SGU-106 La ecuación (Europa ampliada + procesamiento detallado)

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给出$unax+by+C=0\; es$ una ecuación binaria indefinida de primer grado, que satisface$\left\{\right(x,y)|x\in [lx,rx],y\in [ly,ry]\}$ El número de soluciones.

Ideas para resolver problemas

Pensé que había escrito muchas preguntas sobre la expansión de Europa y lo sabía bien, pero esta pregunta volvió a golpearme en la cara, $wuna$ a dudar de la vida ...

En primer lugar, no es difícil pensar que si $c$ movido al lado derecho de la ecuación sigue siendo negativo, por lo queccdebe ser$c$ cambia de signo, al mismo tiempo$una,b$ también debería cambiar de signo, pero en este momento$una,$El signo de$b$ puede ser negativo. Al principio mi idea era referirme a las variables independientes$x,y$ , es decir,$|a|(-x)+|b|(-y)=c$ , y luego tome el negativo directamente después de encontrar la solución especial. ¿No es posible hacer esto? Sí, pero no en esta pregunta. Los motivos son los siguientes:

Debido a que lo que necesitamos es el número de soluciones en un espacio de solución dado, suponga que no consideramos $una,$El símbolo de$b$ , entonces la ecuación anterior se convierte a$X=\frac{c-by}{una}$， Esto $un$ cambio de señal posterior afecta directamente a la forma final de la solución general se cambia, por lo que si queremos$una$ negación, la forma correcta viene dada por el inverso del espacio solución, es decir, se convierte en$[-rx,-Lx]$ para$y\; es\; el$ mismo.

Luego, después de resolver la solución general, necesitamos obtener el número de soluciones, porque $x,$La transformación de$y$ es la opuesta. Parece difícil comenzar, pero de hecho, solo necesitamos resolver esta desigualdad$lx\le X_0+k_1\frac{b}{gcd(a,b)}\le rx$ encuentra$x$ en el espacio solución$k_1$El rango de valores, y luego $y$ 's$k_2$Para el rango de valores de, simplemente tome una intersección de los dos. En este momento, debe prestar atención nuevamente. El lado izquierdo debe estar redondeado hacia arriba y el lado derecho debe estar redondeado hacia abajo. Haga un dibujo para comprender.

Hay un juicio especial $una=0,segundo=$Tres casos de$0$

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// Created by Happig on 2020/10/30
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#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>

using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ins insert
#define Vector Point
#define ENDL "\n"
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mkp(x, y) make_pair(x,y)
#define mem(a, x) memset(a,x,sizeof a);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef pair<double, double> pdd;
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double dinf = 1e300;
const ll INF = 1e18;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 2e5 + 10;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    
    
    if (!b) {
    
    
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

ll gcd(ll a, ll b) {
    
    
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int main() {
    
    
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    //ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    ll a, b, c, lx, rx, ly, ry;
    cin >> a >> b >> c >> lx >> rx >> ly >> ry;
    c = -c;
    if (c < 0) c = -c, a = -a, b = -b;
    if (a < 0) a = -a, swap(lx, rx), lx = -lx, rx = -rx;
    if (b < 0) b = -b, swap(ly, ry), ly = -ly, ry = -ry;
    if (a == 0 && b == 0) {
    
    
        if (c == 0) cout << (rx - lx + 1) * (ry - ly + 1) << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    } else if (a == 0) {
    
    
        if (c % b == 0 && ly <= c / b && c / b <= ry) cout << rx - lx + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    } else if (b == 0) {
    
    
        if (c % a == 0 && lx <= c / a && c / a <= rx) cout << ry - ly + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    ll d = gcd(a, b);
    if (c % d) {
    
    
        cout << "0" << endl;
    } else {
    
    
        ll x, y;
        exgcd(a, b, x, y);
        x = x * c / d, y = y * c / d;
        //cout << x << " " << y << endl;
        a /= d, b /= d;
        int l = max(ceil(1.0 * (lx - x) / b), ceil(1.0 * (y - ry) / a)), r = min(floor(1.0 * (rx - x) / b),
                                                                                 floor(1.0 * (y - ly) / a));
        if (r >= l) cout << r - l + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
    }
    return 0;
}