de la señal, será difícil entender una señal en el dominio del tiempo. Debido a que a menudo es necesario dividir los canales por frecuencia en el campo de la comunicación, las características del dominio de la frecuencia de una señal son más importantes que las características del dominio del tiempo.
El análisis de las tres transformaciones específicas (deberían ser cuatro) es el siguiente:
El análisis de Fourier incluye la serie de Fourier y la transformada de Fourier. La serie de Fourier se usa para transformar señales periódicas y la transformada de Fourier se usa para transformar señales no periódicas.
Pero para las señales no convergentes, la transformada de Fourier es impotente y solo puede usar la transformada de Laplace. (Se utiliza principalmente para calcular ecuaciones diferenciales)
La transformada z se puede contar como una transformada de Laplace discreta. (Se utiliza principalmente para calcular la ecuación de diferencia)
¿Por qué cambiar?
El significado de todas las transformaciones es expresar matemáticamente cuál es la forma de una onda . Al principio, podemos organizar una función de impulso en una fila en el orden del tiempo, y luego multiplicar cada una por su propio coeficiente (combinación lineal) para obtener la forma de una onda en el papel. Más tarde, los grandes estudiantes de Fourier descubrieron que no solo la función impulso, multiplicada por los respectivos coeficientes tras superponer la señal exponencial compleja, también puede expresar casi todas las formas de onda. ¡y! El método de cálculo de salida expresado por la señal exponencial compleja es mucho más regular que la convolución, y esta ley se puede ver en el dominio de la frecuencia. Este descubrimiento hizo que la transformación de la señal fuera un gran paso adelante.
Las señales periódicas se pueden representar mediante series de Fourier y las señales no periódicas se pueden representar mediante transformada de Fourier. Esto quedará fuera de tema si lo ampliamos más. Aquí hay una nota de la fórmula de Fourier anterior (* ^ __ ^ *) (del usuario de Zhihu Niu Baa)
Transformada de Laplace : la transformada de Fourier tiene requisitos más altos en la señal y es adecuada para señales que decaen rápidamente. Para expandir el rango de aplicación de la transformada de Fourier y permitir su uso en el análisis de sistemas más inestables, las personas agregan artificialmente una función exponencial negativa como coeficiente en el proceso de cálculo, de modo que algunas señales que no decaen decaen más rápido, lo cual es conveniente para la conversión. . Este es el origen de la transformación de Labrador. La transformada de Laplace se utiliza para señales continuas.
Transformada de Labrador :
entre ellos
Lleve S de regreso a la fórmula para obtener:
En comparación con la fórmula de la transformada de Fourier, ¿hay solo una diferencia de coeficiente? Debido a que la transformación tiene que converger para que tenga sentido, la discusión sobre la región de convergencia es para que la 
integración sea significativa. Esto implica un poco de conocimiento de cálculo. La respuesta final se ve en un sistema de coordenadas rectangular, con la línea divisoria paralela al eje Y.
Transformada Z : similar al propósito de la transformada de Laplace, la fórmula de la transformada de Fourier de tiempo discreto se 
reemplaza por z, y luego se multiplica por un coeficiente de ponderación para representar el módulo de z (generalmente igual a 1), y luego se desarrolla la transformada z. La transformada z se utiliza para señales discretas.
z Transformación :, 
que 
se puede restaurar introduciéndolo.
De manera similar, el rango de convergencia de la transformación Z es para hacer que el valor calculado sea significativo. Después de la expansión de la fórmula geométrica, se puede ver que z debe ser menor o mayor que cierto valor. En coordenadas polares, es un círculo.
Desde el plano complejo, el análisis de Fourier presta atención a la parte imaginaria, la transformada de Laplace presta atención a todos los planos complejos y la transformada z proyecta el plano complejo de Laplace al plano z, cambiando el eje imaginario en uno. Anillo. (Una analogía inapropiada es la sensación de que una imagen solo se puede ver claramente colocando una barra de metal en una posición fija y reflejando la luz de la barra de metal ) .
¿Como entender?
Supongo que ahora todo el mundo tiene alguna comprensión de estas transformaciones, al menos saben cómo calcular estas transformaciones. Bueno, explicaré estos cambios desde varias perspectivas diferentes. Una señal suele expresarse en función del tiempo 
, que es simple e intuitivo, porque su función imagen puede verse como la forma de onda de la señal, como las ondas sonoras y las ondas del agua. Muchas veces, el procesamiento de la señal es muy especial. Por ejemplo, después de que un circuito lineal procesa la señal sinusoidal de entrada, la salida sigue siendo una señal sinusoidal, pero hay un cambio en amplitud y fase (de hecho, matemáticamente porque la función exponencial es La función característica de una ecuación diferencial lineal es como el vector característico de una matriz, y esta amplitud compleja corresponde al valor característico). Por lo tanto, si descomponemos todas las señales en combinaciones lineales de señales sinusoidales (transformada de Fourier), 
entonces se puede usar una función de transferencia 
para describir este sistema lineal. Si la señal es muy especial, por ejemplo: 
La transformada de Fourier no existe en matemáticas, en este momento se introduce la transformada de Laplace para resolver este problema. 
Tal sistema lineal puede usar una función de transferencia
Representar. Por lo tanto, se puede ver desde aquí que descomponer la señal en una función seno (transformada de Fourier) o una función exponencial compleja (transformada de Laplace) es muy importante para analizar sistemas lineales.
Si solo le importa la señal en sí y no el sistema, la relación entre estas transformaciones se puede conectar a través de dicho proceso. En primer lugar, debemos hacer un punto: no importa si usa el dominio del tiempo o el dominio de la frecuencia (os dominio) para representar una señal, ¡todos representan la misma señal! Puedes entender esto desde la perspectiva del espacio lineal . Para la misma señal, si se utilizan diferentes marcos de coordenadas (o vectores base), sus coordenadas serán diferentes. Por ejemplo, usando 
como coordenadas, entonces la señal se puede expresar como 
, y usando 
la forma de transformada de Fourier
. Como se menciona en álgebra lineal, bajo dos marcos de coordenadas diferentes, las coordenadas del mismo vector se pueden conectar mediante una transformación lineal. Si es un espacio de dimensión finita, se puede expresar como una matriz. En este caso, es una dimensión infinita. Esta transformación lineal es Transformada de Fourier.
Si dibujamos el 
dominio de Laplace , es un plano complejo y la transformada de Laplace 
es una función de variable compleja en este plano complejo. Y esta función a lo largo del 
valor del eje imaginario 
es la transformada de Fourier. Hasta ahora, no hay muchas suposiciones sobre la forma de la señal, si la señal es una señal de ancho de banda limitado, 
es decir , está solo en un rango pequeño (por ejemplo 
) no cero. De acuerdo con el teorema de muestreo, se puede muestrear el dominio del tiempo. Siempre que la frecuencia de muestreo sea lo suficientemente alta, la señal se puede restaurar sin distorsión. Entonces, ¿cuál es el efecto del muestreo en la señal? Desde el plano s, el muestreo en el dominio del tiempo se 
extenderá periódicamente a lo largo del eje imaginario. Esta propiedad se puede verificar fácilmente matemáticamente.
La transformada z puede considerarse como una forma especial de la transformada de Laplace, es decir, se realiza una sustitución 
y T es el período de muestreo. Esta transformación transforma la señal del dominio s al dominio z. Recuerde el punto mencionado anteriormente, el dominio s y el dominio z representan la misma señal, es decir, la señal después del muestreo. ¡Solo el muestreo cambiará la señal en sí! Desde la perspectiva del plano complejo, esta transformación transforma una franja paralela al eje en una rama de una sola hoja en el plano z.
Verá que las franjas generadas por la extensión del período causada por el muestreo anterior se superponen. Debido a la periodicidad, Los valores 
de función de diferentes ramas en el dominio z son los mismos. En otras palabras, si no hay muestreo y la transformada z se realiza directamente, ¡se obtendrá una función compleja de múltiples valores! ¡Por lo general, solo realice una transformación z en la señal después del muestreo!
Aquí hablamos de muestreo en el dominio del tiempo. Después del muestreo en el dominio del tiempo, la señal solo tiene el 
espectro entre frecuencias, es decir, la frecuencia más alta es solo la mitad de la frecuencia de muestreo. Sin embargo, para registrar dicha señal, todavía se necesita un espacio de almacenamiento infinito y es posible realizar más muestreos en el dominio de la frecuencia. Si el tiempo es limitado (lo que contradice la limitación de frecuencia), la señal original se puede recuperar de la señal muestreada sin distorsión mediante muestreo en el dominio de la frecuencia (extensión del período en el dominio del tiempo). Y la longitud de la señal es limitada, esta es la Transformada de Fourier Discreta (DFT), tiene el famoso algoritmo rápido Transformada de Fourier Rápida (FFT). ¿Por qué digo DFT? Porque las computadoras necesitan realizar de manera efectiva la transformada de Fourier en señales ordinarias, todas las cuales son realizadas por DFT. ¡A menos que la señal tenga una expresión analítica simple!
En resumen, para un sistema lineal, la entrada y la salida son lineales, ya sea un circuito lineal o un circuito óptico, siempre que pueda describirse mediante una ecuación lineal o una ecuación diferencial lineal (como la ecuación de Laplace, la ecuación de Poisson, etc.) El sistema puede analizar las características del sistema desde el dominio de la frecuencia a través del análisis de Fourier, que es mucho más poderoso que el análisis puro en el dominio del tiempo. Dos ejemplos de aplicaciones bien conocidos son los circuitos lineales y la óptica de Fourier (óptica de información). ¡Incluso los sistemas no lineales usan sistemas lineales en muchos casos! ¡Entonces la transformada de Fourier es tan importante! Verá, el primer Fourier también resolvió la ecuación de conducción de calor (¡también se puede considerar como un sistema lineal)!
La idea de la transformada de Fourier todavía está evolucionando en diferentes campos. Por ejemplo, la transformada wavelet en el procesamiento de señales. También usa un conjunto de funciones básicas para expresar señales, pero supera el problema de que la transformada de Fourier no se puede usar para el análisis de tiempo-frecuencia al mismo tiempo. .
Por último, desde mi ángulo de pura matemática diré qué grado de cambio al final Fourier sí.
¿Recuerda las ecuaciones algebraicas en álgebra lineal 
? Si A es una matriz cuadrada simétrica, puede encontrar todos los autovectores 
y autovalores mutuamente ortogonales de la matriz A 
, y luego expresar los vectores xyb como una combinación de autovectores. 
Debido a la relación ortogonal de autovectores, la ecuación algebraica de la matriz se puede transformar en N ecuaciones algebraicas escalares 
, ¡es increíble! ! Podría preguntar si esto tiene algo que ver con la transformada de Fourier. No se preocupe, al observar las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas se 
puede verificar que la función exponencial 
es su función característica. Si la ecuación se reescribe como un operador 
, entonces existe 
, ¿es esto similar al valor propio del vector característico de una ecuación lineal? Expresando tanto y como z como una combinación lineal de funciones exponenciales, después de esta transformación, la ecuación diferencial ordinaria se convierte en una ecuación algebraica escalar. ! El proceso de expresar y y z como una combinación lineal de funciones exponenciales es la transformada de Fourier (o transformada de Laplace). ¡Hay conclusiones similares en ecuaciones diferenciales parciales como las ecuaciones de onda! Esto es lo que experimenté cuando hice el curso de ecuaciones matemáticas.
En resumen, significa que la transformada de Fourier es una transformada ortogonal especial en el espacio lineal. ¡Es especial porque la función exponencial es la función característica del operador diferencial!