Limitar el número de columnas
Limitar el número de columnas definido
El concepto nació en el límite explorar problemas prácticos en respuestas precisos ( tales como corte método del círculo ).
En un ejemplo el método del círculo de corte, con un círculo, un hexágono regular primero realizado en el mismo para su área referido como \ (A_1 \) ; a continuación, hacer su dodecágono regular inscrito, un área conoce como su z \ (A_2 \) ; a continuación, hacer su inscrita veinte positivo cuadrilátero, un área conocida como \ (A_3 \) ; tales circunstancias, cada vez duplicando el número de bordes, en general, dentro del contacto positivo \ (6 \ times 2 ^ { n -1} \) área del polígono referido como \ (a_n (n- \ in \ mathbb {N _ +}) \) , obteniendo así una serie de polígono regular de \ [A_1, A_2, A_3, \ cdots, a_n , \ cdots, \] que constituyen un número de ordenada cuando la \ (\ n-) el más grande, menor es la diferencia entre polígono regular y un círculo, con lo que \ (A_n \) como una aproximación de la zona de un círculo más precisa pero si \ (n \) tomar cuán grande sea, siempre y cuando el \ (n \) determina, \ (A_n \) , pero eso es sólo el área del polígono, pero no el área de un círculo. Por lo tanto, se prevé \ (n \) para aumentar indefinidamente (recuerde como \ (el n- \ to \ infty \) , leer como \ (n \) tiende a infinito), a saber, el número de lados de un aumento inscrito polígono regular indefinidamente, mientras que \ (A_n \)También infinitamente cerca de un valor determinado, este valor se determina de entenderse como el área del círculo. Se conoce este valor para determinar qué columnas tienen el orden anterior (llamado matemáticamente secuencia ) \ (A_1, A-2, A- 3, \ cdots, A_n, \ cdots \) cuando \ (n \ to \ infty \ ) cuando el límite . en el área de un círculo de este problema, vemos que es esta serie de límites se expresó con precisión el área de un círculo.
Este método formó gradualmente el límite en la solución de problemas prácticos, se ha convertido en un método básico de las matemáticas superiores, es necesario aclarar aún más.
En primer lugar se describe el concepto de que el número de columnas. Si Si de acuerdo con una regla para cada \ (n- \ in \ mathbb {N} _ + \) , correspondiente a un número real la determinación de la \ (x_n \) , el verdadero \ (x_n \) de acuerdo con el subíndice \ (n- \) creció a una secuencia de gran permutación obtenido \ [x_1, x_2, x_3, \ cdots, x_n, \ cdots \] se denomina el número de columnas , serie abreviado \ (\ {x_n \} \ ) .
Cada número se llama el número de columnas de la serie se llama un término , la \ (n- \) término \ (x_n \) se llama el número de columnas en términos generales (o término general ).
Para el problema que tenemos que discutir, lo importante es: cuando \ (n \) aumenta infinitamente, la correspondiente \ (x_n = f (x) \) sea infinitamente cercana a un valor determinado si podemos hacer? este valor es igual a la cantidad?
(El autor es el perezoso, el uso directo de los ejemplos del libro)
Nosotros columnas \ [2, \ frac {1 } {2}, \ frac {4} {3}, \ cdots, \ frac {n + (- 1) ^ {n-1}} {n}, \ cdots \ ] analizado en esta serie de números. \ [x_n = \ frac {n- + (-. 1) ^ {n- 1}.} {n-} = 1 + \ frac {1.} {n-}.. (-. 1) ^ {n- 1 .} \] desde el punto de vista del valor absoluto, \ (| AB & | \) es más pequeño, la \ (a \) y \ (B \) más cerca de \ [| x_n-1 | = | \ frac {1} { n} (- 1) ^ { n-1} |, \] se puede encontrar cuando el \ (\ n) durante su crecimiento, \ (\ {n-frac {}.} 1 \) más pequeño, de manera que \ ( x_n \) se está acercando a \ (1 \) , siempre y cuando \ (n- \) es suficientemente grande, \ (| x_n-1 | \) puede ser menor que cualquier número positivo dado, de modo que cuando el \ (n- \ ) aumenta infinitamente, \ (x_n \) infinitamente cerca \ (1 \) . por ejemplo, un dado \ (\ frac a} {1} {\) ( \ (a \ in \ mathbb {N} + _ \ )), Si quieres \ (|. 1-x_n | <. \ Frac 1} {A} {\) , siempre y cuando el \ (n> A \) , es decir, desde \ (a + 1 \) de artículo comienza, puede hacer que la desigualdad . establecimiento general, ya sea un número dado positivo \ (\ varepsilon \) pequeño que sea, siempre hay un número entero positivo \ (N \) , tal que cuando el \ (n N \>) , la desigualdad \ [| x_n-1 | <\ varepsilon \] han establecido que es el número de columnas. \ (x_n = \ frac {n- + {-. 1} ^ {n- 1}.} {n-} \) ( \ (n- = 1,2, \ cdots \) ) cuando \ (n \ to \ infty \ ) infinitamente cerca cuando \ (1 \) que la sustancia de tal número. \ (1 \) , llamado el número de columnas \ (x_n = \ frac {n + {- 1} ^ { {}}. 1-n-n-} \) ( \ (n- = 1,2, \ cdots \) ) cuando \ (x \ to \ infty \ ) cuando el límite .
En general, no se definen límites al número de columnas de mama:
Conjunto \ (\ {x_n \} \ ) de una serie, si existe una constante \ (A \) para cualquier número positivo dado \ (\ varepsilon \) (no importa lo pequeño que sea) siempre hay un número entero positivo \ (N \ ) , de tal manera que \ (n> N \) , la desigualdad \ [| x_n-a | < \ varepsilon \] son verdad, entonces se llama constante, \ (a \) es el número de columnas \ (\ {x_n \} \ ) a límite o el número de columnas \ (x_n \) región de convergencia \ (a \) , denotado como \ [\ lim_ {n \ to \ infty} x_n = a, \] o \ [x_n \ a un (n \ to \ infty). \]
Si esta constante no está presente \ (A \) , que significa \ (\ {x_n \} \ ) sin límite, o el número de columnas \ (\ {x_n \} \ ) es divergente , y los hábitos decir \ (\ lim_ {n \ to \ infty} \ ) no existe.
Un número positivo en la definición anterior de \ (\ varepsilon \) se puede dar de forma arbitraria es importante, porque no hay tal desigualdad \ (| x_n-a | < \ varepsilon \) para expresar \ (x_n \) y \ (a \) . también debe ser infinitamente cercana al significado observó: definición entero positivo \ (N \) es un número positivo con un determinado \ (\ varepsilon \) relacionándolo con \ (\ varepsilon \) la selección de un dado.
En "el número de columnas \ (\ {x_n \} \ ) límite es \ (A \) " interpretación geométrica aquí no se expande, está interesado puede mirar aquí .
Con el fin de facilitar la expresión, la introducción de la marca " \ (\ FORALL \) " medios "para cualquier" o "para cada" signo " \ (\ EXISTE \) " significa "presencia". Relevantes de uso y significado mirada lata aquí y en el presente documento . límite Secuencia \ (\ lim_ {n- \ to \ infty} = a \ leftrightarrow \ FORALL \ varepsilon> 0 \) , \ (\ EXISTS \) número entero positivo \ (N \) , cuando el \ (n> N \) cuando hay \ (| x_n-a | < \ varepsilon \).
Limitar el número de columnas se define no proporciona directamente un método de cómo encontrar el límite del número de columnas, y más tarde quiere encontrar el límite de la ley.